閆旭 宋永任

摘 ?要：對2020年高考數(shù)學(xué)試卷中有關(guān)“直線和圓的方程”專題的問題歸類，進(jìn)行解題分析，通過研究發(fā)現(xiàn)“直線和圓的方程”專題的考查以基礎(chǔ)知識為主，尤其重視對平面解析幾何思想的探究，重視代數(shù)與幾何、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，在強(qiáng)調(diào)通性、通法的基礎(chǔ)上重視對數(shù)學(xué)學(xué)科思想與核心素養(yǎng)的考查. 通過對這部分試題的典型解法及新穎解法進(jìn)行分析，為“直線和圓的方程”專題的教學(xué)和復(fù)習(xí)提供有價值的參考建議.

關(guān)鍵詞：直線和圓的方程;考點(diǎn)分析;解題分析;解法賞析

直線和圓的位置關(guān)系是高中數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，也是高考數(shù)學(xué)的熱門考點(diǎn)之一，該部分知識相對比較簡單，運(yùn)算量適中，應(yīng)用較為廣泛，對解決其他幾何問題起著重要的作用. 平面解析幾何的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生學(xué)會運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何圖形的性質(zhì)和關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)用代數(shù)方法解決幾何問題的能力. 對于直線和圓的方程的教學(xué)，應(yīng)該讓學(xué)生深度理解判斷其所依據(jù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)表征，體會判斷和證明過程中蘊(yùn)含的邏輯思維，處理好數(shù)學(xué)理解與技能訓(xùn)練的關(guān)系.

綜觀2020年高考數(shù)學(xué)的13份試卷，直線和圓的方程部分特別注重解析幾何中代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)化與化歸思想，直線和直線的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離、軌跡問題、定點(diǎn)和定值問題、最值問題仍是考查的重點(diǎn). 試題立足于教材又高于教材，以考查基礎(chǔ)知識為主線，重視對平面解析幾何思想的探究，重點(diǎn)關(guān)注圖形幾何特征的代數(shù)轉(zhuǎn)化，并注重通性、通法. 同時，也適度體現(xiàn)靈活運(yùn)用圖形等技巧，滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想. 試題難度中等，內(nèi)容樸實(shí)、平和，要求學(xué)生基本概念清晰，并且要具備一定的運(yùn)算能力.

一、試題分析

2020年高考中本專題仍然重點(diǎn)考查基礎(chǔ)知識、基本技能，強(qiáng)化基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用. 下面分類型和考點(diǎn)對典型試題進(jìn)行分析.

1. 直線和曲線相切問題

直線和圓錐曲線相切的問題，是每年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，需要學(xué)生具備邏輯思維能力和運(yùn)算能力，掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.

【評析】直線和圓都是平面圖形，在處理問題時是利用代數(shù)方法還是利用幾何特征的本質(zhì)，取決于學(xué)生對平面圖形幾何性質(zhì)的把握程度，對學(xué)生的思維能力和思維層次要求較高. 這類題屬于中、低檔試題，不僅要求學(xué)生在利用代數(shù)方法進(jìn)行運(yùn)算的基礎(chǔ)上快速解決問題，更要求學(xué)生能夠熟練掌握平面圖形的幾何性質(zhì)和幾何特征，達(dá)到數(shù)形結(jié)合、簡化運(yùn)算的目的.

3. 直線和圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系是對圖形之間的位置關(guān)系做出深入研究的一項(xiàng)重要課題，具有承上啟下的作用，為后續(xù)相關(guān)知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)、探究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 直線和直線的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系、直線和圓的位置關(guān)系、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)，涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想.

【評析】該題考查切線方程問題，解法1利用圓的性質(zhì)，圓心到切線的距離等于半徑，列出方程組求解. 解法2通過對幾何圖形進(jìn)行研究，得出直線與[x]軸的交點(diǎn)，再利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線斜率. 啟示教師在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生觀察幾何性質(zhì)的能力，這樣解決問題會更直接、高效.

二、解法分析

1. 最值問題

最值問題的處理方式一般有以下兩種：從幾何角度出發(fā)，因?yàn)橹本€和圓存在對稱性，所以可以利用圖形的幾何性質(zhì)（如斜率，距離等）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而求得最值;從代數(shù)角度出發(fā)，構(gòu)建函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)來求最值，這里可能會涉及與其他知識的綜合應(yīng)用，如均值不等式、線性規(guī)劃等.

