盧 佳， 魯 麗

(西南交通大學力學與工程學院， 成都 610031)

引 言

作為反應(yīng)堆中重要組件之一，熱交換器的換熱管具有輕薄易失效的特點[1]，是反應(yīng)堆能安全運行的重要保障，類似的圓管體或管束結(jié)構(gòu)也廣泛應(yīng)用于工業(yè)中，例如海洋立管以及拖拽式聲吶，故而其流致振動問題向來是學術(shù)界關(guān)注的熱點問題之一。流致振動破壞機理有多種，其中破壞性最強的為流體彈性不穩(wěn)定導(dǎo)致的振動[2]，即湍流或其他原因引起的管陣中某根圓管的位移使流場發(fā)生變化，又導(dǎo)致陣中其他圓管的振動。隨著流速增加，結(jié)構(gòu)不斷從流體吸收能量并持續(xù)振動，在一定流速下，管體吸收能量大于結(jié)構(gòu)耗散能量，結(jié)構(gòu)的動力學響應(yīng)會突然增大，發(fā)生大幅振動[3]。

流體彈性不穩(wěn)定性是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的主要原因，故其成為流致振動問題的重點，數(shù)十年來，學者們已對此做過大量的工作。Chen和Cai使用非穩(wěn)態(tài)模型對帶有松動支承的簡支圓管進行了穩(wěn)定性和響應(yīng)分析[4]。Price和Paidousis提出了準穩(wěn)態(tài)模型并對中點處有間隙支承的固支管進行了動力學分析[5]。黃平系統(tǒng)地討論了直管管束和U型管排的流體彈性不穩(wěn)定性、非有效支承對流體彈性不穩(wěn)定的影響和管束湍流誘發(fā)振動問題[6]。李云東考慮到圓柱橫向變形引起的附加軸力和熱荷載的影響，對橫向流中單彈性圓管體的熱彈性顫振進行了研究[7]。Tan等使用ANSYS軟件進行仿真，研究了節(jié)徑比和管間相位滯后對系統(tǒng)振動特性的影響，探討了系統(tǒng)發(fā)生流彈失穩(wěn)的作用機理[8]。

近年來理論模型的建立也有很大發(fā)展，姜乃斌等基于Yetsir和Weaver的模型，修正了前人的參數(shù)，提出一種非定常半解析模型，并用多管單元模型對幾種不同排列的管陣進行了流彈失穩(wěn)分析[9]。Vilas Shinde等考慮了排列方式、節(jié)徑比和雷諾數(shù)的影響，提出了一種新的理論模型，該模型能較好地捕捉到系統(tǒng)不穩(wěn)定邊界的跳躍現(xiàn)象以及系統(tǒng)的多個穩(wěn)定區(qū)域[10]。

除數(shù)值計算外，實驗也是學者們研究管陣振動的高效手段，Lai等通過實驗研究了兩相橫流作用下管陣的流彈失穩(wěn)現(xiàn)象，并推導(dǎo)了臨界流速的計算公式[11]。Tan等研究了轉(zhuǎn)置三角形排列管陣的流彈失穩(wěn)現(xiàn)象，得到一系列有意義的結(jié)果[12]。

前人關(guān)于管束振動研究多為針對來流方向與結(jié)構(gòu)軸向垂直的橫向流，或是二者方向一致的軸向流，但在實際工程應(yīng)用中，管柱結(jié)構(gòu)與來流方向并非完全垂直或一致，往往存在一定角度(如管殼式換熱器、海洋立管等)，這樣的來流被稱為傾斜流。研究者通過一系列實驗和理論驗證發(fā)現(xiàn)，當傾斜角比較小時，可以忽略流體平行于管子軸線的流速分量，僅通過正交于圓管軸線的流速分量就能比較精確地預(yù)測結(jié)構(gòu)的力學特性，這項原理稱為獨立性原理(IP)或余弦法則。雖然各個研究者給出的有效范圍各不相同，但普遍認同當傾斜角小于40°獨立性原理是適用的。當傾斜角大于40°，體軸向分量對結(jié)構(gòu)的影響比較明顯，不適用于獨立性原理[13-14]。Lucor驗證了圓柱受傾斜流影響時獨立性原理的可靠性[15]。Jain針對傾斜剛性圓管的渦激振動進行了一系列實驗[16]。及春寧等開展了海洋立管時受傾斜流作用下的渦激振動現(xiàn)象[17]，進一步探討了獨立性原則的適用范圍，并研究了渦激振動時立管的尾渦結(jié)構(gòu)?？偟膩碚f，這方面的研究成果不算豐富，而關(guān)于傾斜流下圓管的流彈失穩(wěn)研究也比較少。

