羅禮紅

摘 要：北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“點(diǎn)陣中的規(guī)律”不應(yīng)只滿足于計(jì)算出點(diǎn)子數(shù)量，更應(yīng)著眼于“規(guī)律”本身，因此搭建擺一擺的活動(dòng)，進(jìn)而創(chuàng)造小組活動(dòng)、找到不同觀察所帶來的的不同規(guī)律，感受多角度觀察的思維方法，滲透數(shù)形結(jié)合與建模思想。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)陣;規(guī)律;多角度;數(shù)形結(jié)合

《點(diǎn)陣中的規(guī)律》是北師大版五年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)好玩《圖形中的規(guī)律》的后半節(jié)課，筆者將它作為一節(jié)獨(dú)立課進(jìn)行教學(xué)。在磨課中，當(dāng)教師給學(xué)生一個(gè)自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學(xué)習(xí)單后，學(xué)生大多數(shù)都填寫了“1×1，2×2，3×3……”，對(duì)于其他角度觀察的規(guī)律，比如斜著觀察、拐彎觀察，學(xué)生不僅沒有產(chǎn)生這樣的觀察角度，甚至覺得這樣的觀察寫出來的算式很麻煩。在第三次磨課時(shí)，有一個(gè)學(xué)生居然忍不住喊了出來：“老師，他觀察得到的算式太麻煩了！”

難怪每次磨課都不理想，我恍然大悟，原來學(xué)生對(duì)規(guī)律并不認(rèn)可，他們以為要找的是最佳算法。當(dāng)我們認(rèn)為學(xué)生會(huì)自然地發(fā)現(xiàn)點(diǎn)陣的三種觀察方法時(shí)，我們其實(shí)是站在成人的角度上想當(dāng)然而已。想要貼著學(xué)生的思維前行，就要還原點(diǎn)陣的規(guī)律本身。

教師如何搭建腳手架，使學(xué)生真正去發(fā)現(xiàn)更多的規(guī)律本身呢？筆者從這個(gè)角度出發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，放手讓學(xué)生先有規(guī)律地?cái)[一擺5號(hào)點(diǎn)陣點(diǎn)陣，為學(xué)生的多角度觀察搭建腳手架，再讓學(xué)生自主觀察整組點(diǎn)陣并列算式、找規(guī)律，讓學(xué)生獲得更多的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受“數(shù)形結(jié)合、多角度觀察”的意義。

教學(xué)目標(biāo)：

1、以古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究形數(shù)的歷程為主線，讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究，能在觀察（劃分）活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)正方形點(diǎn)陣中隱含的規(guī)律，體會(huì)圖形、算式、點(diǎn)數(shù)的關(guān)系。

2、結(jié)合擺一擺、觀察、列式、交流等活動(dòng)，發(fā)展歸納和推理能力。

3、通過多角度觀察點(diǎn)陣，滲透數(shù)形結(jié)合與建模思想。

學(xué)具準(zhǔn)備：鉛筆、尺子、橡皮、水筆、磁力板、小磁鐵。

教學(xué)過程：

一、故事引入，操作鋪墊

1、故事引入

師：你們喜歡聽數(shù)學(xué)家的故事嗎？今天老師給大家介紹一位古希臘數(shù)學(xué)家——畢達(dá)哥拉斯，他喜歡通過點(diǎn)陣來研究數(shù)。開始時(shí)，他在沙灘上擺石子，一個(gè)石子表示1，兩個(gè)石子表示2，3個(gè)石子表示3……后來他用石子擺出各種各樣的圖形，比如三角形、正方形、長(zhǎng)方形等，借此來研究數(shù)，研究算式，并留下了許多寶貴的發(fā)現(xiàn)。他在研究中還完成了一項(xiàng)極限挑戰(zhàn)，能極速挑戰(zhàn)1+3+5+7+9+11+13這些加法算式呢！后人把每個(gè)小石子看成點(diǎn)，就組成了我們今天要研究的點(diǎn)陣！

2、觀察操作

（1）觀察點(diǎn)陣

我們先來看看這組點(diǎn)陣吧！逐個(gè)出示點(diǎn)陣圖（如下圖），看看這些點(diǎn)陣——由點(diǎn)組成的有規(guī)律的圖形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都是正方形的，每行和每列的點(diǎn)數(shù)一樣多。

生：后一個(gè)點(diǎn)陣比前一個(gè)點(diǎn)陣多一行多一列，點(diǎn)陣越來越大了。

師：很好，大家都是細(xì)心、會(huì)觀察的同學(xué)！點(diǎn)陣比較多，我們分別給它們編號(hào)：1號(hào)點(diǎn)陣，2號(hào)點(diǎn)陣……