【評析】該題設(shè)計(jì)巧妙，考查了直線和圓的位置關(guān)系，在問題的處理過程中需要用到轉(zhuǎn)化與化歸思想.對于[PMAB]最小，有以下兩種轉(zhuǎn)化策略：直接處理，轉(zhuǎn)化成關(guān)于[PM]的函數(shù)，利用函數(shù)的知識研究最小值;對角線互相垂直的四邊形可以用四邊形的面積作為橋梁. 最后由兩圓公共弦所在直線的方程得到結(jié)果.

【評析】該題考查圓的方程，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，觀察到圓心[C]的軌跡是以[3，4]為圓心、1為半徑的圓，該題就轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最小距離問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓心的距離減去半徑.

2. 定點(diǎn)、定值問題

定點(diǎn)、定值問題是高中數(shù)學(xué)中的綜合性問題. 問題中呈現(xiàn)了動與靜的辯證統(tǒng)一關(guān)系. 解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題是高中數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)問題，在高考中出現(xiàn)的頻率很高，問題的綜合性較強(qiáng)，解析過程存在一定的難度，對學(xué)生的思維能力有著較高的要求. 基于問題考查內(nèi)容，有以下三點(diǎn)需要關(guān)注：直線中的定點(diǎn)問題是考查對直線方程的變形，應(yīng)關(guān)注點(diǎn)斜式和斜截式方程過定點(diǎn)的情形;解析幾何中的定值問題是研究解析幾何量與參數(shù)無關(guān)的過程，因此需要掌握距離、面積、角度及斜率等量的代數(shù)表達(dá)方式，通過化“動”為“靜”來確定定值;部分定點(diǎn)、定值問題以探究的方式考查，采用“假設(shè)—驗(yàn)證”的思維方式求解，討論是否存在滿足條件的情形. 總之，定點(diǎn)、定值問題不僅強(qiáng)調(diào)知識綜合，也重視思想方法的運(yùn)用，關(guān)注考點(diǎn)、把握知識之間的關(guān)聯(lián)是問題突破的基礎(chǔ).

【評析】該題的第（1）小題利用方程組即可求解，大部分學(xué)生均能得分. 第（2）小題設(shè)出點(diǎn)[M，N]的坐標(biāo)，在斜率存在時設(shè)方程為[y=kx+m]，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，得到[m，k]的關(guān)系，進(jìn)而得出直線[MN]恒過定點(diǎn)，在直線斜率不存在時要單獨(dú)驗(yàn)證. 然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)確定滿足題意的點(diǎn)[Q]的位置. 該題綜合性較強(qiáng)，有一定難度.

【評析】該題的第（1）小題由題意求解關(guān)于[a，b]方程組即可確定橢圓方程，屬于基礎(chǔ)題;該題的第（2）小題首先聯(lián)立直線和橢圓的方程，然后由直線[MA，NA]的方程確定點(diǎn)[P，Q]的縱坐標(biāo)，將線段長度的比值問題轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)的比值問題. 該題需要先用特殊值猜想再論證，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可以證得[yP+yQ=0]，從而得到兩條線段長度的比值.

三、試題解法欣賞

【評析】該題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，求解弦長有兩種解法：解法1利用直線與圓錐曲線相交弦的弦長公式求解;解法2對學(xué)生提出了更高的要求，利用二級結(jié)論，簡化做題過程，教學(xué)時可以帶領(lǐng)學(xué)生推導(dǎo)，并理解記憶.

【評析】該題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系. 其中，第（2）小題的方法1將弦長作為底、點(diǎn)到直線距離作為高，直接利用三角形面積公式. 由于弦長確定，面積的最大值即由橢圓上的點(diǎn)到直線的最大值確定，即與已知直線平行且與橢圓相切的一點(diǎn). 思路簡單，但計(jì)算較為復(fù)雜. 方法2利用橢圓的參數(shù)方程，實(shí)現(xiàn)將多元變量轉(zhuǎn)化為單元變量，進(jìn)而該問題轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)求最值.

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]陶兆龍，從品. 2019年高考“直線和圓的方程”專題解題分析[J]. 中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2019（9）：18-23.