王 剛，任子文，周 奎

(中煙機(jī)械技術(shù)中心有限責(zé)任公司, 上海 201206)

凸輪機(jī)構(gòu)是機(jī)械行業(yè)中最常用的典型機(jī)構(gòu)，它可以使從動(dòng)件按規(guī)定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律完成動(dòng)作，把回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變成直線移動(dòng)或擺動(dòng)。然而，凸輪機(jī)構(gòu)在實(shí)際運(yùn)用中存在部分問題，如剛性沖擊和柔性沖擊。沖擊不僅影響凸輪壽命，而且對(duì)主運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的力和功率等影響也很大。不同的運(yùn)動(dòng)規(guī)律所造成的沖擊程度也不相同[1]。因此，對(duì)凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行研究是十分必要的。

凸輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律包括代數(shù)多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律和三角函數(shù)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及改進(jìn)型、組合型運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

常用的代數(shù)多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律有一次多項(xiàng)式(等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律)、二次多項(xiàng)式(等加速運(yùn)動(dòng)規(guī)律)以及高階多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律。一次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在剛性沖擊，只能用于低速輕載的場(chǎng)合；二次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在柔性沖擊，只能用于中速輕載的場(chǎng)合；五次、七次以及更高階的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律既沒有剛性沖擊也沒有柔性沖擊，可用于高速場(chǎng)合。由于加工工藝復(fù)雜，因此高于七次的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律很少使用。

三角函數(shù)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律有正弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律和余弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律等[2]。正弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律沒有剛性沖擊和柔性沖擊，可用于高速場(chǎng)合；余弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律存在柔性沖擊，只能用于中速輕載場(chǎng)合[3]。

雖然正弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用于高速場(chǎng)合，但在有多個(gè)特殊運(yùn)動(dòng)要求的情況下，正弦加速度運(yùn)動(dòng)規(guī)律就不太容易求解了[4]，需要采用加控制條件的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律。為得到符合設(shè)計(jì)要求且性能更好的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，本文通過對(duì)位移、速度以及加速度的分析，在運(yùn)動(dòng)過程中分段加入合適的邊界條件以及其他約束條件，對(duì)多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線進(jìn)行分段優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而得到更精確、小沖擊、無過大功率變化的改進(jìn)型多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

1 多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)方程計(jì)算

如圖1所示，推桿位移S和凸輪轉(zhuǎn)角θ存在一定的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，該關(guān)系如引言所述可以有多種運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

本文論述的是多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其基本形式為：

S=C0+C1θ+C2θ2+C3θ3+…+Cmθm

(1)

式中:C0，C1，C2，C3,…,Cm為使S和S的某些導(dǎo)數(shù)滿足運(yùn)動(dòng)過程規(guī)定的邊界條件的待定常數(shù)。式(1)中各次冪的相繼項(xiàng)目數(shù)應(yīng)與決定凸輪運(yùn)動(dòng)所需的條件數(shù)相等[5]。

對(duì)式(1)進(jìn)行一次求導(dǎo)可得到速度方程，二次求導(dǎo)得到加速度方程，三次求導(dǎo)得到躍度方程，直到更高的階次。在對(duì)通用機(jī)械的凸輪運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，通常只需要保證速度及加速度連續(xù)即可，即設(shè)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的約束條件為：當(dāng)θ=0時(shí),S=0,V=0,A=0；當(dāng)θ=δ時(shí),S=h,V=0,A=0。其中δ為凸輪轉(zhuǎn)角，h為推桿位移，V為推桿速度，A為推桿加速度。由上述6個(gè)邊界條件，可得該多項(xiàng)式方程為：

S=C0+C1θ+C2θ2+C3θ3+C4θ4+C5θ5

(2)

將方程(2)對(duì)θ求導(dǎo)，得

V=C1+2C2θ+3C3θ2+4C4θ3+5C5θ4

(3)

將方程(3)對(duì)θ求導(dǎo)，得

A=2C2+6C3θ+12C4θ2+20C5θ3

(4)

將C0,C1,C2,C3,C4,C5的值代入式(2)、(3)、(4)，可得到位移、速度和加速度的運(yùn)動(dòng)方程為：

(5)

(6)

(7)

通過方程(5)、(6)、(7)可以看出，速度和加速度都是連續(xù)的。根據(jù)式(5)可以寫出多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移方程通式[6]：

(8)

式中：n為起點(diǎn)的約束條件個(gè)數(shù)。利用終點(diǎn)的約束條件，即θ=δ時(shí)，S=h，V=0,A=0,…,可得用于計(jì)算各系數(shù)C的線性方程組:

(9)

運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算，求得線性方程組(9)的解為：

(10)

式(10)是在給定起點(diǎn)和終點(diǎn)約束條件的情況下，對(duì)高次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移、速度、加速度等進(jìn)行聯(lián)合求解而得到的各系數(shù)計(jì)算公式。當(dāng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律要求有特定的起點(diǎn)和終點(diǎn)約束條件時(shí)，只需要在式(10)中代入指定的值，便可得到相應(yīng)的系數(shù)值。

2 附加約束條件的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)計(jì)

除了規(guī)定在邊界處有一個(gè)或幾個(gè)位移導(dǎo)數(shù)等于零的條件外，還可以給出起點(diǎn)或終點(diǎn)處一個(gè)或幾個(gè)位移導(dǎo)數(shù)的具體數(shù)值，這種具有更多約束條件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律能夠嚴(yán)格控制凸輪機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能[5]?，F(xiàn)根據(jù)具體情況進(jìn)行設(shè)計(jì)論述。

