周曉蘭

一、利用頻率估計(jì)概率

例1在一個(gè)黑色的布袋里裝有四個(gè)乒乓球，其中標(biāo)號(hào)為1、2的是兩個(gè)白球，標(biāo)號(hào)為3、4的是兩個(gè)黃球，這四個(gè)球的形狀、大小、質(zhì)地完全相同。將這四個(gè)球充分?jǐn)噭?，小芳從這個(gè)布袋里摸出一只球后，記下標(biāo)號(hào)，放入布袋充分?jǐn)噭蚝笤倜貜?fù)10次，其中摸出標(biāo)號(hào)為1的球5次，那么小芳第11次摸出標(biāo)號(hào)為1的球的概率是多少？

【錯(cuò)解】1/2。

【分析】錯(cuò)解計(jì)算的是前10次摸出標(biāo)號(hào)為1的球的頻率。只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，才可以用頻率估計(jì)概率，所以不能用12作為事件發(fā)生的概率。

【正解】1/4

【點(diǎn)評(píng)】用事件發(fā)生的頻率來(lái)估計(jì)事件發(fā)生的概率所需要的條件，是“在同樣條件下，大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)”。10次試驗(yàn)顯然是隨機(jī)事件，所以第11次事件發(fā)生的結(jié)果與前面是無(wú)關(guān)的。

二、不清楚“放回”與“不放回”

例2某商場(chǎng)舉辦抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則如下：在不透明的袋子中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，這些球除顏色外都相同，顧客每次摸出一個(gè)球，若摸到紅球，則獲得1份獎(jiǎng)品，若摸到黑球，則沒(méi)有獎(jiǎng)品。如果小芳一次摸出2個(gè)球，求小芳獲得2份獎(jiǎng)品的概率。（請(qǐng)用“畫(huà)樹(shù)狀圖”或“列表”等方法寫(xiě)出分析過(guò)程。）

【錯(cuò)解】

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸到紅球的結(jié)果數(shù)為4，所以P（獲得2份獎(jiǎng)品）=4/16=1/4

【分析】有的同學(xué)沒(méi)有弄明白這里的“摸出2個(gè)球”是放回問(wèn)題還是不放回問(wèn)題。這里的“摸出2個(gè)球”是一次摸出的，所以是不放回問(wèn)題。

【正解】

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中一次摸到2個(gè)紅球的結(jié)果數(shù)為2，所以P（獲得2份獎(jiǎng)品）=2/12=1/6

三、三步及三步以上試驗(yàn)中概率的求解方法

例3甲、乙、丙三人聚會(huì)，每人帶了一件從外盒包裝上看完全相同的禮物（里面的東西只有顏色不同），將三件禮物放在一起，每人從中隨機(jī)抽取一件。設(shè)甲、乙、丙三人抽到的都不是自己帶來(lái)的禮物，記為事件A，求事件A的概率。

【錯(cuò)解】記甲、乙、丙三個(gè)人為A、B、C，他們各自的禮物記為a、b、c，則有

共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中“甲、乙、丙三人抽到的都不是自己的禮物”有6種等可能的結(jié)果，∴P（A）=6/9=2/3

【分析】事件A涉及三個(gè)因素，將題目中的文字信息用相應(yīng)的字母代替，這樣解題能體現(xiàn)“符號(hào)化”的優(yōu)勢(shì)，但是樹(shù)狀圖中的因素是禮物，不涉及人。這道題屬于不放回的問(wèn)題，因?yàn)橛腥齻€(gè)人，所以要分三個(gè)階段完成。

【正解】記甲、乙、丙三個(gè)人各自的禮物為a、b、c，則有

共有6種等可能的結(jié)果數(shù)，其中“甲、乙、丙三人抽到的都不是自己的禮物”有2種等可能的結(jié)果，∴P（A）=1/3

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)涉及三步試驗(yàn)時(shí)，利用“樹(shù)狀圖”能幫助我們不重不漏地列出所有等可能的結(jié)果。通過(guò)此題我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)遇到要經(jīng)過(guò)多個(gè)步驟才能完成的概率題時(shí)，用樹(shù)狀圖法會(huì)更有效。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市梅梁中學(xué)）