基于以上研究現(xiàn)狀，為了研究來流方向與管柱結(jié)構(gòu)存在傾斜夾角的傾斜流對管束振動的影響，本文以方形排列剛性管陣中的單根柔性圓管為研究對象，并考慮圓管中點處存在因松動產(chǎn)生間隙的支承，在振幅較大時，圓管與支承相碰撞產(chǎn)生非線性力的狀況，采用立方彈簧非線性模擬碰撞力，通過數(shù)值計算方法研究其在傾斜流作用下的流彈失穩(wěn)現(xiàn)象。

1 動力學模型及方程

設(shè)傾斜角α為來流方向與圓管橫截面之間的夾角，如圖1(a)所示。建立圓管體的物理模型如圖1(b)所示。

圖1 力學模型

根據(jù)梁的振動理論將圓管體簡化為歐拉梁，并將來流分解為沿x、y兩個方向的分量。為方便計算，本文將圓管簡化為一根歐拉-伯努利梁，通過微元法建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)控制方程：

(1)

其中，EI為圓管體的彎曲剛度；w為圓管沿z即垂直于來流平面方向的位移；x為沿圓管體長度方向的位置坐標；c代表阻尼系數(shù)；m為圓管體的單位長度質(zhì)量；F1為流體沿y軸流動的分量引起的使圓管在z方向振動的橫向流流體力，其表達式由Price和Paidoussis在文獻[18]中給出：

(2)

式中：U表示y軸方向的流體分量；ρ表示流體密度及速度；CD表示流體的阻力和升力系數(shù)；D為圓管直徑；Cma表示流體的附加質(zhì)量系數(shù)；t表示結(jié)構(gòu)運動與流體動壓之間的時滯。

F2為流體沿x軸流動的分量引起的使圓管在z方向振動的軸向流流體力，基于細長體理論，文獻[19]給出其表達式：

(3)

其中，v表示x方向的流體分量。設(shè)f(w)為圓管體在松動約束作用下振動時的碰撞力，采用立方彈簧非線性模型進行模擬，則表示為：

(4)

引入無量綱參數(shù)：

(5)

將無量綱參數(shù)代入式(1)中，得到系統(tǒng)無量綱運動方程：

(6)

其中，λ1的第一階無量綱特征值。

2 方程離散

使用伽遼金法對方程(6)進行離散：設(shè)梁的模態(tài)函數(shù)為φi(ξ)，方程(6)中的位移函數(shù)寫成：

(7)

取梁的前四階模態(tài)，將式(7)代入方程(6)，在方程兩端同乘φi(ξ)，并在[0,1]上積分，得到：

(8)

其中：

(9)

對于本文所研究的固支梁，其模態(tài)函數(shù)表示為：

φi(ξ)=cosβiξ-chβiξ-σi(sinβiξ-shβiξ)

(10)

根據(jù)振動力學原理，對于本文所研究的固支梁，其前四階特征根分別為：

β1=4.730041,β2=7.85305,β3=10.995608,β4=14.137166

(11)

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

首先將系統(tǒng)擴維降階：

(12)

其中：

(13)

對線性系統(tǒng)進行分析，消去F得到：

(14)

設(shè)式(14)的解為：x=V0eσ+iwτ當σ<0時，系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，σ>0，系統(tǒng)狀態(tài)不穩(wěn)定，σ=0為臨界狀態(tài)，將σ=0代入式(14)，得到特征方程：

|A+Be-iwτ-iwI|=0

(15)

