喬朋 王宗義 趙丹晨

（長安大學(xué)建筑工程學(xué)院，西安 710061）

波形鋼腹板箱梁橋是一種起源于法國的鋼-混凝土組合橋梁，具有結(jié)構(gòu)自重輕、預(yù)應(yīng)力施加效率高、腹板屈曲性能好等優(yōu)點(diǎn)。波形鋼腹板箱梁橋在日本得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用，并在20 世紀(jì)末引入中國，并越來越多地應(yīng)用于城市和高速公路橋梁工程。在動(dòng)力特性方面，國內(nèi)學(xué)者對(duì)直線波形鋼腹板箱梁的自振特性進(jìn)行了比較完善的研究。李杰等［1］依托鄭州市隴海路高架常莊水庫橋建立實(shí)體有限元模型，分析了預(yù)應(yīng)力、波形鋼腹板的波折角、單板寬度、厚度和橫隔板對(duì)自振頻率的影響，結(jié)果表明預(yù)應(yīng)力和波形鋼腹板結(jié)構(gòu)形式對(duì)頻率影響不大，橫隔板數(shù)量的增加對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率影響較大；孫曉紅等［2］以李家河中橋?yàn)槔?，建立梁單元有限元模型，研究了寬跨比、高跨比、波形鋼腹板的波折角、水平面板長對(duì)自振頻率的影響規(guī)律，給出了參數(shù)的最佳取值區(qū)間；劉保東、陳水生等［3-5］制作了波形鋼腹板試驗(yàn)箱梁的縮尺模型，將實(shí)測結(jié)果和有限元分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，驗(yàn)證了有限元分析結(jié)果的可靠性，并分析了橫隔板對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率的影響規(guī)律，發(fā)現(xiàn)在梁端增設(shè)橫隔板對(duì)扭轉(zhuǎn)特性的改善最佳；韋忠瑄等［6］建立了30 m 長的波形鋼腹板試驗(yàn)箱梁，用試驗(yàn)結(jié)果對(duì)自振頻率的理論公式進(jìn)行驗(yàn)證，證明理論公式可以計(jì)算該類型箱梁橋的基頻；冀偉、張永健等［7-9］通過理論分析得到了考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形雙重影響的波形鋼腹板箱梁彎曲自振頻率計(jì)算公式，有限元分析和試驗(yàn)結(jié)果表明剪切變形對(duì)彎曲自振頻率影響較大，剪力滯效應(yīng)影響較??；馬馳等［10］在考慮剪力滯及剪切變形的影響下，運(yùn)用能量法得出自振頻率矩陣方程，并與試驗(yàn)和有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)剪力滯及剪切變形對(duì)自振頻率有減小作用，且高階頻率剪力滯起主導(dǎo)作用；鄭尚敏等［11］推導(dǎo)了考慮體外預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的自振頻率計(jì)算公式，并結(jié)合有限元模型分析了體外預(yù)應(yīng)力大小、鋼束錨固位置和鋼束截面積對(duì)自振頻率的影響，得出三者對(duì)波形鋼腹板箱梁的自振頻率影響較小，可以忽略不計(jì)；任紅偉等［12］推導(dǎo)了波紋鋼腹板箱梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算公式，并與有限元分析和試驗(yàn)扭轉(zhuǎn)頻率進(jìn)行了對(duì)比分析，驗(yàn)證了理論公式具有較高的精度；張長青、李紅雪等［13-14］用有限元模型對(duì)地震作用下波形鋼腹板箱梁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析，結(jié)果表明箱梁的內(nèi)力與橋墩的受力趨勢(shì)基本相同；尹航等［15］利用有限元模型對(duì)波形鋼腹板箱梁和混凝土箱梁的動(dòng)力特性進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)波形鋼腹板箱梁比混凝土箱梁抗扭剛度低，可通過增設(shè)橫隔板來增強(qiáng)；李鵬飛等［16］對(duì)單箱雙室和雙箱雙室波形鋼腹板箱梁的自振特性進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)單箱雙室箱梁較雙箱雙室箱梁扭轉(zhuǎn)頻率大，整體性好。在靜力特性方面，曲線波形鋼腹板箱梁在使用過程中存在強(qiáng)烈的彎扭耦合效應(yīng)，還會(huì)受到剪力滯效應(yīng)、翹曲、畸變等影響。因此，曲線波形鋼腹板箱梁的動(dòng)力特性與直線梁存在差異，有必要展開研究。文獻(xiàn)［17］對(duì)曲線波形鋼腹板箱梁在地震作用下曲線組合梁的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律進(jìn)行了分析。

