陳新華

導(dǎo)數(shù)中兩個(gè)或多個(gè)變量問題是導(dǎo)數(shù)專題的一大難點(diǎn)，它不僅要求考生熟練掌握各知識，更要注重各知識間的滲透、交叉、綜合。同時(shí)又要有較強(qiáng)的推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力。它通常出現(xiàn)在選擇題或填空題的后兩道或是壓軸題。它是區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)尖子生與非尖子生的一把標(biāo)尺。那該如何突破？筆者在平時(shí)的教學(xué)中通過歸納，總結(jié)了一些主要且常見的題型讓學(xué)生比較，分析并通過相應(yīng)的題型進(jìn)行訓(xùn)練收到比較好的效果。本文就導(dǎo)數(shù)中兩個(gè)或多個(gè)變量問題談三種解決方法。

1、最值法

例1已知，若使得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? 。

解析在[0，3]上單調(diào)遞增在[0，3]上單調(diào)遞增;。又g（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，

所以，依題意得，只需滿足，即只需，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

評注例1是帶有或這樣量詞的兩個(gè)變量，同時(shí)涉及到兩個(gè)不同函數(shù)之間的關(guān)系，如果兩個(gè)不同函數(shù)之間是不等關(guān)系，則他們的解題方案都是轉(zhuǎn)化為最大值或最小值之間的不等關(guān)系;如果兩個(gè)不同函數(shù)之間是等式關(guān)系，則它們的解題方案要轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的值域之間的包含關(guān)系。

2、單調(diào)性法

例2已知且恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是? ? ? ?。

解析由令

則在[1，2]上單調(diào)遞減，即在[1，2]上恒成立，

當(dāng)x=1時(shí)，顯然恒成立，;當(dāng)時(shí)，只需恒成立即可。

令則

當(dāng)時(shí)，所以在（1，2]上單調(diào)遞減，則

，綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是

評注例2這種題型要注意和例1作比較，它是屬于同一個(gè)函數(shù)兩個(gè)變量的恒成立問題，其解題的切入點(diǎn)就是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題來求解。當(dāng)自變量的大小關(guān)系與其對應(yīng)函數(shù)的大小關(guān)系同號時(shí)就是單調(diào)遞增，異號就是遞減。再根據(jù)單調(diào)遞增函數(shù)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)值大于等于0;單調(diào)遞減函數(shù)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)值小于等于0就能快速求解。

3、換元法

例3已知若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)證明。

解析

不妨設(shè)

將上式兩式分別相加相減后消去參數(shù)可得，所以要證明原不等式成立.只需證明成立，令，則即證成立，設(shè)則則g（t）在上單調(diào)遞增，即，所以原不等式成立。

評注例3有三個(gè)變量，首先要先消掉與所要求證的式子無關(guān)的變量，在分析剩余的兩個(gè)變量是否有主次之分，如果這兩個(gè)變量沒有主次之分就采用換元法，而換元時(shí)也要看式子的結(jié)構(gòu)特征如有齊次結(jié)構(gòu)就采用將兩個(gè)變量相除后再用一個(gè)參數(shù)替代達(dá)到消元;如有出現(xiàn)兩根之和及之積這種結(jié)構(gòu)特征則采用整體替換的方法達(dá)到消元。

綜上所述，含有兩個(gè)或多個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)問題對學(xué)生來說確實(shí)比較困難，這類題型的突破不是一朝一夕的，平時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練，而且要善于分析，所以教師在課堂教學(xué)中要適時(shí)的給以引導(dǎo)并歸納總結(jié)方法，這樣學(xué)生才能以不變應(yīng)萬變最終解決這類難題。

參考文獻(xiàn)

[1]馮小明，棱錐外接球問題初探，福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018年（1）：43-44

[2]陳德燕，基于數(shù)學(xué)思想方法的導(dǎo)數(shù)問題求解策略分析，福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2018年（5）：38-41