黃欲涵

大家學(xué)習(xí)反比例函數(shù)后，對函數(shù)的圖像和性質(zhì)有了更深入的理解。同時(shí)，反比例函數(shù)又是考試中的一個(gè)熱點(diǎn)。為了幫助同學(xué)們更好地掌握解決反比例函數(shù)問題的方法，下面老師以中考真題為例，與大家共同研究、總結(jié)。

一、用面積，求k值

已知雙曲線y=kx上任一點(diǎn)，過該點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形面積等于|k|，利用這個(gè)性質(zhì)可以解決相關(guān)問題。

【解析】利用三角形的面積為12|k|來解決，所以|k|=4。該反比例函數(shù)圖像在第二象限，所以k的值為負(fù)數(shù)。故選D。

例2如圖2，點(diǎn)A是該函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上，△ABP的面積為2，則該函數(shù)的表達(dá)式為。

解析】連接AO，因?yàn)椤鰽BP和△ABO同底等高，面積相同，而△ABO的面積是12|k|，則|k|為4。因?yàn)閳D像在第一象限，所以函數(shù)關(guān)系式為y=4x。

【點(diǎn)評】本題通過作輔助線轉(zhuǎn)化為熟悉的基本三角形，再利用12|k|的幾何性質(zhì)解決問題。

例3反比例函數(shù)y=3x和y=kx的部分圖像如圖3所示。點(diǎn)C是y軸正半軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB∥x軸，分別交兩個(gè)圖像于點(diǎn)A、B。若CB=2CA，則k的值為（）。

A.-3B.3C.6D.-6

【解析】過點(diǎn)A和點(diǎn)B作x的垂線，垂足分別為E和F。因?yàn)锳B∥x，得S矩形BCOF=2S矩形ACOE，所以k值為-6。故選D。

二、設(shè)坐標(biāo)，用方程

我們在解決反比例函數(shù)問題的時(shí)候，如果發(fā)現(xiàn)有的點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，據(jù)此可以設(shè)這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再找等量關(guān)系列出方程解決問題。

例4（2018·江蘇鹽城）如圖4，點(diǎn)D為矩形OABC的AB邊的中點(diǎn)，反比例函數(shù)yk=x（x>0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)D，交BC邊于點(diǎn)E。

若△BDE的面積為1，則k=。

【解析】設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），利用點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)這個(gè)條件，可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2a，b），再由四邊形OABC為矩形可得BC⊥x軸，繼而可得E點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a，

【點(diǎn)評】這是反比例函數(shù)中求k值的問題。在這個(gè)問題中，設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo)后，點(diǎn)B、E也隨之得出，再代入題中給出的等量關(guān)系得到關(guān)于a和b的兩個(gè)方程，就能求出k的值。解題過程體現(xiàn)了用方程解決問題的思想，而且未知數(shù)雖設(shè)卻不用求。

【點(diǎn)評】對于這類問題，我們首先設(shè)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，其他的點(diǎn)便隨之可表示出來，再利用面積為6這個(gè)條件建立方程，便可求出k值。

（作者單位：江蘇省常熟市周行中學(xué)）