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        巧求雙曲線的標準方程

        2020-09-10 07:22:44方佳佳
        關(guān)鍵詞:漸近線所求雙曲線

        方佳佳

        求雙曲線的方程是雙曲線中的基本問題,也是常見問題.要求雙曲線的方程,首先要根據(jù)題設(shè)巧妙地設(shè)出雙曲線的標準方程.那么如何設(shè)方程才能夠簡化問題呢?

        一、根據(jù)雙曲線上兩點,巧設(shè)方程

        由于焦點位置未知,所以我們只需設(shè)雙曲線的方程為[mx2+ny2=1mn<0],可避免分類討論.

        例1.已知雙曲線過[P1(-2 ,32? 5)]和[P2(43? ?7,4)]兩點,求雙曲線的標準方程.

        解析:由題意知,設(shè)雙曲線的標準方程為[mx2+ny2=1mn<0],

        ∵點[P1,P2]在雙曲線上,∴[4m+454n=1,169×7m+16n=1,]

        解得[m=-116,n=19,]

        ∴所求雙曲線方程為[-x216+y29=1],即[y29-x216=1].

        本題中將雙曲線的方程設(shè)為[mx2+ny2=1mn<0],運算簡捷、方便,同時此法在橢圓中也有類似的應(yīng)用.

        二、根據(jù)雙曲線的漸近線,巧設(shè)方程

        若已知雙曲線的漸近線,我們可將漸近線“還原”成雙曲線方程,并且使方程只含一個參數(shù).

        例2.根據(jù)下列條件,分別求出雙曲線的標準方程:

        (1)與雙曲線[x24-y23=1]有共同的漸近線,且經(jīng)過點[M3,-2];

        (2)焦距為10,漸近線方程為[y=±12x].

        分析:(1)與雙曲線[x2a2-y2b2=1]有公共的漸近線,可巧設(shè)雙曲線方程為[x2a2-y2b2=λλ≠0];(2)根據(jù)漸近線方程[y=±bax],可巧設(shè)方程為[x2a2-y2b2=λλ≠0],從而求解雙曲線方程.

        解析:(1)設(shè)所求雙曲線方程為[x24-y23=λλ≠0],

        又∵點[M3,-2]在雙曲線上,

        ∴[44-93=λ],即[λ=-2],

        ∴所求雙曲線的標準方程為[x26-y28=1].

        (2)由題意知,漸近線方程為[y=±12x],

        可設(shè)雙曲線的方程為[x24-y2=λλ≠0],

        即[x24λ-y2λ=1],

        由[a2+b2=c2],得[4λ+λ=25],即[λ=±5],

        ∴所求雙曲線的標準方程為[x220-y25=1]或[y220-x25=1].

        本題中根據(jù)雙曲線的漸近線方程,把雙曲線的方程設(shè)為[x2a2-y2b2=λλ≠0],大大減少試題的運算量,方法顯得靈活,輕便.

        三、根據(jù)雙曲線的離心率,巧設(shè)方程

        離心率可以確定雙曲線的形狀,也確定了實軸與虛軸長度的比例,故設(shè)方程時只需一個待定參數(shù).

        例3.求過點[P3,-2],離心率為[e=52]的雙曲線的標準方程.

        分析:根據(jù)雙曲線的離心率,巧設(shè)方程的形式,簡化運算.

        解析:由題意知[e=52],則[ca=52],

        則[b2=c2-a2=14a2],即[a2=4b2],

        設(shè)雙曲線的方程為[x24-y2=λλ>0]或[y24-x2=λλ>0],

        又點[P3,-2]在曲線[x24-y2=λλ>0]上,

        解得[λ=14];

        點[P3,-2]在曲線[y24-x2=λλ>0]上,此時[λ]無解.

        ∴所求雙曲線的方程為[x2-4y2=1].

        當然,雙曲線標準方程的設(shè)法沒有固定的模式,我們應(yīng)從實際出發(fā),盡量使其含有一個待定參數(shù),這樣可優(yōu)化解題過程.但無論怎么設(shè)雙曲線的標準方程,方程思想貫穿解題全過程.

        (作者單位:廣東省汕頭市達濠第二中學(xué))

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