石俊杰， 崔 濤， 高 峰， 王鐵成

(中車唐山機(jī)車車輛有限公司 產(chǎn)品技術(shù)研究中心， 河北唐山 063035)

輪軌接觸問題是軌道車輛系統(tǒng)動力學(xué)中一個重要的研究課題，輪軌間的接觸和作用直接影響車輛的運(yùn)行性能，研究輪軌問題的第一步就是輪軌接觸點(diǎn)的計算。跡線法給出了一種計算方法，但它是基于輪對剛性的假設(shè)。隨著車輛運(yùn)行速度及載荷的不斷提高，輪對的彈性變形對接觸點(diǎn)位置、動力學(xué)性能[1-2]、輪軌磨耗[3-4]以及噪聲[5]都會產(chǎn)生一定的影響，考慮輪對彈性變得十分必要。

目前一些文獻(xiàn)對柔性輪對接觸點(diǎn)問題進(jìn)行了研究。高浩[6]通過有限元方法提取輪對模態(tài)信息(振型、模態(tài)坐標(biāo))來獲得輪對變形，再基于跡線法求解，此方法需掃描大量節(jié)點(diǎn)，計算量較大。張寶安[7]將車軸假設(shè)為鐵木辛柯梁求解其變形信息，再利用輪軌接觸幾何關(guān)系，用解析的方法對約束方程進(jìn)行求解，約束方程的解析過程較為復(fù)雜。假設(shè)車輪不發(fā)生變形，僅考慮車軸為柔性，將車軸考慮成歐拉-伯努利梁對其變形進(jìn)行求解，基于跡線法[8]幾何求解接觸點(diǎn)位置，該方法簡單且精確性較高。目前對柔性輪對的動態(tài)性能研究[9-10]均基于商業(yè)軟件ANSYS與SIMPACK開展且?guī)缀醪豢紤]軌道建模(考慮軌道的研究僅將鋼軌假設(shè)為梁模型)，利用自編動力學(xué)積分程序進(jìn)行計算分析，并建立詳細(xì)的軌道模型(鋼軌-軌道板-路基)以更好反映柔性輪對的輪軌耦合效應(yīng)。

1 柔性車軸變形的求解

輪對受到輪軌間的作用力和一系懸掛作用力兩個力，其中輪軌間作用力為主動力，懸掛力為被動力。為求解車軸變形，將車軸簡化為歐拉-伯努利梁，輪軌作用力簡化為兩處作用在梁上的正弦變化的力，懸掛力為被動力，則將其作用點(diǎn)設(shè)為簡支點(diǎn)。柔性車軸被簡化為求解在兩端簡支的歐拉-伯努利梁作用兩個正弦力。如圖1，為車軸簡化示意圖，其中l(wèi)為兩端懸掛作用點(diǎn)的距離，a為名義滾動圓到懸掛點(diǎn)的距離，F(xiàn)為正弦變化的力，形式為F=F0sinω0t+F1。

圖1 彈性車軸簡化模型

將車軸簡化為均質(zhì)等截面梁，則歐拉-伯努利梁的運(yùn)動微分方程為：

(1)

式中，ρ為密度，A為截面積，E為楊氏彈性模量，I為截面極慣性矩。

微分方程的解利用分離變量法可變成振型函數(shù)與正則坐標(biāo)值之積：

y(x,t)=Y(x)T(t)

(2)

將式(2)代入式(1)求解，可得偏微分方程(1)的解：

y(x,t)=(Asinkx+Bcoskx+Cshkx+

Dchkx)sin(ωt+φ)

(3)

(4)

將式(4)代入式(3)，可得:

B=C=D=0,shkl=0

(5)

則主振型及相應(yīng)固有頻率為

n=1,2,3…

(6)

由主振型對質(zhì)量的正交性條件：

(7)

得主振型函數(shù)：

(8)

現(xiàn)求外力作用下強(qiáng)迫振動微分方程的解：

(9)

