公元前503年左右，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在意大利南部的克羅通創(chuàng)建了一個(gè)集政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，該學(xué)派亦稱為“南意大利學(xué)派”，這個(gè)學(xué)派主要是研究“哲學(xué)”和“數(shù)學(xué)”，他們當(dāng)中的大部分人都是自然科學(xué)家，他們把美學(xué)視為自然科學(xué)的一個(gè)組成部分，他們的宗旨是：萬(wàn)物皆數(shù)，即數(shù)是宇宙的本源，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在數(shù)學(xué)上取得了卓越的成就，為數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了偉大的貢獻(xiàn)。

一、數(shù)的藝術(shù)

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：“1”是數(shù)的第一原則，乃萬(wàn)物之母;“2”是對(duì)立和否定的原則，是意見(jiàn);“3”是萬(wàn)物的形體和形式;“4”是正義，是宇宙創(chuàng)造者的象征;“5”是奇數(shù)和偶數(shù)，雄性與雌性相結(jié)合，也是婚姻;“6”是神的生命，是靈魂;“7”是機(jī)會(huì);“8”是和諧，也是愛(ài)情和友誼;“9”是理性和強(qiáng)大;“10”包容了一切數(shù)目，是完滿和美好。

二、黃金分割：（a：b≤（a+b）：a）

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派不斷追求“美”的形式，他們認(rèn)為日、月、五星都是球形，浮懸在太空中，太陽(yáng)、月亮、星辰的軌道間的距離和地球的距離之比，分別等于三種音程，即八度音、五度音、四度音，這是最完美的立體圖形，而圓是最完美的平面圖，曾被譽(yù)為“巧妙的比例”，并被染上各種各樣瑰麗色彩的“黃金分割”就是由這個(gè)學(xué)派首先提出的。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出的“黃金分割”，又稱“黃金段”或“黃金律”，也叫做“中外分割”，黃金分割是指一個(gè)線段、一個(gè)平面或一個(gè)形體分割為a和b兩部分，其較小部分a與較大部分b之比等于較大部分b與它們的和之比，其公式為a：b=b：（a+b），這個(gè)比例關(guān)系的比值大致是0.618：1.其近似值為2：3、3：5、5：8等。

三、萬(wàn)物皆數(shù)

最早把數(shù)的概念放在突出地位的是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們很重視數(shù)學(xué)，企圖用數(shù)來(lái)解釋一切，宣稱數(shù)是宇宙萬(wàn)物的本原，研究數(shù)學(xué)的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘，他們從五個(gè)蘋果、五個(gè)手指等事物中抽象出了“五”這個(gè)數(shù)，這在今天看來(lái)很平常的事，但在當(dāng)時(shí)的哲學(xué)和實(shí)用數(shù)學(xué)界，算是一個(gè)巨大的進(jìn)步，在實(shí)用數(shù)學(xué)方面，它使得算術(shù)成為可能;在哲學(xué)方面，這個(gè)發(fā)現(xiàn)促使人們相信數(shù)是構(gòu)成實(shí)物世界的基礎(chǔ)。

同時(shí)，他們?nèi)我獾匕逊俏镔|(zhì)的、抽象的數(shù)夸大為宇宙的本原，認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”“數(shù)是萬(wàn)物的本質(zhì)”，是“存在由之構(gòu)成的原則”，而整個(gè)宇宙是數(shù)及其關(guān)系的和諧體系，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將數(shù)神秘化，說(shuō)數(shù)是眾神之母，是自然界中對(duì)立性和否定性的原則。

在畢達(dá)哥拉斯定理被提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線的長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示，希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)根號(hào)2的誕生。

小小根號(hào)2的出現(xiàn)，在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴，它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌，實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊，而且還顛覆了當(dāng)時(shí)所有古希臘人的傳統(tǒng)觀念，后來(lái)，希帕索斯被畢達(dá)哥拉斯投海溺斃。

這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與人們的常識(shí)發(fā)生了沖突：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)，這在當(dāng)時(shí)的希臘是人們普遍接受的信仰！可是完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的根號(hào)2給推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)、多么荒謬的事！更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬，人們竟然毫無(wú)辦法，這在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上的一場(chǎng)大風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。

