牛留斌,劉金朝,曲建軍,尹 峰

(中國(guó)鐵道科學(xué)研究院集團(tuán)有限公司 基礎(chǔ)設(shè)施檢測(cè)研究所，北京 100081)

軌道不平順是引起車輛振動(dòng)的主要來(lái)源，軌道的平順性好壞直接影響車輛高速運(yùn)行平穩(wěn)性和舒適性。車體振動(dòng)加速度是衡量車體振動(dòng)程度的量度，是軌道不平順輸入特征及車輛動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性的綜合反映。兩者之間關(guān)聯(lián)的研究有助于深入理解車輛的傳遞特性、找出車輛敏感波長(zhǎng)、避免車輛振動(dòng)加劇。同時(shí)，結(jié)合車輛振動(dòng)和軌道不平順綜合評(píng)價(jià)軌道質(zhì)量狀態(tài)，有利于全面分析軌道病害，科學(xué)指導(dǎo)工務(wù)養(yǎng)護(hù)維修。因此，國(guó)內(nèi)外對(duì)軌道不平順與車體振動(dòng)之間關(guān)聯(lián)展開(kāi)了大量的研究。文獻(xiàn)[1-2]采用傳遞函數(shù)或短時(shí)傅里葉變換小波分析技術(shù)研究軌道不平順與車輛振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)之間關(guān)聯(lián)；文獻(xiàn)[3-4]通過(guò)車輛-軌道耦合動(dòng)力學(xué)理論及頻率分析方法研究軌道不平順與車體振動(dòng)之間的傳遞特性。以上研究多是采用信號(hào)處理方法(如相干分析等)或車輛-軌道動(dòng)力學(xué)理論借助頻譜分析研究軌道不平順與車體振動(dòng)加速度之間的關(guān)聯(lián)，側(cè)重于找出引起車體強(qiáng)烈振動(dòng)的單項(xiàng)軌道不平順敏感波長(zhǎng)定量分布，不能給出軌道不平順與車體振動(dòng)之間的顯式傳遞特性。車體振動(dòng)是由軌道不平順引起的綜合響應(yīng)，在近似的情況下，單項(xiàng)軌道不平順引起的車體振動(dòng)起到主要因素，如文獻(xiàn)[5]利用系統(tǒng)辨識(shí)方法建立ARX模型研究軌道長(zhǎng)波高低不平順與車體垂向加速度之間傳遞關(guān)系。但相對(duì)于軌道長(zhǎng)波高低不平順和車體垂向加速度之間近似線性的傳遞關(guān)系，軌道不平順與經(jīng)過(guò)車輛一、二系懸掛傳遞后的車體橫向加速度之間存在著較為復(fù)雜的非線性傳遞特性，單項(xiàng)軌道不平順對(duì)車體橫向加速度的影響隨著頻段而不同，這使得兩者的傳遞關(guān)系更為復(fù)雜，文獻(xiàn)[5]中的ARX模型不能有效地表征兩者之間的傳遞關(guān)系。

本文基于系統(tǒng)辨識(shí)理論，以我國(guó)某列高速綜合檢測(cè)列車在某高速鐵路上的實(shí)測(cè)軌道不平順及車體橫向加速度數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，采用多輸入單輸出狀態(tài)空間(State-space)模型建立軌道不平順與車體橫向加速度之間的關(guān)聯(lián)模型研究?jī)烧咧g的傳遞關(guān)系。利用狀態(tài)空間模型的傳遞函數(shù)及實(shí)測(cè)軌道不平順對(duì)車體橫向加速度進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與文獻(xiàn)[5]中ARX模型預(yù)測(cè)車體加速度結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

1 關(guān)聯(lián)模型構(gòu)建

本文構(gòu)建的軌道不平順與車體橫向加速度之間的狀態(tài)空間模型是系統(tǒng)辨識(shí)理論中的方法之一，是在不使用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身固有參數(shù)和內(nèi)部復(fù)雜傳遞關(guān)系的基礎(chǔ)上，通過(guò)實(shí)測(cè)得到的輸入輸出數(shù)據(jù)來(lái)辨識(shí)系統(tǒng)的傳遞特性。首先利用相干分析法找出不同頻段上軌道不平順與車體橫向加速度之間的相干特性，為不同頻段的狀態(tài)空間模型選擇合適的輸入輸出波長(zhǎng)；再根據(jù)高速綜合檢測(cè)列車實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)選擇關(guān)聯(lián)模型的合理階數(shù)及相應(yīng)的模型參數(shù)；最后利用殘差及相關(guān)系數(shù)對(duì)關(guān)聯(lián)模型進(jìn)行驗(yàn)證。

