范俊明 蔣志方 徐新斌

摘 ?要：2020年高考數(shù)學試卷中有關(guān)計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計的試題聚焦重點內(nèi)容，注重知識交會，突出理性思維、數(shù)學應用和數(shù)學探究，全面考查概率與統(tǒng)計的基本思想和方法，以及學生的閱讀理解與信息整理能力和數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模素養(yǎng). 通過對本專題典型試題進行解題分析，總結(jié)這類試題的一般解題規(guī)律和解題失誤，并由此給出教學建議.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學;概率與統(tǒng)計;計數(shù)原理;解題分析;教學建議

綜觀2020年全國13份高考數(shù)學試卷，以計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計為主的試題，遵循基礎(chǔ)性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性的考查要求，貫徹“低起點、多層次、高落差”的科學調(diào)控策略，突出概率與統(tǒng)計內(nèi)容的應用特色，著重考查學生的閱讀理解與信息整理能力，突出數(shù)據(jù)分析與數(shù)學建模素養(yǎng). 同時，在題型創(chuàng)新上加大力度，如全國新高考Ⅰ卷在新題型多選題中，采用了概率統(tǒng)計與函數(shù)交會的試題作為壓軸題，江蘇卷附加題也采用了概率統(tǒng)計與數(shù)列交會的試題等，體現(xiàn)了高考改革的方向，將對中學概率與統(tǒng)計專題的教學發(fā)揮積極的引導作用.

《中國高考評價體系》引領(lǐng)下的新高考模式正在逐步推進中. 本文以《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》和《中國高考評價體系》為依據(jù)，充分挖掘計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計在新舊教材內(nèi)容之間的知識銜接點、共同點和差異點，歸納總結(jié)本專題的試題類型、考查特點和解題經(jīng)驗，并給出本專題的教學建議.

一、試題分析

2020年高考數(shù)學對“計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計”內(nèi)容的考查，均以概率與統(tǒng)計和計數(shù)原理的必備知識為載體，突出本專題內(nèi)容的應用特征，題型涉及選擇題、填空題和解答題，主要圍繞計數(shù)原理、古典概型、概率的基本性質(zhì)、頻率與概率、離散型隨機變量分布列、期望及方差、樣本的數(shù)字特征、相關(guān)性分析和獨立性檢驗等方面進行考查.

1. 計數(shù)原理

例1 （全國Ⅱ卷·理14）4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，則不同的安排方法共有__________.

解法1：4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每名同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名同學，第一步先取2名同學看作一組，剩余兩人各一組，選法有[C24=6]種;第二步再可看成是3組同學分配到3個小區(qū)，分法有[A33=6]種，根據(jù)分步乘法原理，可得不同的安排方法為[6×6=36]種.

解法2：設3個小區(qū)為甲、乙、丙. 由題意知去3個小區(qū)的同學人數(shù)一定是2，1，1，所以先考慮第一類：選取2人去甲小區(qū)，選法有[C24=6]種，再選取1人去乙小區(qū)，選法有[C12=2]種，最后選取1人去丙小區(qū)，選法有[C11=1]中，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這一類的安排方法共有[C24C12C11=12]種;同理，第二類選取2人去乙小區(qū)時、第三類選取2人去丙小區(qū)時，都有同樣的安排方法數(shù). 所以根據(jù)分類加法計數(shù)原理題中不同的安排方法共有[3C24C12C11=36]種.

【評析】這是一道分組、分配型的組合計數(shù)題，源于對教材習題的改編，解決此類問題的一般方法是采用先分組再分配的策略. 在分組時要特別注意平均分組與不平均分組的差異，有時也可以用圖表或樹狀圖輔助列舉，理清正確分組情況. 此類試題的易錯點在于學生對解題策略掌握不牢，正面列舉情況不全，或?qū)Ψ疵媲闆r把握不準、分類討論不全等. 類似試題有全國新高考Ⅰ卷第3題.

【評析】此題主要考查二項展開式中指定項的系數(shù)，直接法和間接法均可解決問題. 通過對比，發(fā)現(xiàn)高考對二項式定理的考查主要集中在兩個方面：一是系數(shù)問題，包括項的系數(shù)、二項式系數(shù)、系數(shù)和的運算等;二是項的問題，包括常數(shù)項、有理項、系數(shù)最大（?。╉椀? 求對應項系數(shù)的類似試題有北京卷第3題和天津卷第11題，求常數(shù)項的類似試題有全國Ⅲ卷理科第14題等. 此類試題的易錯點通常表現(xiàn)為：（1）混淆項的系數(shù)與二項式系數(shù)的概念;（2）忽視項的系數(shù)的正、負問題;（3）出現(xiàn)通項的計算、根式與分數(shù)指數(shù)冪互化運算等失誤. 因此，對二項展開式中項的研究方法要根據(jù)通項靈活處理，在運算量不大的情況下，可以直接全部展開，也可以部分展開后再考查目標項的構(gòu)成.

