喬朋 王宗義 趙丹晨
(長安大學(xué)建筑工程學(xué)院,西安 710061)
波形鋼腹板箱梁橋是一種起源于法國的鋼-混凝土組合橋梁,具有結(jié)構(gòu)自重輕、預(yù)應(yīng)力施加效率高、腹板屈曲性能好等優(yōu)點(diǎn)。波形鋼腹板箱梁橋在日本得到了廣泛的發(fā)展和應(yīng)用,并在20 世紀(jì)末引入中國,并越來越多地應(yīng)用于城市和高速公路橋梁工程。在動(dòng)力特性方面,國內(nèi)學(xué)者對(duì)直線波形鋼腹板箱梁的自振特性進(jìn)行了比較完善的研究。李杰等[1]依托鄭州市隴海路高架常莊水庫橋建立實(shí)體有限元模型,分析了預(yù)應(yīng)力、波形鋼腹板的波折角、單板寬度、厚度和橫隔板對(duì)自振頻率的影響,結(jié)果表明預(yù)應(yīng)力和波形鋼腹板結(jié)構(gòu)形式對(duì)頻率影響不大,橫隔板數(shù)量的增加對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率影響較大;孫曉紅等[2]以李家河中橋?yàn)槔?,建立梁單元有限元模型,研究了寬跨比、高跨比、波形鋼腹板的波折角、水平面板長對(duì)自振頻率的影響規(guī)律,給出了參數(shù)的最佳取值區(qū)間;劉保東、陳水生等[3-5]制作了波形鋼腹板試驗(yàn)箱梁的縮尺模型,將實(shí)測結(jié)果和有限元分析結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,驗(yàn)證了有限元分析結(jié)果的可靠性,并分析了橫隔板對(duì)扭轉(zhuǎn)頻率的影響規(guī)律,發(fā)現(xiàn)在梁端增設(shè)橫隔板對(duì)扭轉(zhuǎn)特性的改善最佳;韋忠瑄等[6]建立了30 m 長的波形鋼腹板試驗(yàn)箱梁,用試驗(yàn)結(jié)果對(duì)自振頻率的理論公式進(jìn)行驗(yàn)證,證明理論公式可以計(jì)算該類型箱梁橋的基頻;冀偉、張永健等[7-9]通過理論分析得到了考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形雙重影響的波形鋼腹板箱梁彎曲自振頻率計(jì)算公式,有限元分析和試驗(yàn)結(jié)果表明剪切變形對(duì)彎曲自振頻率影響較大,剪力滯效應(yīng)影響較??;馬馳等[10]在考慮剪力滯及剪切變形的影響下,運(yùn)用能量法得出自振頻率矩陣方程,并與試驗(yàn)和有限元分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,發(fā)現(xiàn)剪力滯及剪切變形對(duì)自振頻率有減小作用,且高階頻率剪力滯起主導(dǎo)作用;鄭尚敏等[11]推導(dǎo)了考慮體外預(yù)應(yīng)力效應(yīng)的自振頻率計(jì)算公式,并結(jié)合有限元模型分析了體外預(yù)應(yīng)力大小、鋼束錨固位置和鋼束截面積對(duì)自振頻率的影響,得出三者對(duì)波形鋼腹板箱梁的自振頻率影響較小,可以忽略不計(jì);任紅偉等[12]推導(dǎo)了波紋鋼腹板箱梁扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率的計(jì)算公式,并與有限元分析和試驗(yàn)扭轉(zhuǎn)頻率進(jìn)行了對(duì)比分析,驗(yàn)證了理論公式具有較高的精度;張長青、李紅雪等[13-14]用有限元模型對(duì)地震作用下波形鋼腹板箱梁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了分析,結(jié)果表明箱梁的內(nèi)力與橋墩的受力趨勢(shì)基本相同;尹航等[15]利用有限元模型對(duì)波形鋼腹板箱梁和混凝土箱梁的動(dòng)力特性進(jìn)行了對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)波形鋼腹板箱梁比混凝土箱梁抗扭剛度低,可通過增設(shè)橫隔板來增強(qiáng);李鵬飛等[16]對(duì)單箱雙室和雙箱雙室波形鋼腹板箱梁的自振特性進(jìn)行了對(duì)比分析,發(fā)現(xiàn)單箱雙室箱梁較雙箱雙室箱梁扭轉(zhuǎn)頻率大,整體性好。在靜力特性方面,曲線波形鋼腹板箱梁在使用過程中存在強(qiáng)烈的彎扭耦合效應(yīng),還會(huì)受到剪力滯效應(yīng)、翹曲、畸變等影響。因此,曲線波形鋼腹板箱梁的動(dòng)力特性與直線梁存在差異,有必要展開研究。文獻(xiàn)[17]對(duì)曲線波形鋼腹板箱梁在地震作用下曲線組合梁的動(dòng)力響應(yīng)規(guī)律進(jìn)行了分析。