本文在直線波形鋼腹板彎曲自振頻率的理論公式基礎(chǔ)上，考慮半徑和扭轉(zhuǎn)角對(duì)曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自振頻率的影響，并給出考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形影響的范圍。在初等梁理論的基礎(chǔ)上，考慮箱梁剪力滯和剪切變形雙重效應(yīng)的影響，應(yīng)用能量變分法及哈密爾頓原理，通過假定位移、扭轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角函數(shù)，推導(dǎo)曲線波形鋼腹板簡支箱梁多階豎向彎曲自振頻率的解析解，對(duì)豎向彎曲自振頻率的主要因素進(jìn)行參數(shù)分析。

1 彎曲自振頻率理論分析

1.1 基本假定

分析曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)基于以下假定：①忽略波形鋼腹板的豎向抗彎作用；②截面變形服從“擬平截面假定”［7］；③忽略翼板縱向纖維間的豎向及橫向擠壓變形，忽略翼板平面外的剪應(yīng)變，即正應(yīng)變?chǔ)舮=εz= 0，剪切應(yīng)變?chǔ)脁z=γyz= 0；④波形鋼腹板與混凝土翼板緊密連接無滑移；⑤上下翼板縱向翹曲位移u(x，y，t)沿翼板（y坐標(biāo)方向）為三次拋物線分布［9］。

曲線波形鋼腹板箱梁截面如圖1所示。

豎向位移函數(shù)為

圖1 曲線波形鋼腹板箱梁

曲線波形鋼腹板箱梁的縱向翹曲位移函數(shù)為

式中：t為時(shí)間；hi為頂板或底板至截面形心的距離；bi為組合箱梁頂?shù)装灏雽捇驊冶郯鍖?；U(x，t)為剪切轉(zhuǎn)角最大差值。

1.2 箱梁應(yīng)變能及動(dòng)能

1）波形鋼腹板箱梁的應(yīng)變

根據(jù)假定③可知，曲線波形鋼腹板箱梁的翼板正應(yīng)變和剪切應(yīng)變分別為

式中：φ(x)為箱梁扭轉(zhuǎn)角；r為箱梁曲率半徑。

2）波形鋼腹板箱梁應(yīng)變勢(shì)能

頂?shù)装鍙澢鷳?yīng)變能V1為

將式（3）、式（4）代入式（5）可得

剪切應(yīng)變能V2、自由扭轉(zhuǎn)勢(shì)能V3、翹曲扭轉(zhuǎn)勢(shì)能V4分別為

由頂?shù)装宓膹澢鷳?yīng)變能和扭轉(zhuǎn)勢(shì)能組成體系的總勢(shì)能為

式中：E為混凝土彈性模量；G為混凝土的剪切模量；Gs為波形鋼腹板有效剪切模量；b為組合箱梁寬度；As為波形鋼腹板剪切面積；Is為組合箱梁翼板慣性矩；Isa為組合箱梁翼板廣義慣性矩和Is3分別為組合箱梁上頂板、懸臂板和下底板慣性矩；Id為箱梁截面繞形心的抗扭慣性矩；Iw為箱梁截面扇形慣性矩；θ為箱梁截面轉(zhuǎn)角。

3）結(jié)構(gòu)總動(dòng)能

僅考慮波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲振動(dòng)，則總動(dòng)能為

式中：l為組合箱梁的軸向中心線長度；ρ為組合箱梁的密度；A為截面面積。

2 曲線波形鋼腹板箱梁的彎曲自振頻率

假設(shè)位移場函數(shù)為

式中：ω為振動(dòng)圓頻率；φ為函數(shù)初始相位角；n為頻率的階數(shù)；w0，φ0，U0，θ0分別為位移振幅、扭轉(zhuǎn)角振幅、剪切轉(zhuǎn)角的最大差值振幅、轉(zhuǎn)角振幅。

波形鋼腹板箱梁組合結(jié)構(gòu)在自振時(shí)沒有外力的作用，故沒有產(chǎn)生外力勢(shì)能。根據(jù)哈密爾頓原理可知其中，H為結(jié)構(gòu)外力總勢(shì)能。把式（12）—式（15）代入式（6）—式（11）可得