3. 概率部分

（1）古典概型.

【評析】古典概型是高考命題的重點，試題難度中等，要求學生通過閱讀提取信息，并掌握必要的計數(shù)方法：枚舉法、樹狀圖或者排列組合知識計數(shù)原理等. 易錯點主要有：（1）對基本事件（樣本點）的概念理解不清晰，對樣本空間中樣本點個數(shù)計算出現(xiàn)重復或遺漏;（2）忽視基本事件的等可能性.

解答此類試題，一般分為如下3步.

步驟1：分析已知條件是否滿足古典概型.

步驟2：找出基本事件總數(shù)以及隨機事件包含的基本事件數(shù).

步驟3：代入古典概型的計算公式求解.

如果基本事件的個數(shù)比較少，可用列舉法把古典概型試驗所含的基本事件一一列舉出來. 如果基本事件個數(shù)比較多，列舉有一定困難，可以用樹狀圖法進行輔助. 類似的試題有江蘇卷第4題.

（2）概率的基本性質(zhì).

例4 （全國新高考Ⅰ / Ⅱ卷·5）某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例是（ ? ?）.

故該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為46%.

例5 （全國Ⅰ卷·理19）甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰;當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.

【評析】這兩道試題主要考查概率基本性質(zhì)的運用和獨立事件概率的計算. 兩道試題都以與學生生活密切相關(guān)的體育運動為背景，巧妙地將概率問題融入實際生活之中，分別以人數(shù)占比、參賽人的獲勝概率設問，重點考查學生對古典概型、事件的關(guān)系和運算、事件獨立性的掌握情況，對事件進行分析、分解和轉(zhuǎn)化的能力，以及分類與整合的思想和邏輯思維能力.

解決這類問題的基本步驟如下.

步驟1：把隨機事件符號化. 即把每個隨機事件用符號表示清楚.

步驟2：把各隨機事件關(guān)系化. 即把隨機事件之間的關(guān)系研究清楚，對和事件、積事件、互斥事件、對立事件、相互獨立事件等要有清晰的認知和準確的辨析.

步驟3：合理選擇運算方法. 即運用概率公式和性質(zhì)進行概率運算.

步驟4：對結(jié)果的合情解釋. 解答這類試題要充分理解概率的基本性質(zhì)，熟練運用或然與必然思想.

常見的易錯點有：隨機事件表述不準確，事件間關(guān)系不清晰，概率基本性質(zhì)不熟，對實際問題理解不到位，找不到解答的方向等. 類似試題還有天津卷第13題.

（3）頻率與概率.

例6 （北京卷·18）某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設計了相應的活動方案：方案一、方案二. 為了解該校學生對活動方案是否支持，對學生進行簡單隨機抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表1所示.

假設所有學生對活動方案是否支持相互獨立.

（1）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;

（2）從該校全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取1人，估計這3人中恰有2人支持方案一的概率;

（3）將該校學生支持方案二的概率估計值記為[p0，] 假設該校一年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學生支持方案二的概率估計值記為[p1]，試比較[p0]與[p1]的大小.（結(jié)論不要求證明.）

說明：樣本體現(xiàn)出男生支持方案二的比例高于女生. 一年級的男女比例高于樣本中學校的男女比例，所以去掉一年級學生的支持率，其他年級的支持率會降低.

【評析】頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系是高考試題中考查學生數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模素養(yǎng)的重要知識點，解答這類題需要學會分析數(shù)據(jù)，從中獲取有用的信息，計算頻率，然后用頻率作為概率的估計值建立數(shù)學模型. 易錯點主要有對頻率與概率的聯(lián)系不清晰、數(shù)據(jù)分析錯亂、運算出錯等.

（4）離散型隨機變量分布列、期望及方差.

【評析】該題一題雙空，增加了得分點，降低了試題難度，是近幾年高考中常用的題型. 這類試題的易錯點主要有：混淆不放回取樣和放回取樣，導致樣本點計算、概率計算出錯;忽視對分布列的概率和為1的驗證等. 解答這類題要做到具體問題具體分析，并深刻理解兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布等分布列之間的區(qū)別與聯(lián)系.

求離散型隨機變量分布列的一般步驟如下.

步驟1：確定隨機變量所有可能的取值.

步驟2：寫出隨機變量的每個取值所對應的隨機事件.

