孔繁鑫，陳陽舟，詹璟原，尚 飛

（1.北京工業(yè)大學(xué) 北京交通工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2.北京工業(yè)大學(xué) 人工智能與自動化學(xué)院，北京 100124)

0 引言

軌道交通以其速度快、運(yùn)量大、準(zhǔn)時安全等特點(diǎn)，成為支撐城市公共交通的重要方式之一[1]。與此同時，城市軌道交通系統(tǒng)的能耗不斷增加。據(jù)統(tǒng)計，2018年北京市軌道交通系統(tǒng)總電能耗達(dá)19億kW·h，牽引能耗達(dá)11億kW·h，牽引能耗約占系統(tǒng)總電能耗的57.9%[2]。通過優(yōu)化列車站間速度曲線，可以降低列車的牽引能耗，從而降低軌道交通系統(tǒng)的總能耗。

針對列車站間速度曲線優(yōu)化問題，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)做了大量研究，方法主要分為2類：解析算法和數(shù)值算法[3]。最常見的解析算法基于極大值原理，可以找到全局最優(yōu)解、求解速度快，但不能處理非線性運(yùn)行阻力和軌道速度限制等復(fù)雜的列車實(shí)際運(yùn)行條件[4]。例如，Howlett等[5]利用極大值原理證明了列車最優(yōu)運(yùn)行曲線由“最大牽引—巡航—惰行—最大制動”4個階段組成；Liu等[6]基于極大值原理將最優(yōu)控制過程分為最大牽引、部分牽引、惰行、部分制動、最大制動5種工況，并找到了各工況的切換點(diǎn)；朱金陵等[7]充分利用線路坡道，用極大值原理求解得到列車優(yōu)化控制策略。數(shù)值算法包括遺傳算法、動態(tài)規(guī)劃等。遺傳算法存在明顯的不足，如迭代參數(shù)的確定主要依靠經(jīng)驗(yàn)、對初始種群依賴性強(qiáng)、搜索速度慢等；動態(tài)規(guī)劃是求解多級決策過程最優(yōu)化的一種數(shù)學(xué)方法，常用來處理帶約束的優(yōu)化問題，但其存在“維數(shù)災(zāi)難”問題。例如，陳榮武等[8]提出基于遺傳算法的能耗優(yōu)化算法，計算了不同運(yùn)行時分的節(jié)能速度曲線；劉煒等[9]提出變長實(shí)矩陣編碼的多種群遺傳算法搜索列車節(jié)能運(yùn)行曲線，增強(qiáng)了尋優(yōu)過程的穩(wěn)定性；Ko等[10]利用一階泰勒公式和梯形規(guī)則將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為多階段決策過程，動態(tài)規(guī)劃求解得到列車節(jié)能速度曲線；Lu等[11]以速度變化量為控制變量，分別用蟻群算法、遺傳算法、動態(tài)規(guī)劃3種方法求解速度曲線優(yōu)化問題，動態(tài)規(guī)劃在離線求解中表現(xiàn)最佳。

既有研究多將整個狀態(tài)空間作為節(jié)能速度曲線優(yōu)化問題的搜索空間，導(dǎo)致求解的計算量和存儲量大，求解時間長。為此，構(gòu)建以位置為自變量、牽引力/制動力的系數(shù)為控制變量的列車節(jié)能速度曲線優(yōu)化模型，根據(jù)線路條件將位置離散化，將速度曲線優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為多階段決策過程，將狀態(tài)空間劃分成網(wǎng)格狀并利用狀態(tài)空間縮減策略對其縮減，利用離散動態(tài)規(guī)劃求解得到列車站間最優(yōu)速度曲線和最優(yōu)控制輸入，為列車運(yùn)行提供參考速度曲線，進(jìn)而降低列車站間運(yùn)行的牽引能耗。

