何援軍

軸測(cè)投影的若干問(wèn)題

何援軍

(上海交通大學(xué)計(jì)算機(jī)系，上海 200240)

重新審視了軸測(cè)投影定義的表述。軸測(cè)投影法是用平行投影的方法，沿投射方向?qū)⒖臻g坐標(biāo)系投射到投影面上得到軸測(cè)坐標(biāo)系并進(jìn)而在這個(gè)坐標(biāo)系下表述空間形體，用這種方法得到的圖紙叫軸測(cè)圖。三視圖用3個(gè)視圖分別表示形體的3個(gè)方向(面)，軸測(cè)圖用一個(gè)視圖同時(shí)表示三直三面角，其本質(zhì)都是要表達(dá)出形體的3個(gè)方向(面)，在平面上表述空間形體。討論了軸測(cè)投影中的一些根本問(wèn)題，包括平行投影體系、軸測(cè)三角形、軸測(cè)投影體系、軸測(cè)投影的基本要素和基本公式，剖析了正軸測(cè)投影和斜軸測(cè)投影之共性和不同，給出了其原理圖。

圖學(xué)；平行投影體系；軸測(cè)投影；軸測(cè)圖

這是論述大“圖學(xué)”學(xué)科的第8篇文章[1-7]，本文主要討論軸測(cè)投影中若干問(wèn)題。

投影，是一種光線照射下形體在地面或墻面上有影子現(xiàn)象的模擬和抽象。其基本要素是形體、投射線和投影平面。所謂投影就是通過(guò)形體輪廓點(diǎn)的一系列投射線與投影面交點(diǎn)關(guān)系的集合。這是一種通過(guò)降維(投影)在平面上表示空間形體的辦法。

通過(guò)物體的投射線向選定的面投射且在該面上得到圖形的方法叫投影法，根據(jù)投影法所得到的圖形叫投影。工程圖常用的投影方法有以下 4種：多面正投影法、軸測(cè)投影法、透視投影法和標(biāo)高投影法。

空間視角的基本條件是能同時(shí)看到物體的 3個(gè)面，因此用單面投影圖表達(dá)一個(gè)形體的空間感覺(jué)，就要同時(shí)表述一個(gè)立方體的3個(gè)面，才接近于人們的視覺(jué)習(xí)慣，形象逼真，富有立體感。三視圖用3個(gè)視圖分別表示形體的3個(gè)面，軸測(cè)圖用一個(gè)視圖同時(shí)表示三直三面角(立方體任一個(gè)頂點(diǎn)由3個(gè)互相垂直的面相交而成)，其目標(biāo)都是要表達(dá)形體的3個(gè)面。這，就是引入軸測(cè)投影體系得到軸測(cè)圖的緣由。

軸測(cè)圖是工程上的一個(gè)重要圖紙類型，軸測(cè)圖一般不能反映出物體各表面的實(shí)形，因而度量性差，同時(shí)作圖比較復(fù)雜。因此，在工程上常把軸測(cè)圖作為輔助圖樣以幫助讀圖，說(shuō)明機(jī)器的結(jié)構(gòu)、安裝、使用等情況，在設(shè)計(jì)中，用軸測(cè)圖幫助構(gòu)思、想象物體的形狀，以彌補(bǔ)正投影圖的不足。

1 軸測(cè)投影體系

最早的軸測(cè)投影畫(huà)法出現(xiàn)在英國(guó)[8]，奠基人是Wiliam Farish (1759–1837年)，1820年，他在英國(guó)哲學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)刊上發(fā)表了題為“論等測(cè)透視圖(On Isometrical Perspective)”的論文，明確提出了表現(xiàn)力較好的立方體的一個(gè)面投影表示法：“從立方體一條對(duì)角線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，向一個(gè)垂直于該對(duì)角線的平面投影”，這構(gòu)成了等軸測(cè)投影法。這個(gè)設(shè)想的擴(kuò)展構(gòu)成了后來(lái)的軸測(cè)投影法，其建立在向空間平面作平行投影的基礎(chǔ)上，建立了空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系，構(gòu)成了軸測(cè)投影體系。