1.1 分頻段方法

車體橫向加速度是由不同類型的軌道不平順引起的，同一類型的軌道不平順的不同波長(zhǎng)成分將影響著車體橫向加速度的不同頻段[6]。為了簡(jiǎn)化模型輸入變量，在軌道不平順有效測(cè)試波長(zhǎng)范圍內(nèi)，根據(jù)軌道不平順與車體橫向加速度之間的相干特性找出不同頻段上與車體橫向加速度相干較強(qiáng)的模型輸入，將狀態(tài)空間傳遞模型分為低頻和中高頻兩個(gè)頻段。相干函數(shù)[7]能夠表征模型輸入與輸出之間的相干特性，可以反映軌道不平順u和車體橫向加速度y之間的在不同頻段上的依賴程度。相干函數(shù)Cuy為

( 1 )

式中：ω為空間頻率，m-1；Guy(ω)是軌道不平順輸入u和車體橫向加速度輸出y的互功率譜，mm·m2/s2；Guu(ω)為模型輸入軌道不平順u的自功率譜，mm2·m；Gyy(ω)為模型輸出車體橫向加速度y的自功率譜，m3/s4。自功率譜及互功率譜的分析方法參考文獻(xiàn)[7]。本文采用平均周期圖譜法(Welch韋爾奇)進(jìn)行功率譜計(jì)算，段內(nèi)傅里葉變換點(diǎn)數(shù)是4 096，加漢明窗(Hamming)，段與段間數(shù)據(jù)樣本重疊50%。

相干函數(shù)的取值范圍在0～1.00之間，相干函數(shù)值越接近1.00，說(shuō)明模型輸入與輸出之間的依賴性越強(qiáng)。通常認(rèn)為相干函數(shù)值大于0.80時(shí)，輸出與輸入之間存在有較強(qiáng)的相干關(guān)系。

1.2 狀態(tài)空間模型

在狀態(tài)空間模型中，軌道不平順輸入u和車體橫向加速度輸出y之間的關(guān)系表述[8-9]為

( 2 )

式中：u(t)為t時(shí)刻的軌道不平順輸入，mm；y(t)為t時(shí)刻車體橫向加速度輸出，m/s2；x(t)為狀態(tài)空間模型的狀態(tài)變量；v1(t)和v2(t)為t時(shí)刻模型誤差值；A、B、C、D為狀態(tài)模型待估參數(shù)。在本文中通過(guò)子空間算法得到模型待估參數(shù)，假定空間狀態(tài)模型的階數(shù)n、模型輸入輸出的個(gè)數(shù)分別為m和r，則參數(shù)矩陣A為n×n矩陣、B為n×m矩陣、C為r×n矩陣、D為r×m矩陣。

空間狀態(tài)模型輸入u和輸出y之間的傳遞函數(shù)為

G(ω)=C(ωIn-A)-1B+D

( 3 )

式中：In為n階單位矩陣。

由實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)訓(xùn)練模型參數(shù)A、B、C、D，根據(jù)式(3)得到模型傳遞函數(shù)，再由模型傳遞函數(shù)及實(shí)測(cè)軌道不平順數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)相應(yīng)的輸出，公式為

( 4 )

1.3 模型參數(shù)優(yōu)化方法

狀態(tài)空間模型參數(shù)A、B、C、D是通過(guò)實(shí)測(cè)軌道不平順數(shù)據(jù)與車體橫向加速度數(shù)據(jù)訓(xùn)練估計(jì)得到的，選擇合理的模型階數(shù)有利于優(yōu)化模型參數(shù)的數(shù)量，提高系統(tǒng)辨識(shí)精度，減少模型誤差。

定義模型的損失函數(shù)V為

( 5 )

由式(5)可知，損失函數(shù)是待估參數(shù)A、B、C、D的函數(shù)，最優(yōu)化預(yù)測(cè)模型的合理階數(shù)n應(yīng)使模型損失函數(shù)V最小。獲得模型最小損失函數(shù)的判別方法有FPE(Final Prediction Error)準(zhǔn)則或AIC(Akaike Information Criterion)準(zhǔn)則[8]，其表達(dá)式分別為