本文在直線波形鋼腹板彎曲自振頻率的理論公式基礎(chǔ)上,考慮半徑和扭轉(zhuǎn)角對(duì)曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自振頻率的影響,并給出考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形影響的范圍。在初等梁理論的基礎(chǔ)上,考慮箱梁剪力滯和剪切變形雙重效應(yīng)的影響,應(yīng)用能量變分法及哈密爾頓原理,通過假定位移、扭轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角函數(shù),推導(dǎo)曲線波形鋼腹板簡支箱梁多階豎向彎曲自振頻率的解析解,對(duì)豎向彎曲自振頻率的主要因素進(jìn)行參數(shù)分析。
分析曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)基于以下假定:①忽略波形鋼腹板的豎向抗彎作用;②截面變形服從“擬平截面假定”[7];③忽略翼板縱向纖維間的豎向及橫向擠壓變形,忽略翼板平面外的剪應(yīng)變,即正應(yīng)變?chǔ)舮=εz= 0,剪切應(yīng)變?chǔ)脁z=γyz= 0;④波形鋼腹板與混凝土翼板緊密連接無滑移;⑤上下翼板縱向翹曲位移u(x,y,t)沿翼板(y坐標(biāo)方向)為三次拋物線分布[9]。
曲線波形鋼腹板箱梁截面如圖1所示。
豎向位移函數(shù)為
圖1 曲線波形鋼腹板箱梁
曲線波形鋼腹板箱梁的縱向翹曲位移函數(shù)為
式中:t為時(shí)間;hi為頂板或底板至截面形心的距離;bi為組合箱梁頂?shù)装灏雽捇驊冶郯鍖?;U(x,t)為剪切轉(zhuǎn)角最大差值。
1)波形鋼腹板箱梁的應(yīng)變
根據(jù)假定③可知,曲線波形鋼腹板箱梁的翼板正應(yīng)變和剪切應(yīng)變分別為
式中:φ(x)為箱梁扭轉(zhuǎn)角;r為箱梁曲率半徑。
2)波形鋼腹板箱梁應(yīng)變勢(shì)能
頂?shù)装鍙澢鷳?yīng)變能V1為
將式(3)、式(4)代入式(5)可得
剪切應(yīng)變能V2、自由扭轉(zhuǎn)勢(shì)能V3、翹曲扭轉(zhuǎn)勢(shì)能V4分別為
由頂?shù)装宓膹澢鷳?yīng)變能和扭轉(zhuǎn)勢(shì)能組成體系的總勢(shì)能為
式中:E為混凝土彈性模量;G為混凝土的剪切模量;Gs為波形鋼腹板有效剪切模量;b為組合箱梁寬度;As為波形鋼腹板剪切面積;Is為組合箱梁翼板慣性矩;Isa為組合箱梁翼板廣義慣性矩和Is3分別為組合箱梁上頂板、懸臂板和下底板慣性矩;Id為箱梁截面繞形心的抗扭慣性矩;Iw為箱梁截面扇形慣性矩;θ為箱梁截面轉(zhuǎn)角。
3)結(jié)構(gòu)總動(dòng)能
僅考慮波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲振動(dòng),則總動(dòng)能為
式中:l為組合箱梁的軸向中心線長度;ρ為組合箱梁的密度;A為截面面積。
假設(shè)位移場函數(shù)為
式中:ω為振動(dòng)圓頻率;φ為函數(shù)初始相位角;n為頻率的階數(shù);w0,φ0,U0,θ0分別為位移振幅、扭轉(zhuǎn)角振幅、剪切轉(zhuǎn)角的最大差值振幅、轉(zhuǎn)角振幅。
波形鋼腹板箱梁組合結(jié)構(gòu)在自振時(shí)沒有外力的作用,故沒有產(chǎn)生外力勢(shì)能。根據(jù)哈密爾頓原理可知其中,H為結(jié)構(gòu)外力總勢(shì)能。把式(12)—式(15)代入式(6)—式(11)可得
式(17)是一個(gè)四元一次方程,要使此方程有意義,必有非零解,故其系數(shù)行列式值為0。其中,kij各項(xiàng)系數(shù)分別為
