福建省德化第一中學(xué)(362500) 陳玉蘭 吳志鵬

二項(xiàng)式定理研究的是二項(xiàng)之和的乘方展開式,它與多項(xiàng)式乘法有聯(lián)系,高考中二項(xiàng)式定理的試題幾乎年年都有,試題的難度與課本習(xí)題相當(dāng),大多為容易題或中等難度的試題,題型比較穩(wěn)定,通常以選擇題或填空題形式出現(xiàn),有時(shí)也與應(yīng)用問(wèn)題結(jié)合在一起求某些數(shù)、式的近似值.下文結(jié)合實(shí)例對(duì)二項(xiàng)式定理的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)梳理.

一、二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式的考查

題型1 二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)的考查

例1(2019年高考天津卷)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為____.

解析展開式的通項(xiàng)為Tr+1=令8-4r=0,得r=2,所以常數(shù)項(xiàng)為故答案為28.

變式1(2019年高考浙江卷改編)在的展開

式中,系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是____.

解析由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式Tr+1=可知當(dāng)項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)時(shí),9-r必須為偶數(shù).可得r=1,3,5,7,9,即系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是5.

變式2(2017年高考山東卷)已知(1+3x)n的展開式中含有x2項(xiàng)的系數(shù)是54,則n=____.(答案n=4)

評(píng)析求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問(wèn)題,實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)一般需要建立方程求r的值,再將r的值代回通項(xiàng)求解,注意r的取值范圍(r=0,1,···,n).若二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=g(r)xh(r)(r=0,1,2,···,n),g(r)≠0,則有以下常見結(jié)論:h(r)=0?Tr+1是常數(shù)項(xiàng);h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr+1是整式項(xiàng);h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr+1是分式項(xiàng);h(r)是整數(shù)?Tr+1是有理項(xiàng).

題型2 幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開式的考查

(a+b)m(c+d)n(m,n ∈N*) 型稱為二項(xiàng)式的積,此類問(wèn)題是二項(xiàng)展開式與乘法分配律相結(jié)合的應(yīng)用.(a+b)m(c+d)n展開式的通項(xiàng)為Tr+1Tk+1=對(duì)照題目中字母指數(shù)的特殊要求,尋找r,k所滿足的條件,確定r,k的值.

例2(2019年高考全國(guó)Ⅲ卷)(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為( ).

A.12 B.16 C.20 D.24

解析(1+x)4的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk+1=故(1+2x2)(1+x)4的展開式中x3的系數(shù)為故選A.

變式展開式中x4的系數(shù)為____.

提示由乘法分配律得x4項(xiàng)的系數(shù)分別來(lái)自兩個(gè)二項(xiàng)展開式中兩項(xiàng)乘積的系數(shù),應(yīng)為如下表搭配[1]:

(x+1)4(x-1)5常數(shù)項(xiàng):C44含x4 項(xiàng)的系數(shù)C15(-1)含x 項(xiàng)的系數(shù)C24含x3 項(xiàng)的系數(shù)C25(-1)2含x2 項(xiàng)的系數(shù)C04含x2 項(xiàng)的系數(shù)C35(-1)3

因此,x4項(xiàng)的系數(shù)

評(píng)析對(duì)于幾個(gè)二項(xiàng)式積的展開式中特定項(xiàng)問(wèn)題研究,一般都可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律,結(jié)合組合思想求解,分類時(shí)要注意避免重復(fù)或遺漏.

題型3 三項(xiàng)和的乘方展開式中特定項(xiàng)的考查

例3(2015年高考全國(guó)Ⅰ卷)(x2+x+y)5的展開式中,x5y2項(xiàng)的系數(shù)為( ).

A.10 B.20 C.30 D.60

解析方法1.(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,由通項(xiàng)公式Tr+1=Cr5(x2+x)5-ryr(r≤5,r ∈N) 可知,當(dāng)r=2 時(shí)含有y2項(xiàng),所以含y2的項(xiàng)為T3=C25(x2+x)3y2,對(duì)于(x2+x)3,由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式Tk+1=Ck3(x2)3-kxk(k=0,1,2,3),可知:當(dāng)k=1 時(shí)含有x5項(xiàng),所以(x2+x)3中含x5的項(xiàng)為C13x4·x=C13x5,可得x5y2的系數(shù)為C25C13=30.故答案為C.

方法2.(x2+x+y)5的展開式的通項(xiàng)公式為由題意可得:解得x5y2的系數(shù)為C25C13=30.

方法3.因?yàn)?x2+x+y)5表示5 個(gè)(x2+x+y)之積,所以x5y2從5 個(gè)因式中的兩個(gè)因式取y,兩個(gè)因式取x2,一個(gè)因式取x,所以x5y2的系數(shù)為C25C13C11=30.