( 6 )

( 7 )

式中：ΔFPE和ΔAIC分別為FPE準(zhǔn)則和AIC準(zhǔn)則計(jì)算出的最小誤差值；d為模型中待估參數(shù)個(gè)數(shù)；N為估計(jì)模型參數(shù)所使用的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)樣本個(gè)數(shù)；V為由式( 5 )定義的模型損失函數(shù)。

通過(guò)FPE準(zhǔn)則或AIC準(zhǔn)則，可以得到合理階數(shù)的狀態(tài)空間模型及對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)。

1.4 模型精度驗(yàn)證

為了確保所構(gòu)建的狀態(tài)空間模型能夠應(yīng)用于實(shí)際預(yù)測(cè)并保持較高的預(yù)測(cè)精度，一般采用模型預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的殘差及相關(guān)系數(shù)來(lái)檢驗(yàn)狀態(tài)空間模型的精度。

( 8 )

( 9 )

相關(guān)系數(shù)ρ的絕對(duì)值為0～1.00；當(dāng)相關(guān)系數(shù)ρ的絕對(duì)值大于0.80時(shí)，認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)性。

2 數(shù)值試驗(yàn)

車體橫向振動(dòng)不但與軌道不平順有關(guān)，還與車輛系統(tǒng)的動(dòng)力性能、車輪踏面圓順度等因素有關(guān)，所建立模型反應(yīng)了軌道不平順與車體橫向加速度之間的傳遞關(guān)系。由于不同的檢測(cè)車輛在動(dòng)力性能上的差異，利用不同檢測(cè)車輛上的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)建立模型時(shí)得到的傳遞函數(shù)會(huì)有差異。

車輪踏面圓順度會(huì)引起車輛周期性振動(dòng)，基波的波長(zhǎng)與車輪輪徑有關(guān)，不大于3 m，在建構(gòu)模型時(shí)會(huì)將該波長(zhǎng)成分濾除。車輪圓順度引起的二階及以上諧波成分在總成分中的比例很少，對(duì)模型的建構(gòu)沒(méi)有影響。

本文中軌向不平順是指實(shí)測(cè)左右兩側(cè)軌向不平順的平均值；由于軌道短波不平順引起激振頻率高，對(duì)車體振動(dòng)加速度影響不大，因此忽略3 m以下軌道不平順對(duì)車輛橫向加速度的影響，主要考慮中長(zhǎng)波范圍軌道不平順與車體振動(dòng)之間的關(guān)系，所以在數(shù)據(jù)使用前首先對(duì)實(shí)測(cè)車體橫向加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行了空間頻率為0.35 m-1的低通濾波，保留了大于3 m的波長(zhǎng)成分，軌道檢測(cè)數(shù)據(jù)的采樣間隔為0.25 m，車輛檢測(cè)速度為200 km/h。

利用構(gòu)建模型的傳遞函數(shù)及實(shí)測(cè)軌道不平順數(shù)據(jù)對(duì)車體橫向加速度進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的相關(guān)性對(duì)比是驗(yàn)證模型辨識(shí)精度的方法。所以將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分為兩個(gè)相互獨(dú)立的部分：一部分用于辨識(shí)訓(xùn)練關(guān)聯(lián)模型的參數(shù)，樣本數(shù)N為10 000組；另一部分軌道不平順數(shù)據(jù)及關(guān)聯(lián)模型用于預(yù)測(cè)車體橫向加速度，并與實(shí)測(cè)車體加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。

2.1 狀態(tài)空間模型分頻段相干函數(shù)

高速綜合檢測(cè)列車實(shí)測(cè)車體橫向加速度功率譜曲線和車體橫向加速度與長(zhǎng)波軌向不平順、曲率、超高、水平等的相干函數(shù)曲線，見(jiàn)圖1。由圖1可知，車體橫向加速度在空間頻域上的能量分布比較集中，主要分布在空間頻域0.010～0.050 m-1范圍內(nèi)。在低于0.005 m-1的頻段時(shí)，車體橫向加速度與超高及曲率相干函數(shù)值大于0.80；在0.005～0.008 m-1頻段時(shí)，車體橫向加速度與水平相干函數(shù)值較大；在0.008～0.35 m-1頻段，車體橫向加速度與長(zhǎng)波軌向不平順相干函數(shù)值較大。