式(17)行列式為0 時(shí),曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)頻率為
式中:γ1為剪力滯影響系數(shù);γ2為剪切變形影響系數(shù)。
當(dāng)r→∞時(shí),直線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)頻率為
式中:α1為剪力滯影響系數(shù);α2為剪切變形影響系數(shù)。α1= 35/(40+ 112GIsal2/n2π2EIsb2),α2= 1/(1+GsAsl2/n2π2EIs)。
當(dāng)b1=b2=b3,且n=1 時(shí),式(19)與文獻(xiàn)[8]中的結(jié)果相同,表明了式(18)的通用性。當(dāng)式(18)中γ1=γ2= 0,式(19)中α1=α2= 0 時(shí),表達(dá)式為初等梁理論(即不考慮剪力滯)的簡支箱梁振動(dòng)頻率。
由文獻(xiàn)[8]得到波形鋼腹板簡支箱梁的試驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)式(19)進(jìn)行驗(yàn)證,結(jié)果見表1。
表1 直線形式的豎向彎曲自振頻率
由表1 可知,式(19)求得的豎向彎曲自振頻率與試驗(yàn)數(shù)據(jù)和有限元計(jì)算值吻合良好,驗(yàn)證了本文公式和實(shí)體有限元的正確性,也說明了文獻(xiàn)[8]試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性。
參考已建工程對(duì)一曲率半徑為110 m、跨徑為50 m的曲線波形鋼腹板簡支箱梁(圖2)進(jìn)行分析。端部橫隔板的寬度為860 mm,箱梁在中部有一中橫板,寬度為560 mm。波形鋼腹板采用Q345C鋼材,頂?shù)装宀捎肅50混凝土,材料參數(shù)見表2。
圖2 波形鋼腹板箱梁截面示意圖(單位:mm)
表2 材料參數(shù)
采用有限元軟件ANSYS 建立曲線波形鋼腹板簡支箱梁模型,頂?shù)装搴蜋M隔板采用solid45 實(shí)體模擬,波形鋼腹板采用shell63 殼體模擬,波形鋼腹板伸進(jìn)混凝土頂?shù)装宓囊话脒M(jìn)行共節(jié)點(diǎn)連接。模型一端內(nèi)側(cè)采用橫向、軸向和豎向進(jìn)行約束,另一端內(nèi)側(cè)采用橫向和豎向進(jìn)行約束,兩端外側(cè)均只加豎向約束。不考慮波形鋼腹板箱梁鋪裝層的影響。全橋模型劃分網(wǎng)格后,共有6 970 個(gè)實(shí)體單元,4 680 個(gè)殼體單元,18 686個(gè)節(jié)點(diǎn)。
由表1可知,實(shí)體有限元與試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合度高,故可通過實(shí)體有限元對(duì)曲線波形鋼腹板的理論公式進(jìn)行驗(yàn)證,見表3??芍?,式(18)求得的豎向彎曲自振頻率和有限元計(jì)算值吻合良好,前3 階差值均在9%以內(nèi)。式(18)計(jì)算值均小于初等梁理論計(jì)算值,表明考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形會(huì)降低箱梁的豎向彎曲剛度,且差值隨振動(dòng)階次升高顯著增大。
表3 曲線形式的豎向彎曲自振頻率
跨徑比、寬跨比和高跨比是影響波形鋼腹板箱梁自振頻率的 3 個(gè)重要因素[2,17]。根據(jù)國內(nèi)外箱梁實(shí)橋的設(shè)計(jì)參數(shù)取值[18-21],確定本文組合箱梁的跨寬比為1/12.5~1/5,高跨比為 1/13~1/30,曲率半徑為 50~140 m。
在曲線波形鋼腹板箱梁的跨度和截面尺寸不變的情況下,曲率半徑r分別為50,80,110,140 m和無窮大時(shí),式(18)與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比見圖3。豎向彎曲基頻下不同跨徑比時(shí)箱梁的影響系數(shù)見圖4。
圖3 不同跨徑比時(shí)箱梁的彎曲自振頻率
圖4 不同跨徑比時(shí)箱梁的影響系數(shù)
由圖3 可知,式(18)與有限元法計(jì)算結(jié)果基本吻合,差值均小于8%。箱梁曲率半徑對(duì)1~3階豎向彎曲自振頻率有較小的影響,各階豎向彎曲頻率隨半徑增大略有減小。