1 列車節(jié)能速度曲線優(yōu)化模型構(gòu)建

在時刻表已知的前提下，列車從某站到下一站存在多條速度曲線滿足預(yù)定的時間約束。不同的列車速度曲線如圖1所示。

圖1 不同的列車運(yùn)行速度曲線Fig.1 Different speed running profiles of train

列車速度曲線優(yōu)化就是在固定的站間距離、規(guī)定的運(yùn)行時間下，考慮列車牽引特性、基本阻力、速度限制和坡道阻力等因素的影響，確定一條速度曲線使列車運(yùn)行過程的牽引能耗最小。將列車視為單質(zhì)點(diǎn)，以列車位置s為自變量、牽引力/制動力的系數(shù)u(u∈[-1，1])為控制變量、速度v和時間t為狀態(tài)變量，列車節(jié)能速度曲線優(yōu)化模型表示為

式中：J為列車運(yùn)行過程中的牽引能耗；S為站間距離；f(u，v)為列車牽引力/制動力；f+(u，v)為f(u，v)的正部分；Tra(v)，Bra(v)分別為列車最大牽引力和最大制動力，可以從列車的技術(shù)手冊中獲得，也可以通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到；M為列車質(zhì)量；Rb(v)為列車基本阻力，Rb(v) =Av2+Bv+C，參數(shù)A，B，C由列車型號、質(zhì)量等確定[12]；Rg(s)為列車坡道阻力，是列車重力在坡道方向的分量，由軌道傾斜程度決定，與列車位置s有關(guān)，Rg(s) =Mgsinθ(s) =其中g(shù)為重力加速度，g = 9.8 m/s2，θ(s)為軌道傾角，i(s)為軌道每1 000 m的高度差；Vlim為軌道速度限制。

2 離散動態(tài)規(guī)劃算法設(shè)計

將位置離散化，使得列車速度曲線優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為多階段決策過程，把列車的狀態(tài)空間離散化為網(wǎng)格狀并對其進(jìn)行縮減，利用離散動態(tài)規(guī)劃對節(jié)能速度曲線優(yōu)化模型進(jìn)行求解。

2.1 離散化處理

根據(jù)線路情況將位置離散化，位置集合由4部分組成：①將站間距離等間隔劃分的位置；②限速變化的位置；③軌道坡度變化的位置；④最大速度曲線達(dá)到或偏離限速的位置。為了減少不必要的階段，若等間隔劃分的位置離限速變化、坡度變化或最大速度曲線達(dá)到或偏離限速的位置小于等間隔位置間距的一半，則刪除該等間隔位置，將站間距離S劃分為K階段，產(chǎn)生K+ 1個位置為{s0，s1，…，sk，…，sK}。列車站間運(yùn)行的有效速度集示意圖如圖2所示，其中黑色、紅色、藍(lán)色、棕色位置分別為等間隔劃分、最大速度曲線達(dá)到或偏離限速、限速變化和坡度變化的位置。

將控制系數(shù)等間隔離散化，可行的控制系數(shù)u∈ [-1，-0.75，-0.5，-0.25，0，0.25，0.5，0.75，1]，其中負(fù)數(shù)表示制動，-1為最大制動，0表示惰行，正數(shù)表示牽引，1為最大牽引。將列車速度v與運(yùn)行時間t劃分成網(wǎng)格狀，每個格子的大小為Δv×Δt。速度和時間的離散間隔會影響最優(yōu)目標(biāo)速度曲線的求解精度，理論上，Δv，Δt的取值越小越好。

2.2 狀態(tài)空間縮減

圖2 列車運(yùn)行有效速度集示意圖Fig.2 Schematic diagram of train running effective speed set

為縮小搜索空間，用最大速度曲線與最小速度曲線對速度集合進(jìn)行縮減。最大速度曲線：在滿足軌道限速與終點(diǎn)停車的條件下，列車按照最大牽引力運(yùn)行。牽引階段最大牽引力加速至軌道限速，制動階段從終點(diǎn)倒推，巡航階段速度與軌道限速相等，沒有惰行階段。最小速度曲線：為按時到達(dá)終點(diǎn)，列車在站間有最小速度限制，該限制存在于列車最大速度曲線到達(dá)并基本保持在軌道限速的區(qū)間，而在該區(qū)間外，列車做勻加/減速運(yùn)動。最大速度曲線與最小速度曲線之間的速度構(gòu)成了有效的速度集合，即

