廣東省中山市濠頭中學(xué)(528437) 閆 偉

1 試題呈現(xiàn)與分析

題目(2020 屆揚州市一模) 如圖1,在平面直角坐標系xOy中,橢圓C:的離心率為右準線的方程為x=4,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點,A,B分別為橢圓的左右頂點.

圖1

(1)求橢圓C的方程;

(2)過T(t,0)(t＞a)作斜率為k(k＜0)的直線l與橢圓交于M,N兩點,且F1M//F2N,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,求k1·k2的值.

分析試題平和樸實、內(nèi)涵深刻,給人以“題在書外,根在書內(nèi)”的感覺,從知識層面看主要考查了橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)、直線和橢圓的位置關(guān)系及斜率積為定值問題;從能力層面看主要考查學(xué)生邏輯推理能力,運算求解等方面的能力,較好地檢測考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛能.

2 解法探究

(1)橢圓C的方程為過程從略.

(2)解法1(通性通法,少思多算):設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由題意知l:y=k(x-t)與橢圓聯(lián)立得:

因為F1(-1,0),F2(1,0),所以

由F1M//F2N知(x1+1)y2=(x2-1)y1,即k(x1+1)(x2-t)=k(x2-1)(x1-t),整理得t(x2-x1)+(x1+x2)=2t,于是x2-x1=2-又(x1+x2)2=(x1-x2)2+4x1x2,所以

化簡得

又因為A(-2,0),B(2,0),所以

評注本解法是解決此類問題的常規(guī)解法,通過聯(lián)立直線與橢圓方程再結(jié)合韋達定理和條件中的等式先解決參數(shù)k,t,再代入斜率積的表達式進行化簡消參求得定值,解題思路自然,但是運算量特別大.

解法2(聯(lián)立轉(zhuǎn)化,多思少算):設(shè)M(x1,y1),由題意知直線AM:y=k1(x+2) 與橢圓聯(lián)立得:(4k12+3)x2-12k12x+16k12-12=0,所以xAx1=-2x1=即x1=于是得從而kMF1=同理可得:即

因為F1M//F2N,所以kMF1=kNF2,即化簡得(k2-k1)(4k2k1+9)=0,故k1k2=

評注通過將直線AM,BN方程分別與橢圓聯(lián)立求得M,N兩點坐標,再表示直線MF1,NF2的斜率進行轉(zhuǎn)化求解,方法巧妙,運算量較少,不失為解決本題的高效解法.

解法3(大道至簡,深思妙算):如圖1延長NF2交橢圓于點D,因為F1M//F2N,由于橢圓關(guān)于原點中心對稱,不難得出ΔAMF1與ΔBDF2也關(guān)于原點中心對稱,于是AM//BD,即k1=kBD,因為B(2,0),于是直線BD,BN方程分別為y=k1(x-2),y=k2(x-2),則雙直線方程(k1x-y-2k1)(k2x-y-2k2)=0 表示直線BD,BN上的所有點,整理得k1k2(x-2)2+(k1+k2)(x-2)y+y2=0.

因為D,N在橢圓上,將上方程與橢圓聯(lián)立得:k1k2(x-2)2+(k1+k2)(x-2)y+=0,若x≠2,化簡得k1k2(x-2)+(k1+k2)y-=0,該方程即是直線DN的方程,又因為F2(1,0)在直線DN上,代入解得

評注本解法先通過中心對稱將直線AM轉(zhuǎn)化到直線BD,再利用BD,BN直線系方程與橢圓聯(lián)立求解,推理過程簡捷、巧妙,代數(shù)變形簡單,極大的提高了解題效率,難點是要求學(xué)生熟悉直線系方程的應(yīng)用.

以上3 種解法從不同的角度出發(fā)思考問題,各顯神通,充分體現(xiàn)了試題的不拘一格:一道試題往往考查多種能力、多種思維方法,試題的思維方式多元化給考試提供了較大的發(fā)揮空間,這樣通過方法的選擇甄別出考生能力的差異,較好地達到區(qū)分考生的目的.

3 結(jié)論推廣 揭示本質(zhì)

將上述試題一般化,我們可以得到:

結(jié)論1已知橢圓A,B分別為橢圓的左右頂點,F1,F2為橢圓的左右焦點.過T(t,0)(|t|＞a) 作斜率為k(k≠0) 的直線l與橢圓交于M,N兩點,且F1M//F2N,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,則k1·k2=-(1+e)2,其中e為橢圓離心率.

結(jié)論2已知橢圓A,B分別為橢圓的左右頂點,E(-m,0),F(m,0)(|m|＜a,且m≠0)為橢圓內(nèi)的兩點.過T(t,0)(|t|＞a)作斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓交于M,N兩點,且EM//FN,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,則

證明延長NF交橢圓于點D,因為EM//FN,因橢圓關(guān)于原點中心對稱,不難得出ΔAME與ΔBDF也關(guān)于原點中心對稱,于是AM//BD,即k1=kBD,因為B(a,0),于是直線BD,BN方程分別為,y=k1(x-a),y=k2(x-a),則雙直線方程(k1x-y-ak1)(k2x-y-ak2)=0 表示直線BD,BN上的所有點,整理得k1k2(x-a)2+(k1+k2)(xa)y+y2=0.