求解式(15)即可計算出系統(tǒng)的臨界流速Ucr以及臨界頻率wcr，本文取系統(tǒng)前兩階模態(tài)進行計算，圓柱節(jié)徑比為1.5，其余系統(tǒng)參數(shù)如下：

(16)

求解出系統(tǒng)臨界流速及頻率見表1。

表1 α=60°統(tǒng)的無量綱臨界流速和頻率

為觀察系統(tǒng)參數(shù)對臨界流速的影響，給出不同傾斜角的系統(tǒng)臨界流速見表2。

表2 不同傾斜角下系統(tǒng)的無量綱臨界流速和頻率

由表2可見，隨著傾斜角α增加，系統(tǒng)的臨界流速不斷增大，且增長速率也呈增大的趨勢，在海洋管道、拖拽式圓管等涉及軸向流中圓柱體的實際工程計算中，應(yīng)考慮有傾斜角來流對臨界流速的影響。

4 非線性響應(yīng)分析

圖2～圖6給出了當傾斜角等于60°時，系統(tǒng)在各個流速下的響應(yīng)相圖及時程曲線。計算結(jié)果表明，隨著流速增加，當無量綱流速U<3.50，系統(tǒng)保持穩(wěn)定運動；當U=3.50，系統(tǒng)出現(xiàn)顫振失穩(wěn)，這與第3節(jié)中通過線性系統(tǒng)預(yù)測的臨界流速Ucr=3.487吻合較好，其響應(yīng)相圖如圖2(a)所示，其時程曲線如圖2(b)所示，可以看出系統(tǒng)的振動幅值在時間歷程中保持不變。

圖2 U=3.50系統(tǒng)響應(yīng)

當3.50

圖3 U=5時的系統(tǒng)響應(yīng)

當流速在6.2

圖4 U=7.50時系統(tǒng)的響應(yīng)

當流速在8.3

圖5 U=8.7系統(tǒng)響應(yīng)

圖6 U=9系統(tǒng)的幅頻曲線

以上計算結(jié)果顯示，本文所選參數(shù)下，隨著流速不斷增加，系統(tǒng)依次發(fā)生了極限環(huán)運動、周期1振蕩運動以及擬周期運動。對比文獻[18]中的模型，在具有相同的非線性力以及系統(tǒng)參數(shù)的狀況下，圓管受到與管子軸線正交的橫向流作用時，系統(tǒng)最終進入混沌狀態(tài)，但在本文所研究傾斜角α=60°斜流作用下，系統(tǒng)沒有發(fā)生混沌現(xiàn)象，可以發(fā)現(xiàn)傾斜角的存在對于系統(tǒng)響應(yīng)形態(tài)有所影響，且橫向流體的運動對系統(tǒng)非線性動力學的影響較大。

5 結(jié)束語

本文研究了在傾斜來流和松動支承共同作用下的兩端固支圓管的動力學行為，包括穩(wěn)定性分析及非線性系統(tǒng)響應(yīng)分析，采用三次彈簧力模擬了圓管發(fā)生碰撞時受到的非線性力。隨著來流傾斜角從0°增加到90°，系統(tǒng)臨界流速不斷增大，且增長速率也在提升，傾斜角大小對系統(tǒng)臨界流速的影響較大，且相較于平行圓管軸線方向的來流，與圓管軸線相垂直的來流對系統(tǒng)臨界流速的影響更明顯，證明目前在管殼式換熱器等圓管結(jié)構(gòu)受到橫向流沖刷的工程計算中，不考慮流體傾斜角的做法是保守、合理的。當傾斜角為60°時，流速達到第一階臨界流速后，系統(tǒng)發(fā)生顫振失穩(wěn)，隨著流速不斷增加，系統(tǒng)振動幅值亦不斷增大，依次出現(xiàn)極限環(huán)、周期1振蕩運動和擬周期運動，并未出現(xiàn)混沌運動，傾斜角的存在對系統(tǒng)響應(yīng)形態(tài)有影響。