式中：Vmax,k與Vmin,k分別為最大速度與最小速度曲線sk位置的速度值。

2.3 動態(tài)規(guī)劃正向搜索

列車狀態(tài)包括列車位置、速度和運(yùn)行時間，用φ= [s，v，t]表示，初始狀態(tài)為：φ0= [s0，v0，t0]= [0，0，0]。正向搜索是從初始狀態(tài)起，由不同的控制輸入u搜索滿足公式 ⑺ 限制的狀態(tài)，直到到達(dá)終點(diǎn)位置sK。離散動態(tài)規(guī)劃搜索過程如圖3所示。圖3中的陰影部分對應(yīng)圖2中的有效速度集合，速度落在陰影部分外的為無效控制。

令i，j，p分別為速度、時間、控制的索引，則列車在sk位置的狀態(tài)表示為在狀態(tài)的控制表示為

列車第k+ 1階段的能耗為

列車從s0到sK的總能耗表示為

圖3 離散動態(tài)規(guī)劃搜索過程Fig.3 Discrete dynamic programming search process

由貝爾曼最優(yōu)性原理，公式 ⑴ 的速度曲線優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為多階段決策問題，具體如下。

動態(tài)規(guī)劃的遞推方程表示為

由于位置s是離散的，可選控制輸入u也是離散的，正向搜索過程中列車的狀態(tài)[sk，vk，tk]一般不會落到網(wǎng)格點(diǎn)，將其近似到最近的網(wǎng)格點(diǎn)。需要注意的是，每個狀態(tài)對應(yīng)著自初始狀態(tài)φ0以來的最小能耗。當(dāng)有多條搜索路徑到達(dá)同一狀態(tài)[sk，vk，tk]時，利用公式 ⑾ 選擇使得能耗最小的控制作為最優(yōu)解。

為保存正向搜索結(jié)果，構(gòu)建3個數(shù)組：能耗數(shù)組、索引數(shù)組和控制數(shù)組。能耗數(shù)組存儲列車從初始狀態(tài)到當(dāng)前狀態(tài)總牽引能耗的最小值，索引數(shù)組和控制數(shù)組存儲列車從初始狀態(tài)到當(dāng)前狀態(tài)最優(yōu)速度曲線對應(yīng)的上一個狀態(tài)的索引和控制。

2.4 動態(tài)規(guī)劃反向搜索

反向搜索是根據(jù)能耗數(shù)組、索引數(shù)組和控制數(shù)組，利用公式 ⑾ 遞推得到列車的最優(yōu)速度曲線和最優(yōu)控制輸入。反向搜索步驟如下。

步驟1：從終端狀態(tài)[sK，vK，tK]開始搜索。

步驟2：取當(dāng)前狀態(tài)對應(yīng)的能耗數(shù)組、控制數(shù)組的值并保存。

步驟3：由索引數(shù)組得到當(dāng)前狀態(tài)對應(yīng)的前一狀態(tài)的索引值并將其作為當(dāng)前狀態(tài)。

步驟4：對當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行判斷。若當(dāng)前狀態(tài)為初始狀態(tài)，則搜索結(jié)束，得到最優(yōu)速度曲線；否則，轉(zhuǎn)步驟2。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證算法的有效性，選擇北京地鐵亦莊線同濟(jì)南—經(jīng)海路站間線路，分別對動態(tài)規(guī)劃且狀態(tài)空間縮減(方案1)、動態(tài)規(guī)劃且狀態(tài)空間未縮減(方案2)和枚舉法(方案3) (與動態(tài)規(guī)劃對狀態(tài)空間離散化不同，枚舉法的速度、時間未離散化處理)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。其站間距離為2 265 m，時刻表規(guī)定的站間運(yùn)行時間為150 s。同濟(jì)南—經(jīng)海路軌道坡度和速度限制如表1所示。北京地鐵亦莊線列車的牽引特性、制動特性和運(yùn)行阻力如圖4所示。