1.1 軸測(cè)投影的基本定理

德國(guó)幾何學(xué)家K?波克證明了波克定理：“平面上從一個(gè)點(diǎn)引出的任意3條(不共線的)線段，總可以作為空間3條互相垂直的相等線段的平行投影?！辈硕ɡ肀环Q為軸測(cè)投影的基本定理，其不僅奠定了軸測(cè)投影的理論基礎(chǔ)，也打開(kāi)了研究軸測(cè)投影的道路。波克定理還定性地描述了軸測(cè)投影中各參數(shù)之間的互相關(guān)系：投影平面上軸測(cè)軸的各種位置(軸間角)和軸測(cè)單位的各種長(zhǎng)度(軸向伸縮系數(shù))是與空間坐標(biāo)軸的各種位置和投射方向相對(duì)應(yīng)的。當(dāng)任意選定了軸向伸縮系數(shù)的比值和軸間角以后，總能求出空間坐標(biāo)軸的位置和相應(yīng)的投射方向。

1.2 平行投影體系

軸測(cè)投影建立在一個(gè)平行投影體系上。

平行投影體系。設(shè)在空間坐標(biāo)系下表述的 一個(gè)平面，一個(gè)方向和任意一點(diǎn)。如果通過(guò)點(diǎn)引一條與方向平行的直線使其與平面相交，則交點(diǎn)就叫做點(diǎn)沿方向的平行投影。直線叫做投射線，平面叫做投影面。如果投影方向與投影面垂直，這種投影就叫做正投影，否則叫做斜投影。由空間坐標(biāo)系、投影面和投射方向構(gòu)成的一組元素叫做平行投影系，其表達(dá)空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系。

1.3 軸測(cè)投影的表述

下面給出軸測(cè)投影的完整表述：

軸測(cè)投影法是建立在平行投影的基礎(chǔ)上，將一個(gè)空間坐標(biāo)系沿投射方向投射到投影面上，由空間坐標(biāo)軸的三投影得到軸測(cè)軸，構(gòu)成軸測(cè)坐標(biāo)系，在這個(gè)平面軸測(cè)坐標(biāo)系下表述表示三直三面角的空間形體。

因此，簡(jiǎn)單地說(shuō)，軸測(cè)投影就是：用平行投影的方法，將一空間坐標(biāo)系向設(shè)定的投影面投影，構(gòu)成投影面上的軸測(cè)坐標(biāo)系。在這個(gè)軸測(cè)坐標(biāo)系下表示的空間形體的圖形叫做軸測(cè)圖。

如圖1~4所示，空間笛卡爾坐標(biāo)系，投影平面，投射線(圖1~2投射線，同向1)，三坐標(biāo)軸，，與的交點(diǎn)分別為，，。

在投影面上，空間坐標(biāo)系原點(diǎn)在上的投影為1，空間三坐標(biāo)軸(,,)在面上的三投影(11,11,11)構(gòu)成軸測(cè)坐標(biāo)軸，三者以1為原點(diǎn)，構(gòu)成軸測(cè)坐標(biāo)系。

若⊥，構(gòu)成正軸測(cè)投影(圖1~2，投射線與1重疊)；否則，構(gòu)成斜軸測(cè)投影(圖3~4，1//，*⊥)。

圖1 正軸測(cè)投影體系原理圖

圖2 正軸測(cè)投影要素關(guān)系

圖3 斜軸測(cè)投影體系原理圖

圖4 斜軸測(cè)投影要素關(guān)系

1.4 軸測(cè)投影三角形

的3個(gè)坐標(biāo)軸與的交點(diǎn)，，構(gòu)成一個(gè)三角形△，稱為“軸測(cè)投影三角形”，△是投影面與空間笛卡爾坐標(biāo)系3個(gè)軸相交的交點(diǎn)形成的三角形，其與三直三面角的空間坐標(biāo)系的3個(gè)坐標(biāo)面構(gòu)成一個(gè)四面角-。