將方程與橢圓聯(lián)立得:k1k2(x-a)2+(k1+k2)(x-若x≠a,化簡得k1k2(x-a)+(k1+該方程即是直線DN的方程,又因為F(m,0)在直線DN上,代入解得

由于橢圓和雙曲線都是有心二次曲線,于是可類比到雙曲線:

結(jié)論3已知雙曲線A,B分別為雙曲線的左右頂點,E(-m,0),F(m,0)(|m|＞a)為雙曲線內(nèi)側(cè)的兩點.過T(t,0)(|t|＜a)作斜率為k(k≠0)的直線l與雙曲線交于M,N兩點,且EM//FN,設(shè)直線AM,BN的斜率分別為k1,k2,則

4 借題發(fā)揮 深入拓展

由解法3 可知試題中定值結(jié)論似乎與直線l和T(t,0)無關(guān),那么它們還有其他存在的價值嗎? 沿著這條線索繼續(xù)探究,有意外的收獲;在圖1中延長AM,BN交于點P,筆者通過GeoGebra 平臺作圖發(fā)現(xiàn)點P的橫坐標與T(t,0)有關(guān),于是有以下結(jié)論:

結(jié)論4已知橢圓=1(a＞b＞0),A,B分別是橢圓的左、右頂點,F(c,0) 是橢圓的右焦點,過的直線l(非x軸)與橢圓交于點M,N,直線AM,BN交于點P,則點P在直線x=c上.

如果T點是橢圓外x軸上任意一點呢? 是否仍有類似的性質(zhì)呢? 筆者借助GeoGebra 軟件進行了實驗探究,發(fā)現(xiàn)了如下更為一般的結(jié)論:

結(jié)論5已知橢圓=1(a＞b＞0),A,B分別是橢圓的左、右頂點,過T(t,0)(t≠0)的直線l(非x軸)與橢圓交于M,N兩點,直線AM,BN交于點P,則點P在直線x=上.

證明不妨設(shè)M(acosα,bsinα),N(acosβ,bsinβ),因為T(t,0),由T,M,N三點共線得:=即t(sinα-sinβ)=asin(α-β),于是有

故點P在直線x=上.當(dāng)t=時,點P的橫坐標與焦點橫坐標一致,結(jié)論4 是結(jié)論5 的特例.

結(jié)論6已知橢圓=1(a＞b＞0),A,B分別是橢圓的上、下頂點,過T(0,t)(t≠0)的直線l(非y軸)與橢圓交于M,N兩點,直線AM,BN交于點P,則點P在直線y=上.

結(jié)論7已知雙曲線=1(a＞0,b＞0),A,B分別是雙曲線的左、右頂點,過T(t,0)(t≠0)的直線l(非x軸)與雙曲線的同一支交于M,N兩點,直線AM,BN交于點P,則點P在直線x=上.

結(jié)論6、7 類似于結(jié)論5 可證,不再贅述.

結(jié)論8已知拋物線y2=2px(p＞0),A是拋物線的頂點,過點T(t,0)(t＜0)的直線與拋物線交于點M,N,直線AM與過N點且平行于x軸的直線交于點P,則點P在直線x=-t上.

證明設(shè)因為 點T(t,0),由T,M,N三點共線知:

化簡整理得:y1y2=-2pt;又因為直線AM,PN的方程分別為聯(lián)立兩直線方程可得P點的橫坐標即點P在直線x=-t上.

至此,我們通過研究這道模擬試題,不僅發(fā)現(xiàn)了巧妙的解法,還對試題結(jié)論進行推廣,并根據(jù)條件作出引申探究,得到若干精彩結(jié)論;這也是試題的精妙之處,正所謂數(shù)學(xué)不是缺少美,而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛,這就要求我們在今后的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生多去總結(jié)反思.

5 解后反思

解析幾何中定值問題是各類考試的熱點問題之一,這類問題在考查解析幾何基礎(chǔ)知識和幾何性質(zhì)的同時,能很好地考查學(xué)生的運算求解、推理論證等能力,在解題時要學(xué)會探索、歸納和總結(jié),把同類型的問題進行歸類,才能更好的應(yīng)對各類考試.

對題目進行拓展、引申探究是一名數(shù)學(xué)教師必備的專業(yè)素養(yǎng),平時要重視對典型問題的深入研究,探研規(guī)律,并適當(dāng)拓展,充分挖掘題目的育人價值.高中數(shù)學(xué)新課程的理念之一是倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.在教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生不能只滿足于問題的解決,而是要通過變式、類比進行研究,尋求問題的增長點,從而達到“做一題,會一類,甚至通一片”的目的;讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程,引導(dǎo)他們勇于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題,讓學(xué)生在解題思路上產(chǎn)生質(zhì)的變化,使思維得到發(fā)展,進而全面提高學(xué)生的綜合能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).