表1 同濟(jì)南—經(jīng)海路軌道坡度和速度限制Tab.1 Track slope and speed limit of Tongjinan-Jinghailu

圖4 北京地鐵亦莊線列車的牽引特性、制動特性和運(yùn)行阻力Fig.4 The traction characteristic, braking characteristic and running resistance of trains on Beijing Subway Yizhuang line

將站間位置離散化，方案1和方案2均分為31個階段，取Δv= 0.1 m/s，Δt= 0.1 s。方案3的計算時間隨著階段數(shù)的增加而指數(shù)增加，以劃分17個階段為例，搜索對應(yīng)的站間節(jié)能速度曲線。用1.6 GHz處理器、8 GB RAM的個人電腦通過Python編程實(shí)現(xiàn)。方案1對應(yīng)的最優(yōu)速度曲線和最優(yōu)控制輸入如圖5所示。方案3對應(yīng)的最優(yōu)速度曲線和最優(yōu)控制輸入如圖6所示。方案2求解的節(jié)能速度曲線與方案1相同。

北京地鐵亦莊線同濟(jì)南—經(jīng)海路的節(jié)能速度曲線優(yōu)化3種方案的性能如表2所示。

圖5 方案1對應(yīng)的最優(yōu)速度曲線和最優(yōu)控制輸入fig.5 The optimal velocity curve and optimal control input corresponding to scheme 1

圖6 方案3對應(yīng)的最優(yōu)速度曲線和最優(yōu)控制輸入fig.6 The optimal velocity curve and optimal control input corresponding to scheme 3

由表2可知，方案1與方案2都采用動態(tài)規(guī)劃方法求解，得到的節(jié)能速度曲線相同，終端速度和終端時間的偏差、能耗相同，唯一區(qū)別是方案1進(jìn)行了狀態(tài)空間縮減，其求解時間僅為方案2的2.5%，狀態(tài)縮減策略使得搜索效率明顯提高。動態(tài)規(guī)劃算法的離散化數(shù)據(jù)近似處理導(dǎo)致列車終端狀態(tài)與目標(biāo)狀態(tài)產(chǎn)生較大的偏差。方案3采用枚舉法求解，速度和時間未進(jìn)行離散化處理，避免了動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)近似帶來的誤差，終端狀態(tài)的偏差較小。但是，方案3計算得到的能耗較大，主要是由于階段劃分較少導(dǎo)致的。然而由于枚舉法的計算量、存儲量隨著階段數(shù)的增加而呈指數(shù)趨勢增加，如果繼續(xù)增加階段數(shù)會導(dǎo)致計算機(jī)溢出，計算停止。離散動態(tài)規(guī)劃算法解決了枚舉法計算量和存儲量大的問題，比枚舉法減少能耗5.6%，且隨著階段數(shù)的增加，得到的節(jié)能速度曲線會逐漸逼近全局最優(yōu)解?？梢姡瑒討B(tài)規(guī)劃且狀態(tài)縮減方案可以在較短時間內(nèi)找到最優(yōu)的列車站間節(jié)能速度曲線。

4 結(jié)束語

列車牽引能耗是城市軌道交通系統(tǒng)總能耗的主要部分，優(yōu)化列車站間速度曲線對降低運(yùn)營成本、促進(jìn)低碳經(jīng)濟(jì)具有重要的意義。基于離散動態(tài)規(guī)劃求解列車站間速度曲線的優(yōu)化問題，并利用最大速度曲線、最小速度曲線對狀態(tài)空間進(jìn)行縮減，可以提高動態(tài)規(guī)劃算法的搜索效率，降低列車的牽引能耗。仿真實(shí)驗(yàn)表明，利用動態(tài)規(guī)劃且狀態(tài)縮減方案可以在較短時間內(nèi)找到最優(yōu)的列車節(jié)能速度曲線。為進(jìn)一步降低城市軌道交通的總電能耗，應(yīng)考慮多車協(xié)作的速度曲線優(yōu)化問題，利用列車的再生制動能量，減少整個線路列車的牽引能耗。

表2 3種方案的性能Tab.2 Performance of the three scenarios