（2）同桌合作，有規(guī)律地?cái)[點(diǎn)陣

師：5號(hào)點(diǎn)陣是怎樣排列的？你能根據(jù)前面4個(gè)點(diǎn)陣的規(guī)律，有規(guī)律地?cái)[出來嗎？同桌合作擺一擺，要擺得又快又有規(guī)律哦！

同桌合作過程中，教師巡查、指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不同擺法。

師：同學(xué)們動(dòng)作真快，都擺出了5號(hào)點(diǎn)陣！誰來說一說怎么擺的呢？

生：我是一行一行擺的。

生：我在4號(hào)點(diǎn)陣的基礎(chǔ)上再擺一行一列。

生：我是一層一層往外擺的。

教師根據(jù)學(xué)生的擺法，課件動(dòng)態(tài)演示，并給各種方法命名（如上圖）。

師小結(jié)：小小的一個(gè)點(diǎn)陣，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了不同的擺法！今天，你們想不想過一把當(dāng)數(shù)學(xué)家的癮，自己來找找這組點(diǎn)陣中的規(guī)律？那現(xiàn)在我們開始自主學(xué)習(xí)——找規(guī)律！

[我的思考] 結(jié)合數(shù)學(xué)家的故事引入，能很好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。為什么要安排擺一擺的活動(dòng)呢？若不給學(xué)生擺一擺，直接讓學(xué)生從不同的角度觀察點(diǎn)陣、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，留給學(xué)生的思考空間會(huì)比較多，但在多次磨課中卻發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生不理解什么叫做“不同角度觀察”，反而因?yàn)閷懗龀朔ㄋ闶蕉凑醋韵?。哪怕有個(gè)別學(xué)生發(fā)現(xiàn)了不同角度觀察，也造成“自主探究出規(guī)律”的學(xué)生比率很低，學(xué)生只是被動(dòng)地聽取他人的想法，甚至有些學(xué)生認(rèn)為斜著觀察、拐彎觀察的列式都太麻煩了。因此，教師有必要在這里安排有規(guī)律地?cái)[一擺5號(hào)點(diǎn)陣的活動(dòng)，迫使學(xué)生去思考不同的擺法，為后面的“不同角度觀察”做鋪墊。這樣學(xué)生的自主探究變得更有目標(biāo)性，突出重點(diǎn)，也更好地引領(lǐng)了學(xué)生，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的參與度，對(duì)規(guī)律的體驗(yàn)更為充分。

二、合作探究，交流規(guī)律

1、活動(dòng)要求：

教師出示學(xué)習(xí)卡，介紹要求：第一步觀察，第二步列式，第三步交流，并讓學(xué)生默讀要求，最后請(qǐng)一名學(xué)生說一說：我們的活動(dòng)要完成哪些任務(wù)？此處，學(xué)生用自己的語言表達(dá)后，能更清楚要求。

2、小組活動(dòng)，匯報(bào)交流

學(xué)生小組活動(dòng)，教師巡查指導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)各種有意思的觀察方法和算式，再組織交流。

師：大家在小組活動(dòng)中非常積極，現(xiàn)在我們邀請(qǐng)幾位同學(xué)來給大家分享。匯報(bào)時(shí)，先說一說你的算式，再說說有什么發(fā)現(xiàn)。

（1）橫著觀察

生：我橫著觀察，第1個(gè)點(diǎn)陣有1×1個(gè)點(diǎn)，第2個(gè)有2×2=4個(gè)點(diǎn)，第3個(gè)有3×3=9個(gè)點(diǎn)……大家有什么疑問嗎？

生：你能用圖形說明這個(gè)3×3的意思嗎？

生：橫著觀察，每行3個(gè)，有3行，就是3個(gè)3。

師：繼續(xù)這樣觀察，第6個(gè)點(diǎn)陣怎么計(jì)算？第10個(gè)點(diǎn)陣呢？（教師追問：沒有圖形了，你還能想象出圖形的樣子嗎？）

師：第一個(gè)點(diǎn)陣1×1，第二個(gè)點(diǎn)陣2×2……你們發(fā)現(xiàn)了這樣觀察，點(diǎn)數(shù)有什么規(guī)律？

生：第幾個(gè)點(diǎn)陣就是幾×幾。

（2）斜著觀察

教師展示學(xué)生作品，并與學(xué)生互動(dòng)。

師：5號(hào)點(diǎn)陣，為什么不加到6？

生：斜著觀察時(shí)，最多的只有5個(gè)點(diǎn)。

師：從這些算式中，大家發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：算式是有對(duì)稱的，中間有一個(gè)最大數(shù)。

生：都是從1開始加到一個(gè)最大的數(shù)，然后再往回加到1。

師：繼續(xù)這樣觀察，10號(hào)點(diǎn)陣怎么列式？

生：假如是10號(hào)點(diǎn)陣，可以從1加到10，再加到1.