設(shè)其解為：

(10)

將式(10)代入式(9)，利用主振型的正交條件，可得到關(guān)于正則坐標(biāo)的獨(dú)立常微分方程：

(11)

可求得正則坐標(biāo)的解為：

(12)

以下開始求外力F=F0sinω0t+F1作用下的梁的響應(yīng)。主要計算參數(shù)如下：

F0=40 kN，F(xiàn)1=20 kN，ω0=6

E=213.5 GPa，d=170 mm，ρ=7.85 g/cm3，

I=2 000 mm，a=248.26 mm，空心車軸內(nèi)外徑比β=0.3。

將外力F的兩項分別利用上述微分方程的解來求得車軸的響應(yīng)。對于第1項，其作用的集中載荷可寫為：

q(x，t)=F0sinω0t·δ[(x-a)+(x-l+a)]

(13)

則廣義力為：

(14)

(15)

車軸的轉(zhuǎn)角可由式(15)對x求偏導(dǎo)求得：

(16)

同樣方法，對于外力F的第2項，車軸受其作用而產(chǎn)生的運(yùn)動響應(yīng)為：

(17)

該響應(yīng)的一階角速度ωn=570.96 rad/s，對應(yīng)周期為0.011，階數(shù)越大周期越短。因此該恒力作用下響應(yīng)的每一階均呈周期極短的正弦形式變化，所以取各階響應(yīng)的均值作為響應(yīng)，忽略尾項(1-cosωnt)，認(rèn)為恒力作用下梁的響應(yīng)為靜態(tài)。通過與簡支梁靜態(tài)下的撓度公式對比變形量一致，因此取第2項恒力作用下的響應(yīng)和轉(zhuǎn)角為:

(18)

(19)

將兩項作用力的響應(yīng)相加即為車軸受力下總的響應(yīng)，利用該式可求任意時刻、車軸上任意位置上的橫向位移和轉(zhuǎn)角。

2 輪軌靜態(tài)接觸分析

2.1 傳統(tǒng)跡線法

傳統(tǒng)的跡線法是利用輪軌接觸幾何特性，將三維的面與面的接觸問題降維為二維的線與線的接觸問題，以輪對搖頭角和橫移量為變量，求解接觸點(diǎn)。輪軌接觸點(diǎn)必定位于輪軌的公切線上，跡線法的原理基于以下兩個幾何特性：⑴輪對踏面為輪廓線繞車軸旋轉(zhuǎn)而成，同一個滾動圓上所有點(diǎn)的切線必定交于車軸上的同一點(diǎn)。⑵鋼軌為截面沿直線拉伸而成，因此公切線與鉛垂面平行?；谝陨蠗l件，對于每一個滾動圓，過車軸上切線的交點(diǎn)作鉛垂平面，與滾動圓中下方的交點(diǎn)即為該滾動圓上唯一可能的接觸點(diǎn)。所有滾動圓上可能的接觸點(diǎn)構(gòu)成一條空間接觸跡線，空間跡線一系列離散點(diǎn)中與鋼軌面垂向距離最小的點(diǎn)即為接觸點(diǎn)。

2.2 考慮輪對柔性的接觸幾何計算方法

考慮輪對柔性，假設(shè)車輪不發(fā)生變形，僅考慮載荷作用下車軸的彈性變形，即車軸與車輪平面的垂直關(guān)系已不存在，故上述第2.1節(jié)特性⑴不滿足，滾動圓切線不再交于車軸。