這個(gè)△在軸測(cè)投影理論與應(yīng)用的研究中有特別的意義。以后關(guān)于軸測(cè)投影的研究基本上是基于這個(gè)軸測(cè)投影三角形展開(kāi)的。

1.5 軸測(cè)投影的基本術(shù)語(yǔ)

除了軸測(cè)投影三角形以外，在研究軸測(cè)投影中，還將用到下列術(shù)語(yǔ)。

(1) 軸測(cè)軸。空間三坐標(biāo)軸(,,)在投射方向()下在投影面()上的投影為軸測(cè)投影軸，簡(jiǎn)稱軸測(cè)軸(11,11,11)。

(2) 軸間角。相鄰兩軸測(cè)軸間的夾角稱為軸間角(∠1, ∠1和∠1)。

(3) 軸測(cè)量度。形體的投影所反映的長(zhǎng)、寬、高數(shù)值是沿軸測(cè)軸1，1，1來(lái)測(cè)量的。

(4) 軸向變形系數(shù)。沿軸測(cè)軸方向線段的投影長(zhǎng)度與其真實(shí)長(zhǎng)度之比，稱為軸向變形系數(shù)，即

軸的軸向變形系數(shù)η＝1；

軸的軸向變形系數(shù)η=1；

軸的軸向變形系數(shù)η＝1。

2 軸測(cè)投影體系參數(shù)的決定

軸測(cè)投影體系表述空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系。軸測(cè)投影體系也由這三者決定，其基本參數(shù)分為空間參數(shù)和軸測(cè)參數(shù)(參閱圖1~4)。

(1) 空間參數(shù)。三直三面空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面。其中，和都是在下表達(dá)的?？臻g參數(shù)包括，，與1，1，1和等7個(gè)參數(shù)。投射方向與空間坐標(biāo)系的互相位置由1，1，1確定。空間坐標(biāo)系與投影面的互相位置由，，確定。投射方向與投影面的互相位置由確定。

(2) 軸測(cè)參數(shù)。軸向變形系數(shù)η，η，η和軸間角∠1，∠2，∠3等共6個(gè)參數(shù)可稱為軸測(cè)參數(shù)。其是在軸測(cè)投影圖上決定物體空間形狀的作圖依據(jù)。知道了軸間角和軸向變形系數(shù)，就可以沿著軸向度量形體的尺寸，也可以沿著軸向量畫(huà)出形體上各點(diǎn)、各線段和整個(gè)形體的軸測(cè)投影。

2.1 用幾何方法決定軸測(cè)投影參數(shù)

平行投影系的關(guān)鍵是投影面和投影方向，因此，在改變或確定這兩個(gè)因素之后，軸測(cè)投影三角形△也就確定了，從幾何的角度可以看到，軸測(cè)投影△一旦確定，軸測(cè)投影系中其他的相關(guān)參數(shù)也相應(yīng)確定，參閱圖1~4。其中，圖2和圖4只是圖1和圖3從不同方位看的同一圖，圖2是正軸測(cè)投影三角形的平面圖。

(1) 首先，空間笛卡爾坐標(biāo)系是確定的。

(2) 一旦投影面確定，空間笛卡爾坐標(biāo)軸，，與面的交點(diǎn)，，就決定了，軸測(cè)投影△也就決定了(△1，△1和△1是共點(diǎn)的3個(gè)直角三角形)。