設(shè)定升—?！匦屯馆?，運(yùn)動(dòng)循環(huán)圖如圖2所示，圖中δ1為凸輪升程轉(zhuǎn)角，δ2為停程轉(zhuǎn)角，δ3為回程轉(zhuǎn)角?；爻虝r(shí)，凸輪旋轉(zhuǎn)δ31，推桿位移為h1；凸輪繼續(xù)旋轉(zhuǎn)δ32，推桿位移為h2；凸輪最后旋轉(zhuǎn)δ33，推桿位移為h3。其中h1+h2+h3=h，δ31+δ32+δ33=δ3。

圖2 運(yùn)動(dòng)循環(huán)圖

升程段沒有特殊的運(yùn)動(dòng)要求，根據(jù)多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)方程(8)正常求解即可?；爻潭螘r(shí)要求先進(jìn)行一段加速運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)行一段勻速運(yùn)動(dòng)，最后再進(jìn)行一段減速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于這樣的運(yùn)動(dòng)特性，目前通常采用圓弧拼接的改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律[6]。該運(yùn)動(dòng)規(guī)律的缺點(diǎn)是加速度不連續(xù)，會(huì)造成柔性沖擊。

2.1 對(duì)升程段進(jìn)行求解

由于升程δ1段沒有特殊要求，那么在沒有剛、柔性沖擊的條件下，可定義其邊界條件為：θ=0,S=0,V=0,A=0；θ=δ1,S=h,V=0,A=0。

將n=3代入式(10)，可求得各系數(shù)的值，將各系數(shù)值代入式(8),從而得到升程段的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律位移方程：

(11)

2.2 對(duì)回程段進(jìn)行分段求解

凸輪回程δ3段由于存在多個(gè)設(shè)計(jì)條件，采用單一的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律顯然不能滿足其運(yùn)動(dòng)要求，因此對(duì)其進(jìn)行分段求解[7]。假設(shè)推桿位移為h1時(shí)，推桿速度為v1;位移為h2時(shí)，推桿速度為v2；位移為h3時(shí)，推桿速度為v3。

對(duì)h1位移段運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，為了保證接合處加速度曲線連續(xù)，在θ=δ31處的加速度應(yīng)等于h2位移段的加速度，即A=0。為了便于計(jì)算，將升程和凸輪轉(zhuǎn)角無量綱化，即令最大升程和最大凸輪轉(zhuǎn)角都為1[8]，同時(shí)對(duì)速度也進(jìn)行無量綱化表示，由于此時(shí)速度不為0，設(shè)定速度等于1，其邊界條件為：θ=0,S=0,V=0,A=0;θ=1,S=1,V=1,A=0。

將這6個(gè)邊界條件的具體值代入到式(2)、(3)、(4)，聯(lián)立求解得：C0=C1=C2=0;C3=6;C4=-8;C5=3。

由此得出位移、速度及加速度的多項(xiàng)式無量綱運(yùn)動(dòng)方程如下：

(12)

(13)

對(duì)h3位移段運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，為了保證接合處速度曲線連續(xù)，此段起始速度與h2位移段的速度相等，為了保證接合處加速度曲線連續(xù)，此段起始處的加速度應(yīng)等于h2位移段的加速度。于是其邊界條件為：θ=0,S=0,V=1,A=0;θ=1,S=1,V=0,A=0。

運(yùn)用h1位移段計(jì)算方法，可求得h3位移段的多項(xiàng)式方程為：

(14)

至此就求得了回程的三段多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程。

3 仿真分析及應(yīng)用效果

在設(shè)計(jì)完多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律后，對(duì)其進(jìn)行仿真分析，以確保該運(yùn)動(dòng)規(guī)律符合凸輪設(shè)計(jì)的基本要求以及附加的特殊需求。對(duì)各已知項(xiàng)進(jìn)行賦值，通過第2節(jié)計(jì)算方法得出多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程，然后將運(yùn)動(dòng)規(guī)律方程導(dǎo)入仿真軟件，并與圓弧拼接的改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行對(duì)比。

圖3中曲線1為多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律生成的滾子中心軌跡線，曲線2為用圓弧拼接的改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律生成的滾子中心軌跡線。

圖3 圓柱凸輪展開圖

兩種運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移、速度以及加速度的運(yùn)動(dòng)曲線如圖4，5，6所示。

圖4 位移曲線圖

圖5 速度曲線圖

圖6 加速度曲線圖

由圖可以看出，本文求解的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律，其速度和加速度曲線在整個(gè)行程中均無突變，說明該多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律既無剛性沖擊，也沒有柔性沖擊，同時(shí)也能嚴(yán)格滿足回程的分段控制要求。而用圓弧拼接的改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律，雖然速度連續(xù)，但加速度有突變，會(huì)造成柔性沖擊，而且其回程段的各參數(shù)只能趨近于要求值，做不到嚴(yán)格一致。因此本文多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的設(shè)計(jì)方法是安全有效的。

4 結(jié)束語

本文在確保凸輪機(jī)構(gòu)速度及加速度曲線連續(xù)的情況下，通過對(duì)邊界條件賦值，求解出了多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的位移方程通式，并根據(jù)通式推導(dǎo)出了各系數(shù)的計(jì)算公式。然后通過實(shí)例驗(yàn)證了各系數(shù)計(jì)算公式的便捷性與可靠性，并介紹了五次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的應(yīng)用方法。同時(shí)提出了一種針對(duì)具有附加約束條件的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律的設(shè)計(jì)方法，該方法可以針對(duì)不同的設(shè)計(jì)需求，對(duì)凸輪行程進(jìn)行分段設(shè)計(jì)，在確保凸輪機(jī)構(gòu)沒有剛、柔性沖擊的前提下，滿足從動(dòng)件的特殊動(dòng)作需求。最后，通過對(duì)設(shè)計(jì)的多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行仿真分析，并與用圓弧拼接的改進(jìn)型等速運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)方法是安全有效的。