極限思想與微積分之間的聯(lián)系緊密.在微積分的創(chuàng)立和發(fā)展過(guò)程中，牛頓、萊布尼茲等數(shù)學(xué)家以無(wú)窮思想為重要依據(jù)， 成功地利用無(wú)窮小方法、無(wú)限過(guò)程之間的聯(lián)系進(jìn)行推理、運(yùn)算，獲得了一系列的研究成果.這為極限思想的發(fā)展和完善奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).通過(guò)數(shù)學(xué)家們的努力，極限理論逐步得到了完善.

一、極限思想的應(yīng)用

人們很早就應(yīng)用了極限的思想.例如歐多克索斯的窮竭法，阿基米得的圓、球、拋物線(xiàn)圖形求積法.此外，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)此也做過(guò)很多的工作，如劉徽的割圓術(shù)、祖恒之的截面原理等.

17 世紀(jì)上半葉，德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒在（ Kepler，1571-1630）1615 年發(fā)表的《酒桶的立體幾何》中，論述了其利用無(wú)限小元求旋轉(zhuǎn)體體積的積分法.他的無(wú)限小元法是用無(wú)數(shù)個(gè)同維無(wú)限小元素之和來(lái)確定曲邊形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積.他認(rèn)為球的體積是無(wú)數(shù)個(gè)頂點(diǎn)在球心、底面在球上的小圓錐的體積的和，從而得出球的體積是球的面積與球的半徑乘積的1/3.他將圓周看成是有無(wú)限多個(gè)邊的正多邊形，于是圓就被視為以這些多邊形的邊為底、頂點(diǎn)在圓心的三角形之和，從而得出圓的面積等于圓周長(zhǎng)與圓半徑乘積的1/2.與此同時(shí)，他還用無(wú)窮小方法算出了圓環(huán)體、圓柱等的體積.雖然這些計(jì)算都是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，但是他得出的結(jié)果卻是正確的.這些簡(jiǎn)單易行的方法，同我們現(xiàn)在采用的“微元法”有著相似之處.開(kāi)普勒是第一個(gè)在求積中運(yùn)用無(wú)窮小方法的數(shù)學(xué)家， 這是他對(duì)積分學(xué)的最大貢獻(xiàn).

1629年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬首次獲得了求函數(shù)極值的法則，用類(lèi)似方法他還求出了平面曲線(xiàn)的切線(xiàn)，拋物線(xiàn)體積的重心和拐點(diǎn);用極限求出了拋物線(xiàn)的面積等.

意大利數(shù)學(xué)家、伽利略的學(xué)生、波倫那大學(xué)教授卡瓦列（ Cavalieri， 1598-1647） 在開(kāi)普勒和伽利略的影響下，得出不可分量法.1635年他在其著作《用新方法推進(jìn)的連續(xù)的不可分量的幾何學(xué)》中系統(tǒng)地發(fā)展了不可分量法.他認(rèn)為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成線(xiàn)， 線(xiàn)運(yùn)動(dòng)形成面， 體積則是由無(wú)窮多個(gè)平行平面組成的， 并分別把這些元素叫作線(xiàn)、面和體的不可分量.他建立了一條關(guān)于這些不可分量的一般原理（后稱(chēng)卡瓦列里原理），并利用不可分量法推算出橢圓的面積為πab.卡瓦列里的不可分量被看成是以幾何形式表示的無(wú)窮小量，這種用不可分量法求和的思想為后來(lái)定積分概念的形成奠定了基礎(chǔ).但由于他的不可分量法回避了求極限的過(guò)程， 因而在論證上缺乏嚴(yán)密性.

英國(guó)的數(shù)學(xué)家巴羅（Barrow，1630-1677）是牛頓的老師，也是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的首批會(huì)員.他在1669年出版的著作《幾何講義》中，利用所謂微分三角形或者特征三角形求出了曲線(xiàn)的斜率.他的方法的實(shí)質(zhì)是把切線(xiàn)看作割線(xiàn)的極限位置， 并利用忽略高階無(wú)限小的項(xiàng)來(lái)求極限.

這些先驅(qū)者在研究極限的過(guò)程中為微積分的創(chuàng)立積累了大量的資料， 而這些資料無(wú)一不是以極限的思想為基石一步一步堆積起來(lái)的.

