實變函數(shù)論（real function theory）是十九世紀(jì)末二十世紀(jì)初形成的數(shù)學(xué)分支，它起源于古典分析，主要研究對象是自變量（包括多變量）取實數(shù)值的函數(shù)，研究的問題包括函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性、收斂性等方面的基本理論，是微積分的深入和發(fā)展，因為它不僅研究微積分中的函數(shù)，而且還研究了更為一般的函數(shù)，并且得到了比微積分中相應(yīng)理論更為深刻、更為一般而應(yīng)用更為廣泛的結(jié)論，所以實變函數(shù)論是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)各個分支的基礎(chǔ)。

一、實變函數(shù)論的產(chǎn)生

微積分產(chǎn)生于十七世紀(jì)，到了十八世紀(jì)末十九世紀(jì)初，微積分學(xué)已經(jīng)基本上成熟了，數(shù)學(xué)家深入地研究并建立起許多小分支，使它很快成為數(shù)學(xué)中的一大分支，也就是數(shù)學(xué)分析。

也正是在那個時候，數(shù)學(xué)家逐漸發(fā)現(xiàn)分析基礎(chǔ)理論本身還存在著許多問題，比如，什么是函數(shù)？這是一個看上去簡單且十分重要的問題，但數(shù)學(xué)家們并沒有給出統(tǒng)一的、標(biāo)準(zhǔn)的答案。

十九世紀(jì)初，曾經(jīng)有人試圖證明任何連續(xù)函數(shù)除個別點(diǎn)外總是可微的，1872年，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出了第一個處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)的例子，使人們意識到連續(xù)性與可微性的差異，由于發(fā)現(xiàn)了某些函數(shù)的奇特性質(zhì)，數(shù)學(xué)家對函數(shù)的研究更加深入了，人們又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了有些函數(shù)是連續(xù)的但處處不可微的;有的函數(shù)的有限導(dǎo)數(shù)并不黎曼可積;有些函數(shù)連續(xù)但是不分段單調(diào);等等情況，這些都促使數(shù)學(xué)家考慮：要處理的函數(shù)，僅僅依靠直觀觀察和猜測是不行的，必須深人研究各種函數(shù)的性質(zhì)，比如，連續(xù)函數(shù)必定可積，但是具有什么性質(zhì)的不連續(xù)函數(shù)也可積呢？如果改變積分的定義，可積分條件又是什么樣的？連續(xù)函數(shù)不一定可導(dǎo)，那么可導(dǎo)的充分必要條件又是什么樣的……

對上面這些函數(shù)性質(zhì)問題的研究，逐漸產(chǎn)生了新的理論，并形成了一門新的學(xué)科，這就是實變函數(shù)論。

二、實變函數(shù)的內(nèi)容

實變函數(shù)論就是研究一般實變函數(shù)的理論，實變函數(shù)論的內(nèi)容包括實值函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)、微分理論、積分理論和測度論等。

在高中，我們已經(jīng)初步了解了微積分，我們知道，微積分學(xué)主要是從連續(xù)性、可微性、可積性三個方面來討論函數(shù)（包括函數(shù)序列的極限函數(shù)），如果說微積分學(xué)所討論的函數(shù)都是性質(zhì)“良好”的函數(shù)（例如往往假設(shè)函數(shù)連續(xù)或只有有限個間斷點(diǎn)），那么，實變函數(shù)論是從連續(xù)性、可微性、可積性三個方面討論最一般的函數(shù)，包括從微積分學(xué)來看性質(zhì)“不好”的函數(shù)，它所得到的有關(guān)結(jié)論自然也適用于性質(zhì)“良好”的函數(shù)，實變函數(shù)論是微積分學(xué)的發(fā)展和深入。

而實變函數(shù)論是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點(diǎn)集論，也可以說實變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中一些最基本的概念和性質(zhì)的，比如，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等，實變函數(shù)論還要研究實變函數(shù)的分類問題、結(jié)構(gòu)問題。

