邵 云

（滁州城市職業(yè)學(xué)院教育系，安徽滁州 230039）

分子的拓?fù)湫再|(zhì)是分子的固有性質(zhì)之一，而分子拓?fù)渲笜?biāo)則反映了分子的性能。分子拓?fù)渲笜?biāo)有多種，其中Wiener是最重要的拓?fù)渲笜?biāo)，1947年由化學(xué)家H.Wiener提出，廣泛應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)化學(xué)、結(jié)構(gòu)化學(xué)、有機(jī)化學(xué)和藥物合成方面[1]。單圈圖指一個(gè)連通圖具有相同的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)[2]。而Wiener指標(biāo)是連通圖中所有兩點(diǎn)之間的距離和[3]。本文就對(duì)單圈圖Wiener指標(biāo)的極值和邊平均Wiener指標(biāo)進(jìn)行研究，為Wiener的應(yīng)用提供理論參考。

1 Wiener指標(biāo)[4]

設(shè)圖G=(V(G),E(G))，其中V(G)、E(G)分別表示圖G的頂點(diǎn)集和邊集。令dG(u,v)表示圖中兩個(gè)頂點(diǎn)u、v之間的距離，定義

則圖G的Wiener指標(biāo)W(G)為

2 單圈圖Wiener指標(biāo)的極值

2.1 最?。ù螅￤iener指標(biāo)

①對(duì)于n階單圈圖G，當(dāng)且僅當(dāng)G?A(n,3)時(shí)，W(G)獲得最小值n2-2n[3]。

②當(dāng)單圈圖G的階數(shù)n＞5時(shí)，如果，那么

2.2 次小（大）Wiener指標(biāo)

①設(shè)G為具有n個(gè)頂點(diǎn)的單圈圖，則當(dāng)且僅當(dāng)G?A(n,4)或H1，W(G)獲得第二小值n2-n-4[3]。

2.3 第三?。ù螅￤iener指標(biāo)

2.4 第四小（大）Wiener指標(biāo)[6]

3 n階單圈圖的邊平均Wiener指標(biāo)

圖G的邊平均Wiener指標(biāo)由WU Baoyindureng[7]首次引進(jìn)，用W′e(G)來表示。

其中D′(f,g)是兩條邊f(xié)和g之間的平均距離。

對(duì)于一個(gè)頂點(diǎn)數(shù)為n的單圈圖G，其圈長(zhǎng)為m，對(duì)于連通圖G，兩條邊f(xié)=uv和g=xy的距離D(f,g)為邊f(xié)和邊g兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短距離。其中

此時(shí)邊平均Wiener指標(biāo)取整數(shù)的充要條件是：當(dāng)且僅當(dāng)4|m時(shí)，G的邊平均Wiener指標(biāo)就取整數(shù)[8]。

3.1 最小（大）邊平均Wiener指標(biāo)[9]

對(duì)于n階單圈圖，當(dāng)n≥6，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?C3(Pn-2)時(shí)，邊平均Wiener指標(biāo)取最小值的條件為

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G?C3(Pn-2)，邊平均Wiener指標(biāo)取最大值的條件為

3.2 次大邊平均Wiener指標(biāo)[10]

對(duì)于頂點(diǎn)數(shù)n＞10的單圈圖，如果不同構(gòu)，此時(shí)

當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，C3(Tn-2)是具有次大邊平均Wiener指標(biāo)條件。

3.3 第三小（大）邊平均Wiener指標(biāo)

對(duì)于n階單圈圖，與不同構(gòu)，當(dāng)n＞8時(shí)，有

4 結(jié)語

Wiener指標(biāo)在單圈圖中有著廣泛研究。本文對(duì)最小（大）、次小（大）、第三?。ù螅⒌谒男。ù螅￤iener指標(biāo)，以及最?。ù螅┻?、次大邊、第三?。ù螅┻吰骄鵚iener指標(biāo)進(jìn)行系統(tǒng)論述，有助于Wiener指標(biāo)的更廣泛應(yīng)用。