(3) 投射方向，空間坐標(biāo)系原點(diǎn)到投影面(△)的投影1就決定(1=∠1，1=∠1，1=∠1為投射線1的方向角)。

(4)1一經(jīng)確定，空間坐標(biāo)系在面上的投影1，1，1也就確定了。由此，軸測(cè)軸(軸測(cè)坐標(biāo)系確定)：

①投影面上的軸測(cè)軸1，1，1是確定的，從而軸間角∠1，∠1和∠1是確定的。

②變形比例(軸向變形系數(shù))1，1，1是確定的。

③軸間角∠1 (∠1)，∠2 (∠1)和∠3 (∠1)確定的。

用幾何方法決定軸測(cè)投影參數(shù)既是定性的，但也可以通過(guò)空間幾何求交算法定量求得。

2.2 軸測(cè)投影參數(shù)的解析關(guān)系

軸測(cè)投影體系都是在笛卡爾直角坐標(biāo)系下討論的，這使得軸測(cè)投影參數(shù)可以用解析式表示和計(jì)算?？臻g7個(gè)參數(shù)和軸測(cè)6個(gè)參數(shù)(參閱圖1~4)不全是獨(dú)立的，其間有一些制約關(guān)系。下面先列出這些軸測(cè)參數(shù)間相互關(guān)系的主要解析式。其中，式(1)被稱為軸測(cè)投影體系的基本公式。

(1) 各軸測(cè)參數(shù)滿足下列約束

(ηηsin∠1)2+(ηηsin∠2)2+(ηηsin∠3)2

=η2+η2+η2–1 (1)

∠1+∠2+∠3=360° (2)

(2) 各空間參數(shù)滿足下列約束

cos×cos1+cos×cos1+cos×cos1=sin(3)

cos2+cos2+cos2=1 (4)

cos21+cos21+cos21=1 (5)

cos×cos1+cos×cos1+cos×cos1=sin(6)

(3) 空間參數(shù)和軸測(cè)參數(shù)間的約束

η2+η2+η2=2+co2或η2+η2+η2=1+1/sin2(7)

(ηηsin∠1)2+(ηηsin∠2)2+(ηηsin∠3)2=csc2(8)

下面對(duì)上述軸測(cè)投影參數(shù)的8個(gè)關(guān)系式作出一些說(shuō)明。

①對(duì)式(7)和式(8)的證明。

②基本式(1)的證明?；臼?1)的證明是在式(7)和式(8)的基礎(chǔ)之上完成的，式(7)說(shuō)明3個(gè)軸向伸縮系數(shù)的平方和是的函數(shù)，式(8)說(shuō)明變形系數(shù)和軸間角也是的函數(shù)。先認(rèn)定式(7)和式(8)成立(證明比較長(zhǎng)，列在后面，作為參考)，證明基本式(1)。聯(lián)立式(7)和式(8)，從中消去。就推導(dǎo)出基本式(1)。

基本式(1)反映了軸測(cè)投影中各軸測(cè)參數(shù)之間的定量關(guān)系。

③軸測(cè)投影體系的自由度。根據(jù)式(1)~(8)的約束，空間的7個(gè)參數(shù)有5個(gè)是獨(dú)立參數(shù)，有 4個(gè)自由度，只要任給出其中4個(gè)獨(dú)立參數(shù)，就能求出其余空間參數(shù)，從而也就能確定軸測(cè)系統(tǒng)的位置。

在基本式(1)中，3個(gè)軸間角只有2個(gè)是獨(dú)立的，那么基本式本身也只包含有5個(gè)獨(dú)立參數(shù)，只要任給出其中4個(gè)獨(dú)立的軸測(cè)參數(shù)，就可以確定其余的參數(shù)。

這說(shuō)明了一般形式的軸測(cè)投影體系有4個(gè)自由度。

④軸測(cè)投影體系的特例——正軸測(cè)投影。再來(lái)看軸測(cè)投影中的一個(gè)特例當(dāng)投射方向與投影面垂直，即投射角=90°時(shí)，就是正軸測(cè)投影，此時(shí)式(7)可化簡(jiǎn)為

η2+η2+η2=2 (9)

將其代入基本式(1)，就得到

(ηηsin∠1)2+(ηηsin∠2)2+(ηηsin∠3)2=1 (10)

這就是正軸測(cè)投影基本定理。

3 常用軸測(cè)投影體系

軸測(cè)投影體系由空間坐標(biāo)系、投射方向和投影面三者決定，空間坐標(biāo)系是確定的，于是，軸測(cè)投影體系將根據(jù)投射方向和投影面的不同選擇決定，這樣得到的軸測(cè)投影體系可以有無(wú)限多個(gè)。