考慮柔性時，車軸變形為任意形狀，將車輪考慮為與未發(fā)生變形時車軸與名義滾動圓交點(diǎn)固結(jié)(以下稱固結(jié)點(diǎn))，且任意時刻車輪截面與該點(diǎn)法線保持垂直。因此雖然車軸發(fā)生變形，但隨固結(jié)點(diǎn)的變化車輪姿態(tài)發(fā)生變化后，滾動圓的切線仍交于同一點(diǎn)，只是該點(diǎn)不再位于車軸上而位于變形后的車輪軸線上，仍然可以通過該點(diǎn)確定滾動圓上跡線點(diǎn)的位置。利用上述已求得的車軸變形方程，固結(jié)點(diǎn)的變形量即為車輪姿態(tài)和空間跡線的姿態(tài)變化量，發(fā)生相同的垂向的位移和繞前進(jìn)方向的旋轉(zhuǎn)。因此，在考慮輪對柔性時，根據(jù)已求得的變形量確定變形后新的跡線的空間位置，再基于傳統(tǒng)跡線法即可求解輪軌接觸點(diǎn)位置及其他幾何參數(shù)。

考慮輪對柔性的接觸點(diǎn)幾何計算方法步驟可歸納如下：

①給定時間，通過求解運(yùn)動微分方程獲得該時刻車軸變形信息。

②給定輪對橫移量及搖頭角，計算變形前車輪的接觸跡線。

③根據(jù)已得到的變形信息計算變形后新的接觸跡線。

④車輪跡線與鋼軌最小垂向距離的點(diǎn)為可能的接觸點(diǎn)。若兩側(cè)垂向距離“相等”，即相差小于精度條件，則為接觸點(diǎn)；否則側(cè)滾調(diào)整，直至滿足精度，確定接觸點(diǎn)位置及其他幾何參數(shù)

2.3 計算實例

選取LM磨耗形踏面和標(biāo)準(zhǔn)60鋼軌為研究對象，利用MATLAB軟件自編基于跡線法的柔性輪對接觸幾何參數(shù)程序，分別計算并對比了考慮輪對柔性與否的接觸幾何參數(shù)，包括輪、軌接觸點(diǎn)橫向位置，滾動圓半徑之差，接觸角之差，等效錐度。以下各圖為輪對彈性變形接近最大值時刻下(t=0.25 s)，各參數(shù)隨輪對橫移量變化的情況，搖頭角取為3°，橫移量變換范圍為-8～8 mm，輪緣與鋼軌不發(fā)生接觸，僅討論一點(diǎn)接觸情況。

圖2 右車輪接觸點(diǎn)橫向位置變化圖

圖3 右鋼軌接觸點(diǎn)橫向位置變化圖

圖2和圖3分別為右車輪及右軌上接觸點(diǎn)橫向位置的變化情況，以剛性輪對無橫移、無搖頭角時接觸點(diǎn)橫向位置為零點(diǎn)，遠(yuǎn)離輪緣方向為正方向?？梢钥闯觯嵝暂唽M移量相比均往右橫移了一段距離，這是因為考慮輪對柔性后，右側(cè)車輪向外側(cè)翻轉(zhuǎn)一定角度，導(dǎo)致接觸點(diǎn)位置外移。右車輪和右軌上接觸點(diǎn)位置在橫移量較小時，兩者相差不大，橫移量往負(fù)方向增大時，兩者之差略有增加，在6 mm附近時，兩者接觸點(diǎn)位置相差最大，右車輪之差為5.97 mm，右軌上之差為4.53 mm。

圖4 車輪滾動圓半徑之差變化圖

圖5 接觸角之差變化圖

圖4和圖5為車輪滾動圓半徑和接觸角之差隨橫移量的變化情況。當(dāng)橫移量小于3 mm時，兩者幾乎重合，隨著橫移量的增加，剛性輪對之差相對更大?？梢钥闯觯?dāng)考慮輪對柔性時，滾動圓半徑和接觸角隨橫移量的變化趨勢相對較小

圖6 等效錐度變化圖

圖6為等效錐度隨橫移量的變化情況。當(dāng)橫移量小于3 mm時，兩者幾乎重合，當(dāng)橫移量繼續(xù)增大時，剛性輪對相對等效錐度更大。這是因為等效錐度與滾動圓半徑之差成比例關(guān)系，因此變化趨勢和滾動圓半徑之差一致。