方法4.令k1+k2+k3=5,則展開式的通項(xiàng)公式為由題意可得解得k1=2,k2=1,k3=2,所以展開式中x5y2的系數(shù)為30.

評(píng)析對(duì)于(a+b+c)n展開式中特定項(xiàng)的求解策略:

(1)化為二個(gè)二項(xiàng)式的積,即將三項(xiàng)式利用因式分解變?yōu)閮蓚€(gè)二項(xiàng)式的積,然后再用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解問(wèn)題;

(2)逐層展開法,即將三項(xiàng)式分成兩組,用二項(xiàng)式定理展開,再把其中含二項(xiàng)式的項(xiàng)展開,利用通項(xiàng)公式的兩次疊乘運(yùn)算從而得到三項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:(a+b+c)n=[(a+b)+c]n的通項(xiàng)公式為Crn·(Ctn-ran-r-tbt)· cr=

(3)運(yùn)用組合數(shù)知識(shí),把(a+b+c)n看成n個(gè)(a+b+c)的積,利用組合知識(shí)分析項(xiàng)的構(gòu)成;

(4)多項(xiàng)式 (a1+a2+···+am)n展開式中含項(xiàng)為其中k1+k2+···+km=n(m,n≥2)[2].

二、二項(xiàng)式定理中性質(zhì)的考查

題型1 二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)系數(shù)和的問(wèn)題

二項(xiàng)式定理給出的是一個(gè)代數(shù)恒等式,對(duì)于任意的a,b都成立,考查等價(jià)性質(zhì).因此,可將a,b設(shè)定為一些特殊的值即使用賦值法解題,如何對(duì)a,b進(jìn)行賦值,應(yīng)視具體情況而定,經(jīng)常取1,-1 或0 代入,有時(shí)也取其它值.

例4(2015年高考全國(guó)Ⅱ卷):(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為32,則a=____.

解析令f(x)=(a+x)(1+x)4,則f(1)=(a+1)·(1+1)4=16(a+1),f(-1)=(a-1)·(1-1)4=0,所以(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為:即8(a+1)=32,解得a=3,故答案為3.

評(píng)析賦值法是解決二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題的常用方法,一般地,要使(a+x)n的展開式中項(xiàng)的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系,常令x=0 得常數(shù)項(xiàng),令x=1 可得所有項(xiàng)的系數(shù)和,令x=-1 可得偶次項(xiàng)系數(shù)之和與奇次項(xiàng)系數(shù)之和的差.形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)n(a,b ∈R)的式子,求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=1 即可.形如(ax+by)n(a,b ∈R)的式子,求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令x=y=1 即可.解題過(guò)程中要注意項(xiàng)的系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的區(qū)別.

題型2 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)最值問(wèn)題

二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)與(展開式中)系數(shù)最大的項(xiàng)是不同的.例如,對(duì)于二項(xiàng)式(ax+b)n(其中a,b＞0)而言,其展開式的通項(xiàng)是Tr+1=Crnan-rbrxn-r,該通項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為Crn,而該通項(xiàng)的系數(shù)則是Crnan-rbr.據(jù)楊輝三角形易知,二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)恰為展開式中位于正中間那一項(xiàng)(n為偶數(shù))或正中間的那兩項(xiàng)(n為奇數(shù));而展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)可通過(guò)解不等式組來(lái)確定.

例5(x+2y)7的展開式中,系數(shù)最大的項(xiàng)是( ).

A.68y7B.112x3y4C.672x2y5D.1344x2y5

解析因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)Tr+1=Cr7x7-r(2y)r,r=0,1,···,7.

可設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大,則有即

變式設(shè)m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b,若13a=7b,則m等于( ).(答案B)

A.5 B.6 C.7 D.8

評(píng)析二項(xiàng)式(a+b)n的系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法:

(1)如果n是偶數(shù),則展開式最中間一項(xiàng)為第項(xiàng),其二項(xiàng)式系數(shù)最大;

(2)如果n是奇數(shù),則展開式中間兩項(xiàng)為第項(xiàng)與第項(xiàng),其二項(xiàng)式系數(shù)相等且為最大.

而對(duì)于展開式中各項(xiàng)的系數(shù)則呈離散型,在系數(shù)符號(hào)相同的情況下,求展開式系數(shù)的最大(小)值只需要比較兩組相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的大小來(lái)確定系數(shù)最大(小)的項(xiàng);當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相間時(shí),求展開式系數(shù)的最大值則應(yīng)在系數(shù)都為正的各項(xiàng)系數(shù)之間構(gòu)造相應(yīng)的不等關(guān)系,而求展開式系數(shù)的最小值應(yīng)在系數(shù)都為負(fù)的各項(xiàng)系數(shù)之間構(gòu)造相應(yīng)的不等關(guān)系.