由圖4可知,剪切變形影響系數(shù)與跨徑比無關(guān),約為10%。剪力滯影響系數(shù)隨跨徑比的增大而增大,當(dāng)跨徑比小于0.4 時(shí),剪力滯影響系數(shù)小于5%;跨徑比等于1.0時(shí),剪力滯影響系數(shù)會(huì)超過20%。
在曲線波形鋼腹板箱梁半徑不變的情況下,當(dāng)跨徑分別為30,35,40,45,50 m 時(shí),改變箱室寬度使寬跨比分別為0.08,0.10,0.12,0.16,0.20,式(18)與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比見圖5。豎向彎曲基頻下不同寬跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)見圖6。
圖5 不同寬跨比時(shí)箱梁的彎曲自振頻率
圖6 不同寬跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)
從圖5可知,式(18)與有限元法計(jì)算值基本吻合,差值在15%內(nèi)。
由圖6可知,隨著寬跨比的增大,剪力滯影響系數(shù)和剪切變形系數(shù)近似呈線性增長。當(dāng)寬跨比小于0.1時(shí),剪力滯影響系數(shù)小于5%。而剪切變形對(duì)豎向彎曲基頻的影響較大,即使寬跨比小于0.1,當(dāng)跨長較小時(shí),剪切變形影響系數(shù)仍會(huì)大于10%;當(dāng)寬跨比等于0.2時(shí),剪切變形影響系數(shù)在15%~25%。
在曲線波形鋼腹板箱梁半徑不變的情況下,當(dāng)箱梁跨徑分別為30,35,40,45,50 m 時(shí),改變箱室高度使高跨比分別為0.032,0.044,0.052,0.064,0.076,式(18)與有限元分析得到的豎向彎曲自振頻率計(jì)算結(jié)果對(duì)比見圖7。豎向彎曲基頻下不同高跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)見圖8。
圖7 不同高跨比時(shí)箱梁的彎曲自振頻率
圖8 不同高跨比時(shí)箱梁的影響系數(shù)
由圖7可知,式(18)與有限元法計(jì)算值基本吻合,差值在13%內(nèi)。
由圖8可知,隨著高跨比的增大,剪力滯影響系數(shù)略有減小,當(dāng)跨徑相同時(shí)截面高度的影響變化不大;剪切變形影響系數(shù)近似呈線性增大??鐝皆叫〖袅?yīng)影響越大,而不同跨徑的剪力滯影響系數(shù)均小于8%,表明不同高度的箱梁剪力滯效應(yīng)對(duì)豎向彎曲基頻影響相對(duì)較小,且寬跨比影響大于高跨比。而剪切變形的影響較大,多數(shù)情況影響系數(shù)大于10%;當(dāng)高跨比大于0.07 時(shí),剪切變形影響系數(shù)可達(dá)15%~20%。
1)基于能量變分法及哈密爾頓原理,推導(dǎo)了考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形雙重效應(yīng)下的曲線簡支波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲自由振動(dòng)頻率計(jì)算公式。與對(duì)直線箱梁的影響類似,考慮剪力滯效應(yīng)和剪切變形后,曲線波形鋼腹板箱梁的豎向彎曲剛度減小,使其豎向彎曲自振頻率降低,同時(shí)考慮2 種效應(yīng)可能使基頻降低30%以上。
2)剪力滯效應(yīng)對(duì)豎向彎曲基頻的影響隨著跨徑比和寬跨比的增大而增大,高跨比的影響可忽略;剪切變形對(duì)豎向彎曲基頻的影響隨著寬跨比和高跨比的增大而增大,跨徑比的影響可忽略。剪切變形的影響比剪力滯效應(yīng)更顯著,前者影響系數(shù)在5%~25%,后者影響系數(shù)一般小于10%。分析曲線波形鋼腹板箱梁動(dòng)力特性時(shí),應(yīng)考慮剪切變形的影響;當(dāng)跨徑比小于0.4、跨寬比小于0.1時(shí),可忽略剪力滯效應(yīng)的影響。
本文公式只能用于豎向彎曲振動(dòng)計(jì)算,對(duì)于波形鋼腹板箱梁扭轉(zhuǎn)、橫向自由振動(dòng)的分析有待于進(jìn)一步研究。