實變函數(shù)論的積分理論主要研究各種積分的推廣方法和它們的運(yùn)算規(guī)則，由于積分歸根到底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)行積分的時候，必須給各種點(diǎn)集一個數(shù)量的概念，這個概念叫作測度，集合的測度這個概念是由法國數(shù)學(xué)家勒貝格提出來的。

勒貝格在他的論文《積分和圓函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成的一個零測度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題，勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形當(dāng)中，這個時候所得積分是絕對收斂的，后來又推廣到積分可以不是絕對收斂的，從這些就可以看出，勒貝格積分研究的范圍比起由柯西給出后來又由黎曼發(fā)揚(yáng)的老積分定義更廣，這說明，實變函數(shù)論所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。

自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項式級數(shù)，人們就認(rèn)清連續(xù)函數(shù)必定可以用解析式表示出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項式來逼近，這樣，在實變函數(shù)論的領(lǐng)域里又出現(xiàn)了逼近論的理論，逼近論就是研究哪一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近，以及逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。

和逼近理論密切相關(guān)的有正交級數(shù)理論，三角級數(shù)就是一種正交級數(shù)，和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構(gòu)造出新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構(gòu)造論。

從總體上來講，討論函數(shù)的可積性是實變函數(shù)論中最主要的內(nèi)容，它包括勒貝格（Henri Leon Lebe-sgue）的測度、可測集、可測函數(shù)和積分以及少許更為普遍適用的勒貝格——斯蒂爾杰斯測度（Lebesgue-Stieltjes Measure）和積分的理論（見勒貝格積分），實變函數(shù)論中的積分是比黎曼積分更為普遍適用和更為有效的工具，例如微積分基本定理以及積分與極限變換次序，精美的調(diào)和分析理論（見傅里葉分析）就是建立在勒貝格積分的基礎(chǔ)上的，此外，還適用于一些特殊的積分，例如為討論牛頓一萊布尼茨公式而發(fā)現(xiàn)的佩隆積分（Perron integral）。

在函數(shù)連續(xù)性方面，實變函數(shù)論研究了定義在直線的子集（不必是區(qū)間）上函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)的特征，還討論怎樣的函數(shù)可以表示成連續(xù)函數(shù)序列處處收斂的極限，引入了半連續(xù)函數(shù)，還引入貝爾函數(shù)（Baire func，tion），并討論它們的結(jié)構(gòu)。

貝爾函數(shù)是由數(shù)學(xué)家R，L，貝爾于1899年提出的，他提出了如下的函數(shù)分類方法：以區(qū)間[031上的函數(shù)為例，[0.1]上的連續(xù)函數(shù)稱為0類函數(shù)，0類函數(shù)是序列點(diǎn)點(diǎn)收斂的極限函數(shù)，當(dāng)它不是0類函數(shù)時，就稱為1類函數(shù)，1類函數(shù)也是序列點(diǎn)點(diǎn)收斂的極限函數(shù)，如果不是0類或1類的函數(shù)時，便稱為2類函數(shù)，這樣依次對每一個自然數(shù)n定義函數(shù)，可以引人n類函數(shù)的概念。

它們分別稱為x在f（x）處的右方上（下）導(dǎo)數(shù)，左方上（下）導(dǎo)數(shù)（統(tǒng)稱為Dini derivative），，這幾個數(shù)（可以是無限大）都相等且有限時，就稱[n，b]在x處是可導(dǎo)的。

在實變函數(shù)論中還需要考慮可導(dǎo)點(diǎn)集的特征、多元函數(shù)的微分問題以及其它的一些導(dǎo)數(shù)概念和不同導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。

實變函數(shù)論不僅在現(xiàn)代數(shù)學(xué)，尤其是分析數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，而且它的理論和方法對于形成近代數(shù)學(xué)的其它分支，例如拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析有著直接的影響。