師：厲害，看起來復(fù)雜的算式，卻非常有規(guī)律！太棒了，還有不同角度觀察的嗎？

（3）包圍法觀察

教師展示學(xué)生作品，特別注意：只出示算式，遮住圖形，不出示觀察角度。

師：大家能根據(jù)算式，猜一猜他是怎么觀察的嗎？

生：他是包圍法（或拐彎、或直角都行）觀察的……（用手指）

師：真厲害。包圍法這個(gè)詞一下子讓人聽明白了。那誰能結(jié)合圖形說一說1+3+5+7+9的意思？

生：看這個(gè)5號(hào)點(diǎn)陣，拐彎觀察，分別是1個(gè)點(diǎn)，3個(gè)點(diǎn)，5個(gè)點(diǎn)，7個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)。每次多兩個(gè)點(diǎn)，將它們相加就是總點(diǎn)數(shù)。

教師追問：繼續(xù)這樣觀察，第7個(gè)點(diǎn)陣怎么列式？

生1：1+3+5+7+9+11+13。最后一個(gè)數(shù)是13，可以認(rèn)為是2×7-1得到的，中間重復(fù)了一個(gè)點(diǎn)。

師：還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：算是都是從1開始的單數(shù)相加的。

師：1號(hào)點(diǎn)陣是1，2號(hào)點(diǎn)陣有兩個(gè)數(shù)相加，3號(hào)點(diǎn)陣有3個(gè)數(shù)相加 ……這有規(guī)律嗎？

通過這樣的提問，引導(dǎo)學(xué)生說出“第幾個(gè)點(diǎn)陣就從1開始加幾個(gè)連續(xù)單數(shù)”。讓學(xué)生在對(duì)比、想象中加深了對(duì)算式規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

三種方法小結(jié)：

師：為什么同一個(gè)點(diǎn)陣，我們列出了不同的算式？

生：從不同的角度觀察，列式就不同，規(guī)律就不同。

師：是啊，我們得出了不同的算式，乘法簡(jiǎn)潔，后面的兩種很有規(guī)律。以5號(hào)點(diǎn)陣為例，這些算式的結(jié)果都等于多少？（25）以后我們遇到這些有規(guī)律的算式就可以化成這個(gè)乘法算式來計(jì)算了！還記得我們的極限挑戰(zhàn)嗎？

3、考考你：極速挑戰(zhàn)

（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17

生：有9個(gè)從1開始的單數(shù)，所以結(jié)果是9×9=81.

生：最后一個(gè)數(shù)17=9×2-1，我想到了這是第9個(gè)點(diǎn)陣，所以也是81.

（2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=？

生：這個(gè)有規(guī)律的算式中間最大數(shù)是9，所以是第9號(hào)點(diǎn)陣，結(jié)果是9×9=81。

師：雖然是算式，但是大家想到了剛才學(xué)習(xí)的正方形點(diǎn)陣，用圖形來解決算式問題，太神奇了！剛才從不同的角度觀察點(diǎn)陣，就列出了不同的算式，這是由形到數(shù)的過程，現(xiàn)在看到算式，我們就想到了點(diǎn)陣，這恰恰是由由數(shù)返回到形的過程，正如數(shù)學(xué)家華羅庚說過的一句話：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好！

[我的思考]這是本節(jié)課的核心內(nèi)容——學(xué)生自主探究一組點(diǎn)陣中的規(guī)律。教師鼓勵(lì)學(xué)生大膽匯報(bào)自己發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并在匯報(bào)中激發(fā)生生互動(dòng)，并不斷地引導(dǎo)學(xué)生思考不同觀察方法得到的不同規(guī)律，使“規(guī)律”成為課堂的主旋律。最后，教師注重多種方法的聯(lián)結(jié)，看似簡(jiǎn)單的問題，實(shí)在讓學(xué)生快速將方法串聯(lián)在一起。極限挑戰(zhàn)既是對(duì)規(guī)律的應(yīng)用，同時(shí)又是對(duì)規(guī)律的升華，挑明數(shù)形結(jié)合的思想，讓數(shù)形結(jié)合的思想在學(xué)生的心中落地生根。