在長(zhǎng)期的工程實(shí)踐應(yīng)用中只采用了少數(shù)幾個(gè)軸測(cè)投影，由特殊的軸測(cè)參數(shù)軸間角∠1，∠2，∠3和軸向變形系數(shù)η，η，η給出(圖6)[9-12]。

(1) 正等測(cè)。軸向變形系數(shù)η=η=η=0.816，軸間角∠1=∠2=∠3=120°。

圖6 常用軸測(cè)坐標(biāo)系

(2) 正二測(cè)。取η=η=0.94，η=0.47，軸間角∠1=131°25'，∠2=131°25'，∠3=97°10'。

(3) 斜二測(cè)。取η=0.5，=η=1.0，軸間角∠1=135°，∠2=90°，∠3=135°。

軸測(cè)圖并不是空間的精確描述，其功能是產(chǎn)生較好的空間視覺(jué)效果，可根據(jù)需要選用其中一種軸測(cè)圖。上述軸向變形系數(shù)和軸間角是畫(huà)法幾何的經(jīng)典值，并非有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，將軸向變形系數(shù)調(diào)整，只是將形體沿軸測(cè)方向等比擴(kuò)大或縮小而已，只要視覺(jué)上能夠接受。

3.1 正軸測(cè)投影要素

參閱圖1~2，，，為三投影軸，為投影平面，投射線1⊥，三投影軸與的交點(diǎn)分別為，，和1，1，1分別為空間坐標(biāo)系在面上的投影?！?，△1和△1是共點(diǎn)的3個(gè)直角三角形。1=∠1，1=∠1，1=∠1為投射線1的方向角。

3.2 正軸測(cè)投影的基本關(guān)系式

根據(jù)軸測(cè)投影體系基本關(guān)系式(1)，由于=90°，所以，正軸測(cè)投影的基本關(guān)系式為式(9)和式(10)。

(1) 正軸測(cè)軸向變形系數(shù)與軸間角的關(guān)系。根據(jù)軸測(cè)投影定義，軸向變形系數(shù)η，η，η與軸間角∠1，∠2，∠3間的關(guān)系是確定的，即

如果先給定軸向變形系數(shù)，可由式(11)~(13)求得軸間角；如先給定軸間角，則可由式(14)~(16)求得軸向變形系數(shù)。

(2) 正二測(cè)的軸向變形系數(shù)與軸間角

已知：根據(jù)畫(huà)法幾何的約定，一般正二測(cè)軸向變形系數(shù)取η=η=2η(圖6(b))

求：軸間角。由式(7)解之得：

由式(11)~(13)，可解得

因?yàn)檩S測(cè)圖的作用主要是圖示，是一種眼觀標(biāo)準(zhǔn)，不嚴(yán)格體現(xiàn)在幾何形體的尺寸量度上，因此對(duì)軸向系數(shù)并未有嚴(yán)格的精確要求。實(shí)際繪制時(shí)，一般教材均建議對(duì)正等測(cè)和正二測(cè)的軸向系數(shù)靠向簡(jiǎn)單的比例因子，例如0.47取0.50，0.94取1.00等等。

3.3 斜軸測(cè)投影要素

(1) 斜軸測(cè)投影的基本關(guān)系式。斜軸測(cè)投影時(shí)(圖3~4)，平行投影的方向是不平行于投影面法線方向的，設(shè)其與投影面△成角，斜軸測(cè)投影軸為1，1和1，坐標(biāo)原點(diǎn)在投影面△上的正投影是*前已證明，斜軸測(cè)投影時(shí)有

η2+η2+η2=1+1/sin2=2+cot2

這是斜軸測(cè)投影的基本關(guān)系式，即投影方向與變形系數(shù)之間的關(guān)系。斜軸測(cè)投影的變形系數(shù)的平方和隨投射線對(duì)軸測(cè)投影面的夾角而變化。

(2) 空間參數(shù)與軸測(cè)參數(shù)間的關(guān)系。在斜軸測(cè)投影中，還有以下結(jié)論：笛卡爾坐標(biāo)軸(空間參數(shù))與對(duì)應(yīng)的軸測(cè)投影軸(軸測(cè)參數(shù))的放射比(軸向變形系數(shù))和兩者的夾角余弦的乘積之和等于2，即有

