吉利業(yè)，尤翠蓮

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河北 保定 071002)

模糊集理論[1]是由美國專家 Zadeh在1965年提出的，模糊數(shù)學(xué)由此產(chǎn)生.在經(jīng)典集合理論的基礎(chǔ)上，Zadeh提出了模糊集的概念.隨后學(xué)者們通過建立隸屬函數(shù)和相應(yīng)的模糊集運(yùn)算來分析模糊現(xiàn)象.為了衡量模糊事件的大小，Zadeh[2]又提出了可能性測度的概念.然而不足的是可能性測度不具有自對偶性.自對偶性是現(xiàn)實(shí)世界中十分必要的，為了解決這一問題，Liu等[3]提出了具有自對偶性的可信性測度.在2004年，Liu[4]建立了可信性理論并給出了可信性理論的4個公理.隨后Li等[5]給出如何判斷一個集函數(shù)是否為可信性測度的方法.2007年，Liu[6]將可信性理論進(jìn)行了完善.從此，可信性理論得到穩(wěn)步發(fā)展.

在可信性理論的框架下，Liu[6]提出了模糊變量的概念，即一種從可信性空間到實(shí)數(shù)集的函數(shù).除此之外，模糊過程、模糊積分和模糊微分的概念也誕生了.為了解釋模糊現(xiàn)象隨時間的演變，Liu[6]提出模糊過程這一概念.最重要的模糊過程就是Liu過程[7]，它和隨機(jī)中的Brown運(yùn)動具有同等地位.基于Liu過程，文獻(xiàn)[7]提出了Liu 積分和Liu公式，它們類似于隨機(jī)中的Ito積分和Ito公式.這些概念提出后，學(xué)者們做了大量工作.Qin等[8]把Liu過程從實(shí)數(shù)集推廣到了復(fù)數(shù)集.2015年，You等[9]討論了復(fù)Liu 積分的一些性質(zhì).You等[10]把Liu 積分和Liu 微分推廣到多維情形.You等[11]給出廣義Liu 積分的概念,并對一些性質(zhì)進(jìn)行了證明.目前學(xué)者們研究的模糊微分方程主要有2類：第1類是通過使經(jīng)典微分方程的系數(shù)和初始條件模糊化得到的模糊微分方程[12-15].雖然方程的數(shù)值解法越來越吸引學(xué)者，但對其解析解的研究仍是相當(dāng)重要的工作.近年來學(xué)者們利用各種工具或方法研究不同模糊微分方程的解析解，Hooshangian[16]和Altaie等[17]分別研究了模糊二階微分方程和模糊偏微分方程的近似解析解.第2類模糊微分方程是由Liu過程驅(qū)動的微分方程.這類方程最早出現(xiàn)在文獻(xiàn)[7]中，它的模糊性不僅體現(xiàn)在系數(shù)和初始條件上，還體現(xiàn)在驅(qū)動過程里.本文主要研究第2類模糊微分方程.

在模糊環(huán)境中，模糊微分方程是解決動態(tài)系統(tǒng)的有力工具，例如在科學(xué)、工程技術(shù)、金融投資等領(lǐng)域都會用到模糊微分方程去建立模型.You等[18]求出了線性模糊微分方程和部分非線性模糊微分方程的解析解，但仍有大量模糊微分方程不能得到解析解，所以You等[19]推導(dǎo)出模糊Taylor展開式，通過截斷展開式得到一種Euler逼近法并且討論了數(shù)值方法的收斂性.隨后文獻(xiàn)[20]中提出了一種基于模糊Taylor展開式來求模糊微分方程近似解的數(shù)值方法.在這2種模糊數(shù)值解法提出后，Cheng等[21]通過對Euler法進(jìn)行改進(jìn)提出新的數(shù)值格式.有關(guān)模糊微分方程數(shù)值解的研究將是未來模糊系統(tǒng)的一個重要研究方向.然而得到模糊微分方程解析解也是大家希望達(dá)到的目標(biāo).在求解析解的過程中，發(fā)現(xiàn)一類不能直接求出解析解、但能通過一個變量替換求解的非線性模糊微分方程，被稱為可約模糊微分方程.因此，本文主要目的是找到辨別和求解可約模糊微分方程的具體方法.

1 預(yù)備知識

Liu過程是一種模糊過程，在模糊微分方程的理論及應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用.

定義1[7]一個模糊過程如果滿足如下3個條件就稱為Liu過程.

1)C0=0;

2)Ct具有獨(dú)立且穩(wěn)態(tài)的增量；

3)對于每一個固定時刻t，Cs+t-Cs是一個正態(tài)模糊變量，期望為et，方差為σ2t2.

如果e=0且σ=1，那么Ct是一個標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程.

定理1[7](Liu公式)假設(shè)Ct是一個標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，h(t,c)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).令Xt=h(t,Ct)，則

此時稱Xt關(guān)于CtLiu可積.