三、趣味點(diǎn)陣，課堂延伸

師：老師還帶來一個(gè)趣味點(diǎn)陣，請(qǐng)大家來挑戰(zhàn)！觀察下圖中已有的幾個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請(qǐng)你按規(guī)律畫出下一個(gè)圖形，并給這組點(diǎn)陣列出有規(guī)律的算式。

生：可以按一個(gè)直角一個(gè)直角轉(zhuǎn)彎觀察，第一幅圖有3個(gè)點(diǎn)，第二幅圖增加4個(gè)點(diǎn)，第三幅圖接著增加6個(gè)點(diǎn)，最后一幅圖再增加8個(gè)點(diǎn)，所以得到一組算式：3;3+4=7;3+4+6=13;3+4+6+8=21。最后一幅如下圖A。

生：可以將點(diǎn)陣添加幾個(gè)點(diǎn)變成正方形，然后再減掉添加的點(diǎn)。于是得到一組算式：2×2-1=3;3×3-2=7;4×4-3=13;5×5-4=21。最后一幅如下圖B。

生：橫著觀察，前幾行都相等，最后一行多1個(gè)點(diǎn)。于是得到一組算式：1+2=3;2+2+3=7;3+3+3+4=13;4+4+4+4+5=21。最后一幅如下圖C。

師：這個(gè)點(diǎn)陣叫做螺旋點(diǎn)陣，大家能從不同的角度發(fā)現(xiàn)它的點(diǎn)數(shù)，真奇妙！

圖A

圖B

圖C

[我的思考]僅僅正方形點(diǎn)陣的學(xué)習(xí)略微單調(diào)，不利于學(xué)生對(duì)點(diǎn)陣的整體認(rèn)識(shí)。因此，有必要進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?。此處，結(jié)合螺旋點(diǎn)陣，讓學(xué)生應(yīng)用“不同角度觀察”，增加思維的靈活性。在數(shù)學(xué)上，教師希望學(xué)生舉一反三、一題多解，其實(shí)就是希望學(xué)生多角度觀察和思考。因此，這節(jié)課的價(jià)值不僅體現(xiàn)在這節(jié)課上，更體現(xiàn)在學(xué)習(xí)方法上。

四、回顧課堂，整理反思

師：借助正方形點(diǎn)陣、螺旋點(diǎn)陣，我們發(fā)現(xiàn)了很多規(guī)律，這些都是數(shù)學(xué)家們的重要發(fā)現(xiàn)，所以同學(xué)們今天已經(jīng)超額完成了小小數(shù)學(xué)家的任務(wù)。關(guān)于點(diǎn)陣，你還想學(xué)習(xí)什么？這節(jié)課你最大的收獲是什么？

生：數(shù)形結(jié)合真奇妙。

生：我知道了如何從不同角度觀察點(diǎn)陣。

生：從不同角度觀察，點(diǎn)陣的規(guī)律就不同。

師小結(jié)：真奇妙，換個(gè)點(diǎn)陣看這些點(diǎn)陣，就有了這么多神奇的發(fā)現(xiàn)！就像那首詩所說的：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同！點(diǎn)陣中的規(guī)律還有很多很多……希望大家今后繼續(xù)探索點(diǎn)陣的奧妙！生活中處處都有規(guī)律，大家要有一雙善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的眼睛！

[我的思考]課雖止，探究不止。此次，學(xué)生回顧整理，既引發(fā)學(xué)生的反省意識(shí)，也讓學(xué)生放眼生活，拓展視野，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)尋找點(diǎn)陣及其規(guī)律。

教學(xué)反思：

本節(jié)課立足于正方形點(diǎn)陣，“畢其功于一役”，在研究一組正方形點(diǎn)陣中將規(guī)律挖深、吃透。教學(xué)貼著學(xué)生的思維前行，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生進(jìn)行多維探究，在數(shù)形結(jié)合中引發(fā)學(xué)生建立算式的模型，從圖到數(shù)到式，再?gòu)氖降綀D到數(shù)，學(xué)生的觀察能力、思維能力不斷形成并逐步提高。教師透過現(xiàn)象看到規(guī)律的本質(zhì)，在教教材中顯性知識(shí)的同時(shí)，挖掘出其包含的隱性知識(shí)，牢牢把握住了這節(jié)課的規(guī)律本身。

學(xué)生在學(xué)習(xí)之中收獲的不僅僅是規(guī)律，更重要的是找規(guī)律的方法——多角度觀察。在磨課中，學(xué)生高呼“老師，他觀察得到的算式太麻煩了”，但是在調(diào)整教學(xué)方式后，學(xué)生在回顧整理中將“多角度觀察”作為一項(xiàng)重要的收獲，這無形中提升了學(xué)生的求異思維、發(fā)散思維，有效地促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。