3 車輛動態(tài)性能分析

為了分析將輪對考慮成柔性體后對車輛系統(tǒng)動力學(xué)性能的影響，本節(jié)利用有限元軟件ANSYS求解輪對的模態(tài)振型信息，并將其導(dǎo)入自編的車輛軌道系統(tǒng)動力學(xué)仿真程序，并利用該程序?qū)Ρ确治隹紤]輪對柔性對車輛動態(tài)性能的影響。

3.1 車輛動態(tài)性能分析

如圖7為車輛軌道系統(tǒng)模型示意圖。車輛模型主要由輪對、構(gòu)架和車體構(gòu)成，其中輪對考慮為柔性體，車輛各剛體考慮6自由度。軌道模型由鋼軌、軌道板和路基構(gòu)成，鋼軌為歐拉梁解析解并考慮其橫向、垂向運(yùn)動，軌道板采用與輪對相同的剛?cè)狁詈辖７椒ǎ葾NSYS計算模態(tài)振型信息并輸入到軌道模型中。根據(jù)上述模型分析各個體之間的受力關(guān)系，推導(dǎo)各個體的振動微分方程，并利用數(shù)值計算軟件Fortran編制了動力學(xué)積分程序，積分方法采用翟方法。

圖7 車輛軌道模型示意圖

3.2 柔性輪對動力學(xué)建模

3.2.1模態(tài)疊加法

對于輪對，其系統(tǒng)的振動微分方程可以表示為式(20)。

(20)

上式中M、C、K、f分別為廣義質(zhì)量、阻尼、剛度和力矩陣，但關(guān)于輪對的常微分方程組中各個微分方程相互耦合，無法獨(dú)立求解，因此引入特殊的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣A對方程進(jìn)行解耦，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣A滿足式(21)。

(21)

上式中MP、CP和KP均為如式(22)形式的對角矩陣：

(22)

利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣A可將振動微分方程從物理坐標(biāo)空間變換到模態(tài)空間并對解耦后的單個微分進(jìn)行獨(dú)立求解，將x=Aq代入式(20)并在等式兩邊乘AT可得式(23)

(23)

將式(21)代入式(23)可得

(24)

式中MP、CP和KP均為對角矩陣，因此可對上式中各階微分方程在模態(tài)空間下進(jìn)行獨(dú)立求解得到模態(tài)坐標(biāo)，并利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣A變換得到物理空間系下的絕對坐標(biāo)。

一般習(xí)慣上都將質(zhì)量矩陣MP化為單位矩陣E，令此時關(guān)于質(zhì)量矩陣MP歸一化的變換矩陣A為AN，后續(xù)從有限元軟件中導(dǎo)出的振型矩陣即為關(guān)于質(zhì)量歸一化的AN。

3.2.2有限元分析

利用三維軟件和網(wǎng)格劃分軟件建立輪對實體模型并劃分好網(wǎng)格后導(dǎo)入到有限元軟件ANSYS中用于提取輪對的模態(tài)振型信息，建立的有限元模型如圖8所示。對輪對有限元模型進(jìn)行自由模態(tài)分析，選取輪對與車輛軌道系統(tǒng)耦合需用到的節(jié)點(diǎn)并輸出其前14階模態(tài)振型信息，其中前6階為剛體振動模態(tài)，其他各階柔性模態(tài)頻率見表1。如圖9為部分階模態(tài)振型動畫截圖。

圖8 輪對有限元模型

表1 輪對各階振動頻率

圖9 部分振型動畫截圖

3.2.3柔性輪對與車輛軌道系統(tǒng)的耦合

當(dāng)考慮輪對的柔性以后，積分時每一步輪對各自由度(位移、速度、加速度)的值由剛體和柔性體兩者的自由度疊加而成。在車輛軌道系統(tǒng)中，輪對一方面通過一系懸掛與構(gòu)架相互作用，另一方面通過輪軌接觸與鋼軌相互作用。因此，在將柔性輪對與車輛軌道系統(tǒng)耦合時，主要考慮以上兩部分作用的耦合。