式（17）是一個(gè)四元一次方程，要使此方程有意義，必有非零解，故其系數(shù)行列式值為0。其中，kij各項(xiàng)系數(shù)分別為

式（17）行列式為0 時(shí)，曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)頻率為

式中：γ1為剪力滯影響系數(shù)；γ2為剪切變形影響系數(shù)。

當(dāng)r→∞時(shí)，直線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)頻率為

式中：α1為剪力滯影響系數(shù)；α2為剪切變形影響系數(shù)。α1= 35/(40+ 112GIsal2/n2π2EIsb2)，α2= 1/(1+GsAsl2/n2π2EIs)。

當(dāng)b1=b2=b3，且n=1 時(shí)，式（19）與文獻(xiàn)［8］中的結(jié)果相同，表明了式（18）的通用性。當(dāng)式（18）中γ1=γ2= 0，式（19）中α1=α2= 0 時(shí)，表達(dá)式為初等梁理論（即不考慮剪力滯）的簡支箱梁振動(dòng)頻率。

3 理論公式驗(yàn)證

3.1 直線波形鋼腹板箱梁

由文獻(xiàn)［8］得到波形鋼腹板簡支箱梁的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，對(duì)式（19）進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果見表1。

表1 直線形式的豎向彎曲自振頻率

由表1 可知，式（19）求得的豎向彎曲自振頻率與試驗(yàn)數(shù)據(jù)和有限元計(jì)算值吻合良好，驗(yàn)證了本文公式和實(shí)體有限元的正確性，也說明了文獻(xiàn)［8］試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性。

3.2 曲線波形鋼腹板箱梁

參考已建工程對(duì)一曲率半徑為110 m、跨徑為50 m的曲線波形鋼腹板簡支箱梁（圖2）進(jìn)行分析。端部橫隔板的寬度為860 mm，箱梁在中部有一中橫板，寬度為560 mm。波形鋼腹板采用Q345C鋼材，頂?shù)装宀捎肅50混凝土，材料參數(shù)見表2。

圖2 波形鋼腹板箱梁截面示意圖（單位：mm）

表2 材料參數(shù)

采用有限元軟件ANSYS 建立曲線波形鋼腹板簡支箱梁模型，頂?shù)装搴蜋M隔板采用solid45 實(shí)體模擬，波形鋼腹板采用shell63 殼體模擬，波形鋼腹板伸進(jìn)混凝土頂?shù)装宓囊话脒M(jìn)行共節(jié)點(diǎn)連接。模型一端內(nèi)側(cè)采用橫向、軸向和豎向進(jìn)行約束，另一端內(nèi)側(cè)采用橫向和豎向進(jìn)行約束，兩端外側(cè)均只加豎向約束。不考慮波形鋼腹板箱梁鋪裝層的影響。全橋模型劃分網(wǎng)格后，共有6 970 個(gè)實(shí)體單元，4 680 個(gè)殼體單元，18 686個(gè)節(jié)點(diǎn)。

由表1可知，實(shí)體有限元與試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合度高，故可通過實(shí)體有限元對(duì)曲線波形鋼腹板的理論公式進(jìn)行驗(yàn)證，見表3?？芍?，式（18）求得的豎向彎曲自振頻率和有限元計(jì)算值吻合良好，前3 階差值均在9%以內(nèi)。式（18）計(jì)算值均小于初等梁理論計(jì)算值，表明考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形會(huì)降低箱梁的豎向彎曲剛度，且差值隨振動(dòng)階次升高顯著增大。

表3 曲線形式的豎向彎曲自振頻率

4 參數(shù)分析

跨徑比、寬跨比和高跨比是影響波形鋼腹板箱梁自振頻率的 3 個(gè)重要因素［2，17］。根據(jù)國內(nèi)外箱梁實(shí)橋的設(shè)計(jì)參數(shù)取值［18-21］，確定本文組合箱梁的跨寬比為1/12.5～1/5，高跨比為 1/13～1/30，曲率半徑為 50～140 m。

4.1 跨徑比

在曲線波形鋼腹板箱梁的跨度和截面尺寸不變的情況下，曲率半徑r分別為50，80，110，140 m和無窮大時(shí)，式（18）與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比見圖3。豎向彎曲基頻下不同跨徑比時(shí)箱梁的影響系數(shù)見圖4。

圖3 不同跨徑比時(shí)箱梁的彎曲自振頻率

圖4 不同跨徑比時(shí)箱梁的影響系數(shù)

