李子豐

燕山大學(xué)石油工程系

原始水平井設(shè)計軌道一般是二維的［1-4］，以減少設(shè)計難度和施工難度，但在很多情況下也采用三維的［5-8］。無論原始設(shè)計是二維的還是三維的，施工過程的修正井眼軌道設(shè)計(也稱待鉆井眼軌道設(shè)計)都是三維的。三維水平井修正軌道設(shè)計的已知參數(shù)是當(dāng)前井底的三維坐標(biāo)值和井斜角及方位角，入靶點的三維坐標(biāo)值和井斜角及方位角。由于入靶點的限定條件是入靶點的三維坐標(biāo)值和井斜角及方位角，并沒有限定井斜角為90°，為此該設(shè)計方法適用于一切限定入靶點的三維坐標(biāo)值和井眼方向的定向井。目前，已有的三維修正水平井軌道設(shè)計方法是斜平面圓弧-直線-斜平面圓弧法［9］，即雙空間圓弧+直線法。這種設(shè)計方法是針對滑動送鉆導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)［10-13］提出的?，F(xiàn)在，旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)［14-15］應(yīng)用得越來越多，這種方法設(shè)計出來的軌道是否還是最優(yōu)？有沒有更好的設(shè)計方法？為了與旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)的發(fā)展相適應(yīng)，筆者提出了2種三維水平井修正軌道設(shè)計方法——二次函數(shù)法和彈性管柱插連法，介紹其物理模型、數(shù)學(xué)模型，以及待解決的問題和潛在價值。

1 現(xiàn)有斜平面圓弧-直線-斜平面圓弧法

圖1描述了三維水平井的井口(坐標(biāo)原點)、靶區(qū)［16］、設(shè)計軌道與實鉆軌跡之間的關(guān)系。由于滑動送鉆導(dǎo)向鉆井技術(shù)先于旋轉(zhuǎn)送鉆導(dǎo)向鉆井技術(shù)出現(xiàn)，并且每趟鉆的導(dǎo)向鉆具上的彎角基本恒定，易于鉆出曲率值基本恒定的井眼，為此，最先出現(xiàn)的三維水平井修正軌道設(shè)計方法是斜平面圓弧-直線-斜平面圓弧法［9］。

圖1實鉆軌跡與設(shè)計軌道和靶區(qū)Fig.1 Actual trajectory,designed trajectory and target

1.1 物理模型

該模型可以用圖2所示通過兩個喇叭口的拉線表 示。圖 中，A點 為 當(dāng) 前 井 底，N1,E1,D1,α1,φ1為A點的北坐標(biāo)、東坐標(biāo)、垂深、井斜角和方位角；B點為入靶點，N2,E2,D2,α2,φ2為B點的北坐標(biāo)、東坐標(biāo)、垂深、井斜角和方位角；R1為第一圓弧段曲率半徑；R2為第二圓弧段曲率半徑。在A點，以曲率半徑R1對應(yīng)的圓弧段繞當(dāng)前井眼軸線旋轉(zhuǎn)一周，形成一個喇叭口；在B點，以曲率半徑R2對應(yīng)的圓弧段繞目標(biāo)段井眼軸線旋轉(zhuǎn)一周，形成另一個喇叭口；將一無重繩索穿過已鉆井筒和目標(biāo)井筒及兩個喇叭口后拉直,則繩索形狀即為設(shè)計的井眼軌道。

圖2兩個喇叭口-拉繩法物理模型Fig.2 Physical model of two bells-rope method

1.2 數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)［9］給出了完整的數(shù)學(xué)模型及求解方法。

1.3 應(yīng)用概況

幾乎所有的三維水平井修正軌道設(shè)計都在采用該方法。

2 二次函數(shù)法

2.1 物理模型

二次函數(shù)法中，井斜角和方位角都是A點到修正井眼所在點井眼長度的二次函數(shù)，在當(dāng)前井底和入靶點與井眼軌道相切,如圖3所示。

2.2 數(shù)學(xué)模型

已知條件為當(dāng)前井底的三維坐標(biāo)值、井斜角和方位角，入靶點的三維坐標(biāo)值、井斜角和方位角。若考慮提前入靶的情況，則將B點沿水平井段軸線左移。