當(dāng)考慮柔性輪對與構(gòu)架相連的一系懸掛作用時，除剛性自由度以外，輪對柔性變形會帶來附加的一系懸掛力。因此提取輪對車軸上一系懸掛點(diǎn)處柔性變形信息，將其與輪對剛體自由度疊加可得到一系懸掛作用力。以一系垂向力為例，考慮輪對柔性后附加的懸掛力如式(25)所示。

(25)

當(dāng)考慮柔性輪對與鋼軌接觸作用時，采取一定的簡化方法。從模態(tài)分析各階振型動畫可以看出，輪對車輪踏面廓形幾乎不發(fā)生變形，因此假設(shè)輪輞環(huán)狀廓形不發(fā)生變形，如圖10所示，無論輪對發(fā)生何種形式變形，存在左右車輪輪輞環(huán)狀廓形軸線及其在車軸的交點(diǎn)，可以此軸線為虛擬剛性車軸并在交點(diǎn)固結(jié)一個剛性車輪[11]，如此就可以采用傳統(tǒng)輪軌接觸算法分別求解左右車輪的接觸關(guān)系及動態(tài)作用力。

圖10 柔性輪對虛擬軸示意圖

3.3 計算實例

利用建立的車輛軌道系統(tǒng)動力學(xué)積分程序，計算分析兩種不同工況下柔性輪對對于車輛軌道系統(tǒng)的影響。

3.3.1常規(guī)計算工況

仿真車速選取所建立動車組車輛的常規(guī)運(yùn)營車速250 km/h，軌道激勵采用武廣線實測譜，仿真時間為14 s，分別計算柔性輪對和剛性輪對兩種模型，仿真輸出與輪對相關(guān)的輪軌力和一系懸掛力，并分析考慮是否柔性輪對對于車輛性能的影響。

圖11為輪軌垂向力和橫向力的時域仿真結(jié)果，可以看出柔性輪對與剛性輪對的輪軌力時域結(jié)果基本重合，不同時刻的最大值略有差異，考慮輪對是否柔性對輪軌力時域結(jié)果影響較小。為了進(jìn)一步分析柔性輪對對于輪軌力的影響，在頻域內(nèi)進(jìn)行分析(如圖12，為兩者的輪軌力頻譜圖)。從輪軌垂向力頻譜圖中可以看出，當(dāng)輪對考慮為柔性模型時，50～60 Hz附近P2力對應(yīng)的幅值有較為明顯的提高，而在其他頻率范圍，考慮輪對是否柔性對輪軌垂向力的頻譜影響不大。而對于輪軌橫向力，在所有頻率范圍內(nèi)考慮輪對是否柔性均沒有明顯差別。

圖11 輪軌力時域?qū)Ρ葓D

圖12 輪軌力頻域?qū)Ρ葓D

圖13為一系懸掛垂向力和橫向力的頻域仿真結(jié)果，同樣地可以看出考慮輪對是否柔性對于垂向力頻域結(jié)果影響很小，而對于橫向力，在15～25則Hz附近當(dāng)輪對為柔性時幅值略有增大。

圖13 一系懸掛力頻域?qū)Ρ葓D

值得注意的是，當(dāng)考慮輪對柔性時，僅在輪軌垂向力頻域成分P2頻率附近幅值有所增大，對其他頻率特別是柔性輪對模態(tài)振型頻率附近沒有明顯的區(qū)別，這是由于采用的武廣線軌道譜激勵頻率主要在20 Hz以下，頻率較低難以激發(fā)起輪對的模態(tài)振型。因此在下一節(jié)中將計算激勵頻率覆蓋范圍更高的特殊工況。