二、微積分的創(chuàng)立

1.牛頓的工作

牛頓（Newton， 1642 -1727）發(fā)現(xiàn)微積分首先得益于其老師巴羅，巴羅關(guān)于“微分三角形”的思想給他帶來(lái)的影響極大，另外費(fèi)馬（Fermat， 1601-1665）的切線(xiàn)方法和沃利斯（Wallis，1616-1703）的《無(wú)窮算術(shù)》也給了他很大的啟發(fā).

牛頓是總結(jié)和發(fā)展了前人的思想， 得出關(guān)于微積分的理論. 1666年，牛頓寫(xiě)出第一篇關(guān)于微積分的論文《流數(shù)短論》，在該文中首先提出了流數(shù)概念.1671年，牛頓完成了《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》（1736年出版），牛頓進(jìn)一步對(duì)自己的思想作了更廣泛更明確的說(shuō)明，系統(tǒng)的引進(jìn)了他所獨(dú)創(chuàng)的概念和記法.他將變量稱(chēng)作“流”，將變量的變化率稱(chēng)作“流數(shù)”.

1676年，牛頓完成了另一部著作《求曲邊形的面積》（1704年出版），提出了“最初比”和“最后比”兩個(gè)新概念，并且明確的給出了將導(dǎo)數(shù)作為增量比的極限思想.

1711年，牛頓發(fā)表了《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》.在這本書(shū)中， 他運(yùn)用了無(wú)限小的方法和二項(xiàng)式定理， 擴(kuò)大了微積分的應(yīng)用范圍.采用了面積的無(wú)限小矩形，找到了曲邊梯形求積的一般方法.牛頓不僅給出了求一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量的瞬時(shí)變化率的普遍方法， 而且證明了面積可以用無(wú)窮小面積的和來(lái)表示，進(jìn)而證明了這樣的和能通過(guò)由求變化率的逆過(guò)程得到.牛頓將和的極限用于微分中得到我們今天所說(shuō)的微積分基本定理.

牛頓始終不渝地努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說(shuō)，經(jīng)過(guò)20年左右的時(shí)間，他的微積分從以無(wú)窮小為基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)變?yōu)橐詷O限為基礎(chǔ).但由于時(shí)代或認(rèn)識(shí)的局限性，牛頓始終沒(méi)能給出無(wú)窮小和極限的嚴(yán)格定義，但瑕不掩瑜，他將自古以來(lái)求解無(wú)窮小問(wèn)題的各種方法和特殊技巧有機(jī)地統(tǒng)一起來(lái).正是因?yàn)檫@，我們說(shuō)牛頓創(chuàng)立了微積分.

2.萊布尼茨的工作

德國(guó)自然科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家萊布尼茨（Leibniz， 1646 -1716） 從研究幾何問(wèn)題入手完成了微積分的基本計(jì)算理論，引進(jìn)了常量、變量和參考變量的概念.他把微積分稱(chēng)為“無(wú)窮小算法”.他建立的微積分也是以無(wú)窮小為基礎(chǔ)的.創(chuàng)建了微積分的符號(hào)及積分符號(hào)，并提出了函數(shù)的和、差、積、商的微分法則和在積分量下對(duì)參變量求微分的方法以及旋轉(zhuǎn)體體積公式.

1684年，萊布尼茨在《博學(xué)文摘》上發(fā)表了第一篇論文，文中提出了切線(xiàn)、極大值、極小值和拐點(diǎn)的方法.但他對(duì)微積分學(xué)基礎(chǔ)的解釋和牛頓一樣也是含混不清的， 由于缺少?lài)?yán)密的定義，有時(shí)他把無(wú)窮小微分作為有限的確定的量， 有時(shí)又作為無(wú)窮小舍去.

然而，兩位數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)也有所不同.牛頓較多的注重于創(chuàng)立微積分的體系和基本方法，從考慮變化率的角度出發(fā)解決面積和體積問(wèn)題.而萊布尼茨更多地關(guān)心微積分運(yùn)算公式的建立和推廣，從而建立了微積分法則和公式.

三、對(duì)極限和微積分的進(jìn)一步研究

繼牛頓和萊布尼茨之后，17—18世紀(jì)初產(chǎn)生了不少極限與微積分成果.

捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾（Bolzano，1781-1848）是為微積分提供更加嚴(yán)密的基本概念的先驅(qū).他給連續(xù)函數(shù)所下的定義第一次清楚表明， 連續(xù)性觀(guān)念的基礎(chǔ)將在極限中找到.然而他的工作長(zhǎng)期被忽略， 沒(méi)能引起數(shù)學(xué)家們的注意.

瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707—1783年）整理了萊布尼茨的支持者——大陸派的微積分內(nèi)容，先后發(fā)表了《無(wú)窮小分析應(yīng)論》《微分學(xué)》《積分學(xué)》等著作.在這些著作與一系列論文中，歐拉對(duì)微積分的發(fā)展作出了偉大的貢獻(xiàn).（1）對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行了系統(tǒng)的探討，定義了多元函數(shù)和超越函數(shù)概念，區(qū)分了顯函數(shù)和隱函數(shù)，單值函數(shù)和多值函數(shù);（2）給出了用累次積分計(jì)算有界區(qū)域的二重積分方法;（3）研究了數(shù)列極限的存在性，并把該極限記為e;對(duì)于發(fā)散級(jí)數(shù)，把實(shí)函數(shù)的許多結(jié)果都推廣到復(fù)數(shù)域，從而推動(dòng)了復(fù)變函數(shù)的理論發(fā)展;（5）通過(guò)對(duì)函數(shù)極值問(wèn)題的研究，解決了一般函數(shù)問(wèn)題的極值問(wèn)題，并成功的找到了極值函數(shù)必須滿(mǎn)足的微分方程——?dú)W拉方程.

法國(guó)數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和天文學(xué)家拉格朗日（Joseph Louis lagrange，1736—1813年）試圖徹底拋棄模糊不清的無(wú)窮小概念.在其名著《解析函數(shù)論》（1797年發(fā)表）中，他曾經(jīng)嘗試把微分、無(wú)窮小和極限與概念，從微積分中排除，用代數(shù)方法證明了泰勒展開(kāi)式.由于對(duì)無(wú)窮小級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題仍無(wú)法回避極限，因而他的“純代數(shù)的微分學(xué)”嘗試并未成功.但他對(duì)函數(shù)的抽象處理卻可以說(shuō)是實(shí)變函數(shù)的起點(diǎn).此外，他還給出了泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)公式，運(yùn)用極限思想研究了二元函數(shù)的極值，闡明了條件極值的理論，并研究了三重積分的變量代數(shù)式.

德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）認(rèn)識(shí)到微積分的基礎(chǔ)必須建立在靜態(tài)的極限的定義上.他提出了極限的靜態(tài)的定義， 這個(gè)定義就是我們至今仍在使用的極限的ε-N 定義.這個(gè)定義借助不等式， 通過(guò)ε和 N 之間的關(guān)系， 定量地、具體地刻畫(huà)了兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系.該定義只用到了存在、任取等詞語(yǔ)， 已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，排除了極限概念中運(yùn)動(dòng)的直觀(guān)痕跡， 給微積分提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摶A(chǔ)， 也為極限思想在數(shù)學(xué)科學(xué)中贏(yíng)得了合法的席位.

大部分的數(shù)學(xué)家在解決問(wèn)題時(shí)都不同程度地使用了無(wú)窮小方法，進(jìn)而采用了極限的思想和方法，但都沒(méi)有給出明確的定義，包括被譽(yù)為微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲，他們中有很多人在創(chuàng)立微積分的過(guò)程中也沒(méi)有給出無(wú)窮小和極限的數(shù)學(xué)定義.但這絲毫也無(wú)損于這些科學(xué)偉人的歷史功績(jī)，因?yàn)槿魏慰茖W(xué)理論的創(chuàng)立，都不是某個(gè)數(shù)學(xué)家憑空臆想出來(lái)的，而是社會(huì)發(fā)展的需要.從認(rèn)識(shí)論的角度看，人的認(rèn)識(shí)規(guī)律是由具體到抽象，那么人類(lèi)對(duì)極限理論的認(rèn)識(shí)和發(fā)展也不應(yīng)例外.極限思想作為人類(lèi)思想寶庫(kù)中的一種重要思想，它的發(fā)展歷程與微積分、積分學(xué)的發(fā)展有著密不可分的關(guān)系，并且極限思想在微積分發(fā)展中起了重要的作用.