定義3[7](由Liu過程驅(qū)動的模糊微分方程)如果Ct是一個標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，并且f和g是給定的函數(shù)，Xt是未知的模糊過程，則方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

稱為由Liu過程驅(qū)動的模糊微分方程.

在文獻(xiàn)[18]中，模糊微分方程分為線性模糊微分方程，廣義線性模糊微分方程，齊次模糊微分方程和可約模糊微分方程.

形如

dXt=(a+bXt)dt+(c+dXt)dCt

的方程叫做線性模糊微分方程，其中a、b、c和d是常數(shù).當(dāng)a=c=0時，方程被稱為線性齊次模糊微分方程.

形如

dXt=(u1t+u2tXt)dt+(v1t+v2tXt)dCt

的方程叫做廣義線性模糊微分方程，這里的u1t、u2t、v1t和v2t是給定的模糊過程，并且與Xt、Ct無關(guān).這個方程的解為

本文將線性和廣義線性模糊微分方程統(tǒng)稱為線性模糊微分方程.其他模糊微分方程統(tǒng)稱為非線性模糊微分方程.

形如

dXt=f(Xt)dt+g(Xt)dCt

的方程叫做齊次模糊微分方程，此處f和g都是給定的函數(shù).

一個非線性模糊微分方程如果可以通過變量替換轉(zhuǎn)化為線性模糊微分方程，進(jìn)而求解，稱這樣的方程為可約模糊微分方程.

2 可約模糊微分方程

應(yīng)用一個恰當(dāng)?shù)奶鎿QYt=U(t,Xt)，非線性模糊微分方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

(1)

可以轉(zhuǎn)化成一個關(guān)于Yt的線性模糊微分方程

dYt=(γtYt+αt)dt+(δtYt+βt)dCt.

(2)

結(jié)合方程(2)，可得

(3)

(4)

借此推導(dǎo)出非線性模糊微分方程轉(zhuǎn)化成線性模糊微分方程的條件，得到以下定理.

定理2令

αt和βt是模糊過程，C是任意常數(shù).

證明：對方程(1)作變量替換Yt=U(t,Xt)后，令γt≡δt≡0，根據(jù)式(3)可得

對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，則

(5)

由式(4)，可得

上式兩邊對t求導(dǎo),

(6)

將式(5)代入式(6)，如果g(t,x)≠0，那么

定理得證.

注1：此定理并不表示非線性模糊微分方程通過變量替換求解時替換形式唯一.

例1求解非線性模糊微分方程

(7)

定理3若函數(shù)a(x)和b(x)是二次可微函數(shù)，則模糊微分方程dXt=a(Xt)dt+b(Xt)dCt可以通過替換Yt=U(Xt)轉(zhuǎn)化成線性模糊微分方程dYt=(a1Yt+a2)dt+(b1Yt+b2)dCt，其中

其中

b2可以任意選擇，C1、C2是任意的常數(shù).

證明：根據(jù)式(1)-式(4)，如果齊次模糊微分方程

dXt=a(Xt)dt+b(Xt)dCt，

可以通過替換Yt=U(Xt)轉(zhuǎn)化成

dYt=(a1Yt+a2)dt+(b1Yt+b2)dCt,

那么

(8)

(9)

接下來分2種情況尋求U(x)的表達(dá)式.

第1種情況，假設(shè)b(x)≠0且b1≠0，由式(9)可得

(10)

即

(11)

對式(11)求導(dǎo)，有

(a′(x)b(x)-b′(x)a(x))(b′(x)-b1)+a(x)b(x)b″(x)-a″(x)b2(x)=0.

所以

從而得到U(x).

另一種情況，如果b1=0，根據(jù)式(9)可得

U(x)=b2B(x)+C2，

(12)

b2可以在滿足式(8)的情況下任意選擇，C2是任意常數(shù).

定理得證.

下面通過2個算例來驗(yàn)證定理3的有效性.

例2設(shè)Ct是一個標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，a、b、k是正數(shù)，考慮模糊微分方程

dXt=k(a-lnXt)Xtdt+bXtdCt

(13)

的解.

則原方程的解為

例3令Ct是一個標(biāo)準(zhǔn)的Liu過程，假設(shè)a、b、k是正數(shù)，考慮模糊微分方程

(14)

的解.

所以模糊微分方程(14)的解為

從目前研究看來，很多非線性齊次模糊微分方程都是可約的，可以轉(zhuǎn)化為線性模糊微分方程,但是也有一部分是無法確定的，仍需進(jìn)一步研究.

3 結(jié)論

本文討論了非線性模糊微分方程的可約條件和求解方法，其中包括如何判別一般非線性模糊微分方程是否可約以及如何轉(zhuǎn)化為線性模糊微分方程的方法，還包括非線性齊次模糊微分方程的可約方法.即使需要大量的運(yùn)算，但仍有助于更簡便地求解非線性模糊微分方程.盡管如此，由于并不是所有非線性模糊微分方程都是可約的，故關(guān)于非線性模糊微分方程的求解仍需進(jìn)行研究.