圖1 高速綜合檢測(cè)列車車體橫向加速度功率譜及相干函數(shù)

在不同的頻段，不同類型的軌道不平順與車體橫向加速度的相干特性是不一樣的。分為不同的頻段有助于建立不同類型軌道不平順與車體橫向加速度之間的狀態(tài)空間模型。由圖1可知，本文分別在小于0.005 m-1頻段和0.005～0.350 m-1頻段，在低頻區(qū)段，狀態(tài)空間模型的輸入為曲率和超高；中高頻區(qū)段，狀態(tài)空間模型的輸入為長(zhǎng)波軌向和水平。低頻模型是對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)0.005 m-1低通濾波得到的；中高頻數(shù)據(jù)是對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)頻率為0.005～0.350 m-1帶通濾波得到的。

2.2 低頻狀態(tài)空間模型

由式(7)AIC準(zhǔn)則公式計(jì)算值與狀態(tài)空間低頻車體橫向加速度關(guān)聯(lián)模型階數(shù)n之間的曲線見(jiàn)圖2，圖2中當(dāng)模型的階數(shù)n選為6時(shí)，對(duì)應(yīng)的模型AIC準(zhǔn)則值最小。所以，在建立中高頻橫向加速度與軌道不平順之間的狀態(tài)空間關(guān)聯(lián)模型時(shí)，選用的階數(shù)n為6，所建模型的傳遞函數(shù)特性曲線見(jiàn)圖3，幅頻特性曲線變化平緩，相頻特性曲線顯示兩者沒(méi)有相位差。

圖2 狀態(tài)空間模型AIC與階數(shù)關(guān)系圖(低頻)

圖3 狀態(tài)空間法傳遞函數(shù)特性(低頻模型)

利用狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)及實(shí)測(cè)曲率、超高數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的車體橫向加速度與實(shí)測(cè)加速度的對(duì)比圖見(jiàn)圖4。圖4中顯示了直線及曲線線況條件兩者波形吻合良好，其相關(guān)系數(shù)為0.98，直線部分的對(duì)比見(jiàn)圖5。

圖4 狀態(tài)空間法預(yù)測(cè)低頻車體橫向加速度及對(duì)比

圖5 狀態(tài)空間法預(yù)測(cè)低頻車體橫向加速度及對(duì)比(直線區(qū)段)

兩者的殘差re服從正態(tài)分布N(-0.001 3，0.004 6)，近似滿足0均值假設(shè)，其正態(tài)概率分布曲線見(jiàn)圖6。

圖6 狀態(tài)空間模型殘差分布圖

2.3 中高頻狀態(tài)空間模型

中高頻狀態(tài)空間模型的階數(shù)是通過(guò)AIC準(zhǔn)則進(jìn)行優(yōu)化定階的，按式(7)AIC準(zhǔn)則公式計(jì)算值與狀態(tài)空間模型階數(shù)n之間的關(guān)系曲線見(jiàn)圖7，圖7中曲線表明，當(dāng)狀態(tài)空間模型的階數(shù)n選為6時(shí)，對(duì)應(yīng)的模型AIC準(zhǔn)則值最小，模型最合理。所以，在建立中高頻橫向加速度與軌道不平順之間的狀態(tài)空間模型時(shí)，選用的階數(shù)n為6。

在0.005～0.350 m-1頻段利用狀態(tài)空間法建立長(zhǎng)波軌向不平順、水平與車體橫向加速度之間的多輸入單輸出(MISO)關(guān)聯(lián)模型，由式(2)得到模型輸入與輸出之間的傳遞函數(shù)幅頻特性與相頻曲線見(jiàn)圖8，兩者的相頻特性曲線上在0.047、0.062、0.21 m-1處出現(xiàn)了相位由-π到π的突變，在利用模型傳遞函數(shù)預(yù)測(cè)輸出時(shí)將造成該頻段預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的不準(zhǔn)確。

圖8 狀態(tài)空間法傳遞函數(shù)特性(中高頻)

利用6階狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)及實(shí)測(cè)軌道長(zhǎng)波軌向、水平預(yù)測(cè)到的車體橫向加速度，并與實(shí)測(cè)車體橫向加速度進(jìn)行了對(duì)比，見(jiàn)圖9，兩者的相關(guān)系數(shù)為0.85，兩者的殘差服從正態(tài)分布N(0.000 3，0.006 3)，滿足殘差近似0均值假設(shè)，方差0.006 3反映了模型殘差偏離零均值的程度較小，模型輸出值與實(shí)測(cè)值很接近。殘差正態(tài)概率分布曲線見(jiàn)圖10。

