蘇頻頻

排列組合是高考數(shù)學(xué)必考的知識(shí)點(diǎn)，排列組合問題的難度一般不大，但解法較多，容易出錯(cuò)，因此，我們必須熟練掌握一些解答排列組合問題的思路和方法，本文選取四種常用方法，結(jié)合例題予以說明。

一、捆綁法

捆綁法是解答排列組合問題的一種常用方法，主要用于解決相鄰問題，捆綁法的應(yīng)用步驟是，首先將相鄰元素看作一個(gè)整體或者一個(gè)新的元素，將其與其它元素一起排列，然后再排列相鄰的幾個(gè)元素的順序，最后運(yùn)用乘法計(jì)數(shù)原理得出最終結(jié)果。

例1.在體育課上，教師要求5名學(xué)生排成一列，求A、B、C3名學(xué)生必須相鄰的排列總數(shù)。

解析：由于A、B、c3名學(xué)生要求相鄰，所以我們可以運(yùn)用捆綁法，將3人看作一個(gè)整體，與剩下的2名學(xué)生一起排列，有A3種排列方法;

然后再將A、B、C3人進(jìn)行全排列，有A：種排列方法：

由乘法計(jì)數(shù)原理可得，排列總數(shù)為A3A3=36種排列方法。

當(dāng)題干中出現(xiàn)一些“特定”的詞語時(shí)，如“相鄰站位”“相連”“連續(xù)”等，我們就要想到運(yùn)用捆綁法來解題。

二、插空法

插空法適用于不相鄰問題，在運(yùn)用插空法解答排列組合問題時(shí)，我們要注意找出要求不相鄰和允許相鄰的元素，將允許相鄰的元素先排列，然后找出排列好的元素之間的空隙，將要求不相鄰元素插入空隙中，再由乘法計(jì)數(shù)原理得出答案。

例2.在某一節(jié)音樂課上，教師要求學(xué)生表演才藝，其中有3個(gè)女生和5個(gè)男生，要求女生不能連續(xù)表演，而且不可以第一個(gè)表演，那么，學(xué)生的表演順序有幾種？

解析：由于3個(gè)女生要求不相鄰，所以我們需要運(yùn)用插空法來解題，首先將沒有要求的5個(gè)男生的表演順序排好，有A5種排列方法;

然后將3個(gè)女生插入由5個(gè)男生構(gòu)成的4個(gè)空隙中，則有A4種排列方法;

由乘法計(jì)數(shù)原理得，所有同學(xué)的表演順序總共有A5A4=2880種不同的排法，

在解答本題的過程中，我們首先要考慮女生的特殊要求：女生不能連續(xù)表演、女生不可以第一個(gè)表演，然后將沒有要求的男生排好，找出其中的空隙，將女生“插入空隙”中，最后得出總的排列數(shù)。

三、間接法

間接法是一種正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，常用于反面情況較少的問題，在利用間接法解答排列組合問題的時(shí)候，我們首先要分析在沒有任何要求時(shí)的排列情況，然后再討論題目要求的反面情況，將二者相減即可得出問題的答案。

例3求正方體的8個(gè)頂點(diǎn)可以構(gòu)建出多少個(gè)四面體？

解析：首先，從8個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，總共有C8種情況，

然后考慮四點(diǎn)共面的情況，共12種情況，

所以，這8個(gè)頂點(diǎn)總共可以構(gòu)建C8-12=58個(gè)四面體，

本題若從正面思考，需要考慮的情況較多，利用間接法解題則需要考慮的情況較少，這種方法明顯簡便很多。

四、隔板法

隔板法是指在n個(gè)元素中插入m個(gè)“隔板”，將這n個(gè)元素分成m+1組，最后進(jìn)行全排列的方法，應(yīng)用隔板法解答排列組合問題，必須滿足3個(gè)條件：第一，這n個(gè)元素必須互不相同;第二，所分成的每一組至少含有1個(gè)元素;第三，所分成的組必須彼此相異。

例4.把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，有多少種不同放法？

解析：首先將8個(gè)相同的球排成一排，取3塊完全相同的隔板將其隔開，這樣三塊隔板加8個(gè)球就有11個(gè)位置，從中選取3個(gè)位置，那么有C11種放法，

所以把8個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子，共有C11=165種不同放法。

本題中要求放入4個(gè)不同的盒子，那么我們就需要找3個(gè)隔板將8個(gè)小球分成4份，每一份最少有一個(gè)小球，然后再進(jìn)行組合，在運(yùn)用隔板法解題時(shí)，同學(xué)們要注意仔細(xì)思考需要放入隔板的個(gè)數(shù)，只有找對放入隔板的數(shù)量，問題才能正確獲解。

上面介紹的幾種方法均是解答排列組合問題的常用方法，其中每一種方法的應(yīng)用條件和解題思路均不相同，同學(xué)們要注意結(jié)合實(shí)例進(jìn)行分析、歸納，熟練掌握每一種方法的應(yīng)用技巧。

（作者單位：江蘇省海門市四甲中學(xué)）