步驟3：計算隨機變量所對應的每個事件發(fā)生的概率.

步驟4：以列表形式寫出分布列.

4. 統(tǒng)計部分

解法2：一般情況，樣本數(shù)據(jù)的分布越集中，其方差越小，標準差也越小;樣本數(shù)據(jù)的分布越分散，其方差越大，標準差也越大. 所以對比4個選項中樣本數(shù)據(jù)的均值都為2.5，數(shù)據(jù)分布中與均值相比最集中的是選項A，其方差和標準差最小，最分散的是選項B，其方差和標準差則最大.

【評析】此題主要考查比較標準差的大小、方差公式的理解與應用和計算能力. 用數(shù)據(jù)說話并計算其數(shù)字特征值（如平均數(shù)、方差、標準差等）是概率與統(tǒng)計試題的有效考查方式. 解決此類問題的一般方法是正確理解圖表中數(shù)據(jù)所代表的實際意義和各個數(shù)字特征的具體含義. 而公式的記憶、運算技巧是學生的易錯點. 類似試題還有全國Ⅲ卷文科第3題、江蘇卷第3題、上海卷第6題和天津卷第4題等.

（2）相關(guān)性分析.

（3）由（2）知，各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得對該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準確的估計.

【評析】相關(guān)性分析問題是近幾年高考的熱點問題，其題型特點是數(shù)據(jù)準備階段的步驟略有減少，呈現(xiàn)的一般是規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)回歸模型，采取“重心后移”的策略，把考查的重點后移到對數(shù)據(jù)的分析、理解和找規(guī)律等方面，減少了繁雜的數(shù)據(jù)運算，突出對概率統(tǒng)計思想方法的理解和運用的考查. 解決這類試題的關(guān)鍵是準確理解題意和數(shù)據(jù)分析，提高數(shù)學閱讀和理解能力. 類似的試題還有全國Ⅰ卷文（理）科第5題.

因此有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【評析】獨立性檢驗是近幾年高考中概率統(tǒng)計的必考題型. 解決這類題首先要克服恐懼心理，排除干擾數(shù)據(jù)，理清數(shù)據(jù)與所求量之間的關(guān)系. 這類題型主要包括數(shù)據(jù)分析中的整理數(shù)據(jù)、提取信息、構(gòu)建模型、進行推斷、獲得結(jié)論等重要過程. 易錯點為包括以下幾個方面.

（1）對分類變量的取值范圍認識不清，數(shù)據(jù)分析時，統(tǒng)計不完整，概率估計計算出錯.

（2）對頻率與概率的概念模糊不清，誤認為頻率就是概率.

（3）對符號表示的意義不能正確理解，在解答中容易出現(xiàn)符號表達錯誤.

（4）不能準確理解臨界值表的意義，不能將有95%的把握轉(zhuǎn)換為犯錯誤的概率是[0.05].

在信息化時代，信息整理能力十分重要，它包含信息的獲取與識別、信息的處理與分析等. 數(shù)學信息整理能力表現(xiàn)為用數(shù)學眼光發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學思想方法準確地概括和描述問題、理性地分析和解決問題. 此題以當前社會關(guān)心的空氣質(zhì)量狀況和在公園進行體育鍛煉為背景，給出數(shù)據(jù)表，考查學生對概率統(tǒng)計基本思想、基本統(tǒng)計模型的理解和運用;試題的第（3）小題考查數(shù)據(jù)整理、分析、建模和應用，以及統(tǒng)計結(jié)論的解釋等多方面的內(nèi)容和要求，引導學生關(guān)注生活中的數(shù)學問題，并應用數(shù)學知識和方法整理信息、解決問題. 相似試題還有全國新高考Ⅰ卷（Ⅱ卷）的第19題.

二、解法欣賞

2020年高考數(shù)學對計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計的考查特點突出，主要聚焦在圖表類型、生活語言文字類型和復雜數(shù)學關(guān)系類型上，進一步凸顯了時代特征、真實情境和數(shù)學應用. 特別是一些有代表性的典型試題，通過不同層次、不同類型的試題和不同知識的交會，借助多種形式、多個角度和多種解法，達到了考查閱讀、應用、建模能力的目的.

例11 （全國Ⅱ卷·文4 / 理3）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1 200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓. 為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作. 已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1 600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概括不小于0.95，則至少需要志愿者（ ? ?）.