四、勾股定理

畢達(dá)哥拉斯本人以發(fā)現(xiàn)勾股定理（西方稱畢達(dá)哥拉斯定理）著稱于世，這個(gè)定理早已為巴比倫人所知（在中國(guó)古代大約是公元前2到1世紀(jì)成書(shū)的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，假托商高同周公有這樣一段對(duì)話，商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五，”商高這段話的意思就是說(shuō)：當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（短邊）和4（長(zhǎng)邊）時(shí)，徑隅（就是弦）則為5.以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”，這就是中國(guó)著名的勾股定理，）不過(guò)在西方，最早的證明大概可歸功于畢達(dá)哥拉斯，他是用演繹法證明了直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊平方之和，即畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）。

任何一個(gè)學(xué)過(guò)代數(shù)或幾何的人，都知道畢達(dá)哥拉斯定理，這一著名的定理，在許多數(shù)學(xué)分支、建筑以及測(cè)量等方面，有著廣泛的應(yīng)用，古埃及人利用這個(gè)定理來(lái)構(gòu)造直角，他們把繩子按3.4和5個(gè)單位間隔打結(jié)，然后把三段繩子拉直形成一個(gè)三角形，他們知道所得三角形的最大邊所對(duì)的角總是一個(gè)直角。

畢達(dá)哥拉斯定理：給定一個(gè)直角三角形，則該直角三角形斜邊的平方等于同一直角三角形兩直角邊平方的和，反過(guò)來(lái)也是對(duì)的;如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則該三角形為直角三角形。（勾股定理的逆命題）

五、數(shù)論

畢達(dá)哥拉斯在數(shù)論方面做了許多的研究，將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素?cái)?shù)、完全數(shù)、平方數(shù)、三角數(shù)和五角數(shù)等。

在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派看來(lái)，數(shù)為宇宙提供了一個(gè)概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有一定的幾何形狀，在這個(gè)意義上，他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源，因?yàn)橛辛藬?shù)，才有了幾何學(xué)上的點(diǎn)，有了點(diǎn)才有線、面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構(gòu)成萬(wàn)物，所以數(shù)在物之先，自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關(guān)系。

畢達(dá)哥拉斯還通過(guò)說(shuō)明數(shù)和物理現(xiàn)象間的聯(lián)系，來(lái)進(jìn)一步證明自己的理論，他曾證明用三條弦發(fā)出某一個(gè)樂(lè)音，以及它的第五度音和第八度音時(shí)，這三條弦的長(zhǎng)度之比為6：4：3。

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派也深人地研究了整數(shù)的變化規(guī)律，例如，把（除其本身以外）全部因數(shù)之和等于本身的數(shù)，稱為完全數(shù)（如6.28.496等），而將本身小于其因數(shù)之和的數(shù)稱為盈數(shù);將大于其因數(shù)之和的數(shù)稱為虧數(shù)，他們還注意到整數(shù)48可以被2、3、4、6、8、12、16、24整除，這8個(gè)數(shù)都是48的因子，這些因子的和是75;奇妙的是75的因子有3、5、15、25.而它們的和又恰好是48.48與75這一對(duì)數(shù)叫做“半親和數(shù)”，他們還算出140與195也是一對(duì)半親和數(shù)，考慮到1是每個(gè)整數(shù)的因子，把除去整數(shù)本身之外的所有因子叫做這個(gè)數(shù)的“真因子”，如果兩個(gè)整數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)的真因子的和都恰好等于另一個(gè)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)，就構(gòu)成一對(duì)“親和數(shù)”。

220與284是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的一對(duì)親和數(shù)，同時(shí)也是最小的一對(duì)親和數(shù)，因?yàn)?20的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110.而它們的和是284.284的真因子是1、2、4、71、142.其和恰好是220.有人曾經(jīng)把親和數(shù)用于魔術(shù)、法術(shù)、占星學(xué)和占卦上，使它帶有迷信和神秘的色彩，如認(rèn)為若兩個(gè)人都佩帶上分別寫(xiě)著這兩個(gè)數(shù)的護(hù)符，就一定會(huì)保持良好的友誼，這當(dāng)然是非?；尚Φ摹?/p>

六、幾何學(xué)

在幾何學(xué)方面，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派證明了“三角形內(nèi)角之和等于兩個(gè)直角”的論斷;研究了黃金分割;發(fā)現(xiàn)了正五角形和相似多邊形的作法;還證明了正多面體只有五種——正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，當(dāng)然，還有一個(gè)重要貢獻(xiàn)——勾股定理。

誠(chéng)然，畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派的科學(xué)探索在某種程度上給后來(lái)的自然哲學(xué)以及科學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了一些消極影響，但是，這些失誤，并不能掩蓋畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派在自然科學(xué)形成和發(fā)展過(guò)程中起到的積極作用。