由圖3 可知，式（18）與有限元法計(jì)算結(jié)果基本吻合，差值均小于8%。箱梁曲率半徑對(duì)1～3階豎向彎曲自振頻率有較小的影響，各階豎向彎曲頻率隨半徑增大略有減小。

由圖4可知，剪切變形影響系數(shù)與跨徑比無關(guān)，約為10%。剪力滯影響系數(shù)隨跨徑比的增大而增大，當(dāng)跨徑比小于0.4 時(shí)，剪力滯影響系數(shù)小于5%；跨徑比等于1.0時(shí)，剪力滯影響系數(shù)會(huì)超過20%。

4.2 寬跨比

在曲線波形鋼腹板箱梁半徑不變的情況下，當(dāng)跨徑分別為30，35，40，45，50 m 時(shí)，改變箱室寬度使寬跨比分別為0.08，0.10，0.12，0.16，0.20，式（18）與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比見圖5。豎向彎曲基頻下不同寬跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)見圖6。

圖5 不同寬跨比時(shí)箱梁的彎曲自振頻率

圖6 不同寬跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)

從圖5可知，式（18）與有限元法計(jì)算值基本吻合，差值在15%內(nèi)。

由圖6可知，隨著寬跨比的增大，剪力滯影響系數(shù)和剪切變形系數(shù)近似呈線性增長。當(dāng)寬跨比小于0.1時(shí)，剪力滯影響系數(shù)小于5%。而剪切變形對(duì)豎向彎曲基頻的影響較大，即使寬跨比小于0.1，當(dāng)跨長較小時(shí)，剪切變形影響系數(shù)仍會(huì)大于10%；當(dāng)寬跨比等于0.2時(shí)，剪切變形影響系數(shù)在15%～25%。

4.3 高跨比

在曲線波形鋼腹板箱梁半徑不變的情況下，當(dāng)箱梁跨徑分別為30，35，40，45，50 m 時(shí)，改變箱室高度使高跨比分別為0.032，0.044，0.052，0.064，0.076，式（18）與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比見圖7。豎向彎曲基頻下不同高跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)見圖8。

圖7 不同高跨比時(shí)箱梁的彎曲自振頻率

圖8 不同高跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)

由圖7可知，式（18）與有限元法計(jì)算值基本吻合，差值在13%內(nèi)。

由圖8可知，隨著高跨比的增大，剪力滯影響系數(shù)略有減小，當(dāng)跨徑相同時(shí)截面高度的影響變化不大；剪切變形影響系數(shù)近似呈線性增大?？鐝皆叫〖袅?yīng)影響越大，而不同跨徑的剪力滯影響系數(shù)均小于8%，表明不同高度的箱梁剪力滯效應(yīng)對(duì)豎向彎曲基頻影響相對(duì)較小，且寬跨比影響大于高跨比。而剪切變形的影響較大，多數(shù)情況影響系數(shù)大于10%；當(dāng)高跨比大于0.07 時(shí)，剪切變形影響系數(shù)可達(dá)15%～20%。

5 結(jié)論

1）基于能量變分法及哈密爾頓原理，推導(dǎo)了考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形雙重效應(yīng)下的曲線簡支波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)頻率計(jì)算公式。與對(duì)直線箱梁的影響類似，考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形后，曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲剛度減小，使其豎向彎曲自振頻率降低，同時(shí)考慮2 種效應(yīng)可能使基頻降低30%以上。

2）剪力滯效應(yīng)對(duì)豎向彎曲基頻的影響隨著跨徑比和寬跨比的增大而增大，高跨比的影響可忽略；剪切變形對(duì)豎向彎曲基頻的影響隨著寬跨比和高跨比的增大而增大，跨徑比的影響可忽略。剪切變形的影響比剪力滯效應(yīng)更顯著，前者影響系數(shù)在5%～25%，后者影響系數(shù)一般小于10%。分析曲線波形鋼腹板箱梁動(dòng)力特性時(shí)，應(yīng)考慮剪切變形的影響；當(dāng)跨徑比小于0.4、跨寬比小于0.1時(shí)，可忽略剪力滯效應(yīng)的影響。

本文公式只能用于豎向彎曲振動(dòng)計(jì)算，對(duì)于波形鋼腹板箱梁扭轉(zhuǎn)、橫向自由振動(dòng)的分析有待于進(jìn)一步研究。