【評析】此題以志愿者參加某超市配貨工作為背景設計問題，考查學生對基礎(chǔ)知識的掌握程度及運用所學知識解決問題的能力. 試題背景是學生十分熟悉的疫情期間大規(guī)模的網(wǎng)購、配貨，是發(fā)生在學生身邊的真實事情. 試題考查概率的基礎(chǔ)知識和基本方法，學生只要能讀懂題意即可得到正確答案，對穩(wěn)定學生的考試心態(tài)和提高學生的獲得感都有良好的作用. 試題情境具有鮮明的時代氣息，體現(xiàn)志愿精神，具有積極的教育意義. 試題重在考查學生分析問題和解決問題的基本能力，體現(xiàn)了對核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力的考查要求. 解法1和解法2是從正面直接分析，通過方程，可以直接找到臨界值，而通過不等式可以直接找到“至少”的答案. 解法3則是通過選項直接計算判斷哪個更加符合“至少”這一特征. 在古典概型中，常常需要靈活運用事件間的互斥、對立關(guān)系來化解復雜的計算，當問題中出現(xiàn)“至少、至多、不小于”等特征詞語時，也要注意靈活運用間接法、排除法等特殊方法.

【評析】此題作為多項選擇題的壓軸題，以信息熵為背景，通過給出信息熵的數(shù)學定義，結(jié)合對數(shù)函數(shù)知識，編制了與信息熵性質(zhì)相關(guān)的4個數(shù)學命題，考查學生對新知識的獲取能力、對新概念的理解能力和對新問題的探究能力. 對于選項A，求得[HX，] 由此判斷出選項A的正確性. 對于選項B，利用特殊值法進行排除. 對于選項C，計算出[HX，] 利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷其正確性. 對于選項D，解法1是先直接計算出[HX，HY，] 再利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出對錯;解法2是利用對數(shù)的運算性質(zhì)，將對數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為指數(shù)的大小比較，要求熟練掌握指對數(shù)的運算性質(zhì)，運算量較大;解法3是將復雜的計算問題特殊化處理，轉(zhuǎn)化為前面的選項A和選項B，再直接利用前面的計算結(jié)果找到反例，否定該結(jié)論，較大程度上降低了計算量. 通過求解試題，學生能充分體會到數(shù)學的應用價值，提高數(shù)學學習的興趣，對培養(yǎng)學生探究未知的精神有著積極的引導作用.

【評析】此題是江蘇卷的壓軸題，考查古典概型、概率中的遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項、隨機變量的分布列與數(shù)學期望等，綜合考查了學生的邏輯分析求解能力. 此題將高等數(shù)學知識與高中數(shù)學知識有機融合，是繼2019年全國Ⅰ卷理科第21題后再次將概率與數(shù)列交會，涉及高等數(shù)學中的隨機過程背景，與“賭徒輸光”和“酒鬼漫步”等概率模型相似，屬于馬爾科夫鏈（Markov Chain）. 試題將馬爾科夫鏈和一個二階齊次線性遞歸數(shù)列相聯(lián)系，雖然思維跨度較大，但構(gòu)造等比數(shù)列的形式在結(jié)論中已經(jīng)給出，降低了難度. 與2019年全國Ⅰ卷理科第21題相比，此題降低了對概率問題的理解要求，更側(cè)重概率與數(shù)列知識的交會，缺少了對結(jié)果的分析和解釋. 解題的思維難點在于：（1）理解[pn]和[qn]的含義;（2）將概率問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題. 解題的基本對策在于理解題意，提取有效信息，用初等數(shù)學知識消化高等數(shù)學背景.

三、教學建議

通過以上試題分析和解法欣賞，可以發(fā)現(xiàn)2020年高考數(shù)學對計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計的考查以現(xiàn)實生活為背景、以必備知識為重點、以基本問題為載體進行交會命題，全面考查了統(tǒng)計與概率、計數(shù)原理的基本思想方法，以及學生的關(guān)鍵能力和學科素養(yǎng). 基于此，對本專題的教學提出如下建議.

1. 依托教材內(nèi)容，準確把握基本概念的教學規(guī)律

2020年計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計的高考考查對象表明：（1）基本概念的考查面廣，必考點和輪考點交替命題. 必考點涉及排列組合、古典概型、隨機變量的分布、期望與方差、正態(tài)分布、統(tǒng)計圖表、樣本的數(shù)字特征、線性回歸方程、獨立性檢驗;輪考點涉及二項式定理、概率的性質(zhì)、幾何概型、隨機抽樣等. （2）基本技能的考查難度恰當. 如計數(shù)原理避免排列組合的復雜技巧，只需簡單的分類討論和列舉法就可以解決問題;二項式定理重點考查通項公式;概率與統(tǒng)計突出考查古典概型、概率的簡單性質(zhì)和數(shù)字特征. 這些試題基本都與教材例、習題的難度相當.