三、構(gòu)造、應(yīng)用二項(xiàng)式定理

題型1 構(gòu)造二項(xiàng)式定理解決相關(guān)問(wèn)題

例6求0.9986的近似值,使誤差小于0.001.

解析0.9986=(1-0.002)6=1+C16·(-0.002)+C26·(-0.002)2+···+C66·(-0.002)6.因?yàn)門3=C26·(-0.002)2=15×0.0022=0.00006＜0.001,且第3 項(xiàng)以后的項(xiàng)的絕對(duì)值都遠(yuǎn)小于0.001,所以從第3 項(xiàng)起,以后的項(xiàng)都可以忽略不計(jì),則0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988.

評(píng)析由于此類問(wèn)題的計(jì)算量很大,轉(zhuǎn)化為構(gòu)造二項(xiàng)展開式進(jìn)行計(jì)算,可降低計(jì)算量,獲得結(jié)論,構(gòu)造二項(xiàng)式定理解決近似計(jì)算問(wèn)題時(shí)要注意:當(dāng)a的絕對(duì)值與1 相比很小且n不大時(shí),常用近似公式(1±a)n ≈1±na,若精確度要求較高時(shí),則可使用近似公式(1+a)n ≈1+na+進(jìn)行計(jì)算.

例7若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+···+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,···,a5是實(shí)數(shù),則a3=____.

解析方法1.因?yàn)閒(x)=x5=[-1+(1+x)]5,則有a3=C35(-1)2=10.

方法2.換元法:令t=1+x,由已知得(t-1)5=a0+a1t+a2t2+···+a5t5,由通項(xiàng)公式得T3=C25t3·(-1)2=10t3,所以a3=10.

評(píng)析由于所給的式子表征為二項(xiàng)展開式的模型,逆用二項(xiàng)式定理,構(gòu)造公式中的兩個(gè)項(xiàng),如例7 若把(1+x)看作為其中一項(xiàng),則將x變?yōu)?1 與(1+x)兩項(xiàng)的和,構(gòu)造兩項(xiàng)和或差的二項(xiàng)式再展開,達(dá)到求解、求值的目標(biāo).

例8已知函數(shù)則的值為( ).

A.2016 B.1008 C.504 D.0

解析因?yàn)閒(x)=所以f(x)=由二項(xiàng)式定理知

評(píng)析由于所給函數(shù)為關(guān)于x的多項(xiàng)式,符合二項(xiàng)式定理中展開式的表征,構(gòu)造二項(xiàng)式定理進(jìn)行解題,具有到事半功倍的效果.

題型2 應(yīng)用二項(xiàng)式定理解決相關(guān)問(wèn)題

例9中國(guó)南北朝時(shí)期的著作《孫子算經(jīng)》中,對(duì)同余除法有較深的研究.設(shè)a,b,m(m＞0)為整數(shù),若a和b分別被m除,除得的余數(shù)相同,則稱a和b對(duì)模m同余,記為a ≡b(modm).若a ≡b(mod10),則b的值可以是( ).

A.2011 B.2012 C.2013 D.2014

解析因?yàn)?/p>

所以被10 除得的余數(shù)為1,而2011 被10 除得的余數(shù)是1,故選A.

評(píng)析求余數(shù)或證明整除,先依據(jù)除數(shù)湊配,然后利用二項(xiàng)展開式,最后證明、計(jì)算.解題關(guān)鍵是對(duì)被除式進(jìn)行合理變形,把它寫成恰當(dāng)?shù)亩?xiàng)式形式,使其展開后的某些項(xiàng)都含有除式中的因式,進(jìn)而求余數(shù)或證明整除.

例10證明不等式2n＞2n+1(n≥3,n ∈N*).

解析當(dāng)n=3 時(shí),2n=23=8,2n+1=7,2n＞2n+1成立;當(dāng)n≥3(n ∈N*)時(shí),

綜上,不等式2n＞2n+1(n≥3,n ∈N*)成立.

評(píng)析對(duì)于此類與自然數(shù)n相關(guān)不等式的證明,如能構(gòu)造相應(yīng)的二項(xiàng)式,并對(duì)其展開式的項(xiàng)進(jìn)行放縮即可以達(dá)到求和并證明結(jié)論的目的,所以應(yīng)用二項(xiàng)式定理也是證明與自然數(shù)相關(guān)的命題的一種有效的路徑.

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)考查的一個(gè)重要內(nèi)容,它能有效考查學(xué)生的等價(jià)變形,數(shù)學(xué)推理,數(shù)學(xué)直觀,數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),是提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)模塊知識(shí),教學(xué)中教師可利用專題知識(shí)講解讓學(xué)生多思,多練,多感受.