圖3二次函數(shù)法物理模型Fig.3 Physical model of quadratic function method

假設(shè)式中，α為井斜角，°；φ為方位角，°；l為從A點開始沿井眼軌道到所在點的長度，到達(dá)B點時，l=L,m；L為A點到B點的軌道長度，是個未知量；a1,a2,b1,b2為待定系數(shù)。共5個未知量，需要5個獨立方程才能確定，上下兩點各有5個參數(shù)，恰好可以列出5個獨立方程。

2.3 待解決的問題

求解式(2)中的a1,a2,b1,b2和L。

3 彈性管柱插連法

3.1 物理模型

在該模型中，將彈性鉆柱或套管柱兩端分別插入上端已鉆井筒和目標(biāo)水平井筒，在管柱兩端加上拉力,當(dāng)前井底處的拉力為TA，入靶點處的拉力為TB，則管柱中心線即為設(shè)計的井眼軌道，如圖4所示。

3.2 數(shù)學(xué)模型

已知條件：當(dāng)前井底的三維坐標(biāo)值、井斜角和方位角，入靶點的三維坐標(biāo)值、井斜角和方位角。若考慮提前入靶的情況，則將B點沿水平井段軸線左移。

3.2.1 微分方程

如果管柱軸線用r=N(l)i+E(l)j+D(l)k表示,由于彈性管柱處于靜態(tài)、沒有扭轉(zhuǎn)、軸向變形不影響計算結(jié)果，油氣井桿管柱動力學(xué)基本方程［17-18］簡化為

圖4彈性管柱插連法物理模型Fig.4 Physical model of elastic string connection method

式中，F(xiàn)為管柱的內(nèi)力，N；h為單位長度管柱上的重力，N/m；M為管柱的內(nèi)力矩，N·m；E為彈性模量，N/m2；I為截面慣矩，m4；et為管柱變形線的切線方向的單位向量，且

其中

式中，en和eb分別為管柱變形線的主法線方向和副法線方向的單位向量；kb和kn分別為r點的曲率和撓率，m?1。

3.2.2 邊界條件

(1)當(dāng)前井底。

(2)入靶點。

這是一個空間幾何非線性梁問題。

3.3 待解決的問題

求解式(3)～(7)組成的數(shù)學(xué)模型，得到r=N(l)i+E(l)j+D(l)k的具體數(shù)值或表達(dá)式。

4 待進(jìn)行的3種三維水平井修正井眼軌道設(shè)計結(jié)果的比較

(1)適應(yīng)鉆進(jìn)方法的比較。斜平面圓弧-直線-斜平面圓弧法適合滑動幾何導(dǎo)向鉆進(jìn)；二次函數(shù)法和彈性管柱插連法適合旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆進(jìn)。

(2)設(shè)計井段長度的比較。

(3)設(shè)計井段施工難度的比較。

(4)設(shè)計井段和水平井段施工中，摩阻的比較。理論上，在某一特定條件下，管柱在彈性管柱插連法設(shè)計的井筒內(nèi)，與井壁的接觸壓力全為0，這一點與懸鏈法［19］類似。

5 待進(jìn)行的實驗驗證

(1)彈性管柱插連法室內(nèi)實驗。比較理論設(shè)計結(jié)果與實驗結(jié)果。

(2) 3種方法設(shè)計結(jié)果的現(xiàn)場實鉆驗證及對比。

6 結(jié)束語

二次函數(shù)法和彈性管柱插連法必將成為新的三維水平井修正軌道設(shè)計方法。兩種方法的設(shè)計理念和數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立，下一步的工作是求解這兩種方法的數(shù)學(xué)模型、編程和現(xiàn)場應(yīng)用。