3.3.2初始不稱重工況

為了分析更高頻率下，柔性輪對與剛性輪對的響應(yīng)差別，在動力學(xué)積分前不對車輛系統(tǒng)進(jìn)行垂向稱重且不施加軌道激勵譜，因此車輛在積分初始階段在垂向會有劇烈的振蕩，可以將此看作一個自適應(yīng)稱重的過程，該過程將持續(xù)0.3 s，垂向振動將從劇烈逐漸趨向于正常的振動狀態(tài)。初始的自稱重過程由于振動劇烈將覆蓋更高的頻率范圍，取該過程的計算結(jié)果研究柔性輪對在高頻率激勵下的特性，以下是輪軌力、懸掛力的頻域結(jié)果對比。

圖14 輪軌力頻域?qū)Ρ葓D

圖15 一系懸掛力頻域?qū)Ρ葓D

圖14為輪軌力頻譜分析對比圖，從上方的垂向力頻域結(jié)果可以看出考慮輪對柔性對于輪軌垂向力的影響不是特別大，僅在一階彎頻率(120 Hz)附近存在一較小的峰值。從橫向力頻域結(jié)果可以看出兩者差別很大，剛性輪對橫向力在各頻率處幅值很小，這是由于當(dāng)不施加軌道譜時剛性輪對不發(fā)生變形，不存在橫向運(yùn)動趨勢導(dǎo)致的，而柔性輪對除了在P2力頻率附近幅值較大，在一階彎和三階彎固有頻率都存在明顯峰值。圖15為懸掛力頻譜分析對比圖，同樣地由于考慮輪對柔性，在一階彎和三階彎固有頻率都存在明顯峰值，而剛性輪對由于不產(chǎn)生變形，車軸上的一系懸掛點(diǎn)與構(gòu)架連接處幾乎不發(fā)生橫向位移，因此懸掛橫向力幅值很小。

4 結(jié) 論

文中分別計算分析柔性輪對在靜態(tài)下輪軌接觸幾何關(guān)系的變化和動態(tài)下對車輛系統(tǒng)動態(tài)性能的影響:

(1)對于輪軌靜態(tài)接觸幾何關(guān)系，介紹了一種將車軸簡化看成歐拉-伯努利梁柔性輪對模型，求解其變形信息，并利用變形信息基于跡線法的思想自編程序，求解柔性輪對變形后輪軌接觸點(diǎn)位置及其他幾何參數(shù)，是一種便捷快速的柔性輪軌接觸幾何計算方法，并與剛性輪對進(jìn)行比較。結(jié)果表明，當(dāng)考慮輪對柔性時，各接觸參數(shù)與剛性輪對相比會有一定變化。當(dāng)輪對橫移量在6 mm左右時，兩者差別最大。以輪、軌上接觸點(diǎn)位置為例，考慮柔性帶來的變化最大能達(dá)到剛性情況下的31%和33%。

(2)對于考慮輪對柔性時的車輛動態(tài)性能，采用模態(tài)疊加法在車輛-軌道耦合系統(tǒng)建立了柔性輪對模型，考慮柔性輪對與鋼軌、一系懸掛的耦合，并利用自編車輛-軌道系統(tǒng)自編動力學(xué)程序計算常規(guī)工況和不稱重特殊工況。常規(guī)工況下，考慮輪對柔性對輪軌力和一系懸掛力影響很小，僅在頻域下，輪軌垂向力P2力頻率成分附近幅值明顯增大。而在車輛初始不稱重的特殊工況，由于垂向自稱重過程覆蓋了更高頻率，考慮輪對柔性的影響明顯，在頻域結(jié)果下都存在明顯輪對固有模態(tài)帶來的頻域結(jié)果峰值。結(jié)果表明當(dāng)輪對受到高頻激勵時固有模態(tài)被激發(fā)，將輪對考慮成柔性更接近于實際。