張 婧， 劉興祥， 董朦朦

（延安大學數(shù)學與計算機科學學院，陜西延安 716000）

矩陣是許多理工學科的主要數(shù)學工具，與眾多學科的研究發(fā)展息息相關. 而在矩陣這個龐大的主干下有一類特殊矩陣-幻方. 近年來，許多學者關注幻方研究的問題，其研究成果［1-16］也層出不窮. 本文在充分掌握了幻方定義及性質(zhì)之后，研究一種新的幻方即完美和幻方，又稱純幻方和泛對角線幻方，并總結(jié)出雙偶數(shù)階完美始元和幻方的一種構(gòu)造方法.

令C=4k?A+B，則C 是始元完美和完美幻方.

證明 1）先證明矩陣A 的行和、列和、主副對角線和及其與主副對角線平行的線上和相等：

3）證明矩陣C 為始元完美和幻方：

根據(jù)矩陣A 和矩陣B 都是完美幻方，則矩陣C=4k?A+B，則矩陣C 是幻和為32k3+2k2的完美和幻方，再證矩陣C 為始元完美和幻方，由矩陣A 的構(gòu)造知A 中元素的行下標被4 整除，余數(shù)相同的，列下標被2整除余數(shù)相同的元素，構(gòu)造方法相同；矩陣B 中元素的行下標被2整除余數(shù)相同，并且所在列在前2k，或后2k的，元素構(gòu)造方法相同，所以我們根據(jù)所在的行構(gòu)造方法，只需對矩陣C 的前4行進行驗證，若矩陣C 的前4行元素為兩兩互不相同的，則矩陣C 中的元素是兩兩互不相同的，并且為1-16k2個連續(xù)的正整數(shù). 矩陣A 的1、3行和2、4行的元素是由2k 組和為2k-1 的2個不相同元素的重復排列，且1、3行和2、4行的元素互不相同，但1、3兩行和2、4兩行的兩個不同元素的排列順序不同，而矩陣B 的1、3兩行和2、4兩行元素及排列順序完全相同，且為前4k 個正整數(shù)的全排列，則矩陣C 中1、3 兩行為被4k 整除，商相同的4k 個互不相同的數(shù)，2、4兩行也為被4k 整除，商相同的4k 個互不相同的數(shù)，且C 的前4行元素各不相同，且矩陣A 中的元素在后面的4k-4 行元素中沒有與前4 行重復的元素，則矩陣C 中的元素是兩兩互不相同的，并且為1-16k2個連續(xù)的正整數(shù). 則矩陣C 為始元完美和幻方.

證畢！

例 1）構(gòu)造4階完美幻方：

A 的幻和為6；B 的幻和為10；C 為幻和為34的4階完美始元和幻方.

2）構(gòu)造6階完美幻方：

A 的幻和為28；B 的幻和為36；C 為幻和為260的8階完美始元和幻方.