圖9 中高頻橫向加速度預(yù)測(cè)結(jié)果圖(圓曲線部分)

圖10 中高頻殘差分布曲線

利用n階狀態(tài)空間模型預(yù)測(cè)車體橫向加速度時(shí)，前n個(gè)初始值設(shè)置為0，在開(kāi)始預(yù)測(cè)第n+1個(gè)值時(shí)，存在較大的誤差，經(jīng)過(guò)20至40步的迭代計(jì)算，預(yù)測(cè)車體橫向加速度數(shù)據(jù)將逐漸收斂于實(shí)測(cè)波形。

除了在個(gè)別高頻數(shù)據(jù)外，利用空間狀態(tài)模型預(yù)測(cè)的車體橫向加速度與實(shí)測(cè)車體橫向加速度吻合良好，兩者之間的相關(guān)系數(shù)較高，存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)性。

傳遞函數(shù)能夠反映狀態(tài)空間模型能夠辨識(shí)軌道不平順與車體橫向加速度之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的準(zhǔn)確性，而傳遞函數(shù)的正確性可以通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

3 模型驗(yàn)證及對(duì)比

利用實(shí)測(cè)軌道檢測(cè)數(shù)據(jù)及狀態(tài)空間關(guān)聯(lián)模型傳遞函數(shù)預(yù)測(cè)車體橫向加速度，并與相應(yīng)的實(shí)測(cè)車體橫向加速度結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。利用ARX模型建立軌道不平順與車體橫向加速度關(guān)聯(lián)模型的方法可參考文獻(xiàn)[5]。圖11、圖12分別利用狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)、ARX模型傳遞函數(shù)并與相應(yīng)的實(shí)測(cè)車體橫向加速度進(jìn)行對(duì)比。圖11、圖12中所選用的樣本數(shù)據(jù)區(qū)段長(zhǎng)度為1 500 m，曲線半徑為12 000 m，共有6 000個(gè)樣本點(diǎn)。

圖11 狀態(tài)空間模型預(yù)測(cè)車體橫向加速度數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

圖12 ARX模型預(yù)測(cè)車體橫向加速度數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

由圖12可知，無(wú)論線型是直線或者曲線，狀態(tài)空間模型及ARX模型預(yù)測(cè)的車體橫向加速度波形與實(shí)測(cè)波形吻合一致，但狀態(tài)空間模型預(yù)測(cè)的低頻、中高頻及整體數(shù)據(jù)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.97、0.86、0.94，而ARX模型的相關(guān)系數(shù)分別為0.86、0.80、0.82。

由上述利用關(guān)聯(lián)模型傳遞函數(shù)預(yù)測(cè)車體橫向加速度結(jié)果與實(shí)測(cè)車體橫向加速度數(shù)據(jù)對(duì)比可知狀態(tài)空間模型能夠較準(zhǔn)確的辨識(shí)軌道不平順與車體橫向加速度之間的傳遞關(guān)系，而ARX模型辨識(shí)結(jié)果的精度有待提高。

4 結(jié)論

在軌道不平順與車體橫向加速度相干分析基礎(chǔ)上確定狀態(tài)空間模型的輸入，分別在小于0.005 m-1和0.005～0.350 m-1兩個(gè)空間頻段上建立軌道不平順與車體橫向加速度之間的關(guān)聯(lián)模型，利用高速綜合檢測(cè)列車實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)訓(xùn)練優(yōu)化關(guān)聯(lián)模型得到傳遞模型的合理階數(shù)及結(jié)構(gòu)參數(shù)，模型的殘差近似符合零正態(tài)分布的假設(shè)。

對(duì)比實(shí)測(cè)軌道不平順及模型傳遞函數(shù)預(yù)測(cè)車體橫向加速度數(shù)據(jù)和實(shí)測(cè)車體橫向加速度結(jié)果驗(yàn)證所構(gòu)建的狀態(tài)空間模型傳遞函數(shù)的準(zhǔn)確性，分析結(jié)果表明合理階數(shù)的狀態(tài)空間模型能夠較好地辨識(shí)軌道不平順與車體橫向加速度之間的傳遞關(guān)系。