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        例談導(dǎo)數(shù)恒成立問題的解題策略

        2020-09-10 07:22:44顏曉玲
        高考·下 2020年12期

        顏曉玲

        摘 要:不分離時如何研究不等式恒成立問題,從端點(diǎn)分析和某些特殊值出發(fā),揭示通過必要條件縮小參數(shù)范圍、確定討論的分界點(diǎn).等價變形處理包含指對函數(shù)的復(fù)雜函數(shù)的技巧。半分離看函數(shù)趨勢,巧妙尋找特殊點(diǎn),避免討論.指對混合時進(jìn)行切線放縮.

        關(guān)鍵詞:端點(diǎn)分析;臨界位置;等價變形;切線放縮

        一、問題的提出

        利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立時,求參數(shù)取值范圍一直是高考的考查重點(diǎn)、熱點(diǎn),其研究的方法靈活多樣,無外乎不分,半分,全分離,其中不分離時,理解端點(diǎn)分析的原理,找出分類討論的切入點(diǎn)往往可以有效處理復(fù)雜的存在性及恒成立問題。但并非所有恒成立問題都能利用用端點(diǎn)分析,例如2020年全國1的21題不適用,原因在二階導(dǎo)數(shù)含有超越函數(shù),最小值(含參),那么什么情況下分析端點(diǎn)才是適用的呢?不分離時,還有哪些處理函數(shù)的技巧呢?

        方法點(diǎn)睛:理解指對函數(shù)的處理技巧,利用和差化積處理包含指數(shù)的復(fù)雜函數(shù)問題,利用清君側(cè)處理包含對數(shù)的復(fù)雜函數(shù)問題,避免多次求導(dǎo)的復(fù)雜運(yùn)算.

        思路四半分離,求出臨界位置,特值縮小參數(shù)范圍后,證明充分性.

        三、提煉思想方法

        導(dǎo)數(shù)中不等式恒成立問題的解題方法豐富多彩,由于不等式恒成立是一個很強(qiáng)的條件,本文試圖從不分離的角度進(jìn)行解題:

        思路1,分析端點(diǎn)找到討論的分界點(diǎn);

        思路2,半分離基于左右2側(cè)函數(shù)變化趨勢找到臨界位置,即2曲線相切位置,求出極值點(diǎn),從而得到參數(shù)不等式,對求證不等式化動為靜,避免分類討論;

        思路3,處理指對函數(shù)的技巧是和差化積、清君側(cè),避免多次求導(dǎo)無果;

        思路4,處理指對混合的復(fù)雜函數(shù),考慮代數(shù)變形后,進(jìn)行切線放縮調(diào)階.

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