概率與統(tǒng)計的思維方式與邏輯推理不同于其他數(shù)學內(nèi)容，對結(jié)論的判斷標準也不一樣，而這些差異都與理解基本概念密切相關(guān)，因此，對基本概念的理解在計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計部分顯得尤為重要. 基于此，在教學中教師首先要善于認真鉆研教材，準確把握計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計的基本概念的教學策略，要特別注重這些概念和方法的產(chǎn)生和形成過程，要將概率中的概念和統(tǒng)計中的概念進行對比說明;其次，要突出重要概念的實際意義，突出用概率與統(tǒng)計方法解決實際問題的基本思想，突出知識的綜合應用，讓學生將抽象的概念與具體的生活實際相結(jié)合，從而幫助學生進一步理解這些概念的內(nèi)涵.

2. 注重知識交會，有效落實相關(guān)內(nèi)容的縱橫聯(lián)系

2020年高考數(shù)學計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計的考查問題表明：（1）問題的縱向聯(lián)系緊密. 試題往往注重通過圖表的形式給出數(shù)據(jù)，再進行數(shù)據(jù)分析，并體會數(shù)據(jù)分析的決策作用.（2）問題的橫向聯(lián)系頻繁. 試題常常聯(lián)系函數(shù)性質(zhì)分析單調(diào)性、聯(lián)系數(shù)列知識確定通項等.

教學時要注重本專題知識的內(nèi)在聯(lián)系，兼顧知識內(nèi)部的交會整合. 例如，計數(shù)原理是古典概型的基礎(chǔ)，概率既具有決策的作用，又具有統(tǒng)計的意義. 又如，在直方圖中求中位數(shù)和平均值，在莖葉圖中求平均值與方差，線性回歸方程中相關(guān)公式的變形和數(shù)據(jù)處理等. 同時，還要注重本專題知識與其他內(nèi)容的相互聯(lián)系，適當體現(xiàn)跨專題、跨學科的交會綜合. 例如，二項式定理可與二項分布相聯(lián)系，概率性質(zhì)可與集合的交、并、補相聯(lián)系，幾何概型可與平面幾何、立體幾何知識相聯(lián)系等，在這些知識的交會處，可適度拓展延伸，有效落實相關(guān)內(nèi)容間的縱橫聯(lián)系.

3. 捕捉時代氣息，真實提升數(shù)學閱讀與理解能力

2020年高考數(shù)學中的計數(shù)原理、概率與統(tǒng)計試題表明：（1）通過真實的問題情境，體現(xiàn)我國的科學防疫成果、建設成就和制度優(yōu)勢，具有鮮明的時代特色，充分發(fā)揮了數(shù)學試卷的育人功能.（2）進一步采用非連續(xù)文本的方式，加強對數(shù)據(jù)整理、加工分析和統(tǒng)計推斷的考查，突出數(shù)學建模能力、信息處理能力和閱讀理解能力的考查力度.

教學時要重視數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析這三大核心素養(yǎng)在解決概率與統(tǒng)計問題中的支撐作用，要加強培養(yǎng)學生用數(shù)學概念解讀具體問題、提取數(shù)學信息的能力，要加強培養(yǎng)學生對文字語言、符號語言、圖表語言的相互轉(zhuǎn)換能力，使學生逐步掌握“讀懂、理清、弄通、會做”的四個步驟，要善于與時俱進地捕捉時代氣息，借助具有真實情境的數(shù)學問題，在全方位培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀與理解能力的過程中，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]教育部考試中心. 以評價體系引領(lǐng)內(nèi)容改革 ?以科學情境考查關(guān)鍵能力：2020年高考數(shù)學全國卷試題評析[J]. 中國考試，2020（8）：29-34.

[3]趙軒，任子朝. 中學數(shù)學中概率的相關(guān)概念辨析：從一道高考題談起[J]. 數(shù)學通報，2018，57（12）：1-4.

[4]任子朝，陳昂，趙軒. 加強數(shù)學閱讀能力考查 ?展現(xiàn)邏輯思維功底[J]. 數(shù)學通報，2018，57（7）：8-13.

[5]范美卿，趙志菊，張曉斌. 2019年高考“概率與統(tǒng)計、計數(shù)原理”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2019（9）：37-44.

[6]金克勤. 2018年高考“概率與統(tǒng)計、計數(shù)原理”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2018（9）：31-38，63.

[7]曹宇輝，吳麗華. 2017年高考“概率與統(tǒng)計、計數(shù)原理”專題命題分析[J]. 中國數(shù)學教育（高中版），2017（10）：35-41.