ηcos+ηcos+ηcos=2

但與正軸測(cè)投影不同，在斜軸測(cè)投影中，下列3式不成立，即

cos=η，cos=η，cos=η

但是有

η(cos–η)+η(cos–η)+η(cos–η)=–ctg2

此式給出了笛卡爾坐標(biāo)軸在任意軸測(cè)投影面上作軸測(cè)投影時(shí)，坐標(biāo)軸與軸測(cè)軸兩者仿射比(變形系數(shù))之間的關(guān)系，以及斜投射方向與投影面法向的夾角之間的關(guān)系。

4 投影面和軸測(cè)軸的求取

決定一個(gè)軸測(cè)投影的要素是投影面，以及投影方向。

(1) 投影面。軸測(cè)圖在投影面上得到，與投射方向的選擇相關(guān)。

方式1. 可以是形體不動(dòng)，改變投影面。這常是一種斜投影方式。

方式2.固定投影面，對(duì)形體作空間變換。這常是一種正投影方式。

方式1多用于理論研究，方式2多用于實(shí)際應(yīng)用，工程制圖中常用坐標(biāo)平面作為投影面。

(2) 投射方向。在投影面決定以后，投射方向決定正投影(投射方向與投影面垂直)還是斜投影(投射方向傾斜于投影面)。

(3) 坐標(biāo)軸?？臻g是笛卡爾坐標(biāo)系，投影面上是軸測(cè)坐標(biāo)系，后者是前者在投影面上的投影。

4.1 固定形體尋找投影面產(chǎn)生軸測(cè)圖

先討論固定形體，形體在這樣的局部坐標(biāo)系下表示：其至少有一個(gè)主面平行于坐標(biāo)平面。在空間坐標(biāo)系下決定一個(gè)投影面，給出的一個(gè)表達(dá)形式：面上的一個(gè)點(diǎn)，和在空間坐標(biāo)系下的單位法向量，使得形體在面上的投影是形體的軸測(cè)圖。

(1) 正等測(cè)圖投影面的決定。軸測(cè)投影初始是得到正等測(cè)投影，投影面的法向與空間坐標(biāo)系 3個(gè)坐標(biāo)軸有相同的夾角，所以在空間坐標(biāo)系的單位法向是：(0.577350, 0.577350, 0.577350)。

面上一點(diǎn)的選擇可有無(wú)窮多種，可以在空間坐標(biāo)系的，，3個(gè)軸上，離原點(diǎn)距離相等的3個(gè)點(diǎn)0，1，2構(gòu)筑一個(gè)等邊三角形，通過(guò)該3點(diǎn)構(gòu)筑的平面作為形體的投影面，其法向滿足正等測(cè)投影面的法向條件(圖7~9中的灰色面)。例如：可取以下3個(gè)點(diǎn)：0(0.0, 0.0, 1.0)，1(1.0, 0.0, 0.0)，2(0.0, 1.0, 0.0)。根據(jù)顯示要求， 3個(gè)點(diǎn)0，1，2可以按同比例改變，保證單位法向不變。

面投影中心為，有以下的結(jié)論(參閱圖1~2)：

?⊥，∠0=∠1=∠2=90°；

?0，1，2在面上的投影分別為0，1和2；

?0，1和2構(gòu)成軸測(cè)坐標(biāo)系。其3個(gè)軸間角相等，即

?∠=∠=∠=∠01=∠02= ∠12=120°。

?0：0=1：1=2：2=0.816。

形體在面上的投影。是在面上的正投影，表示的正等測(cè)圖。相對(duì)于空間坐標(biāo)系，投射方向是斜的(的單位法向是，圖7)。

1+3組投射線各組各自互相平行，其中3組分別垂直于總坐標(biāo)平面，1組垂直于面(平行于面的法向)，與3個(gè)坐標(biāo)平面有相同的夾角。

形體的正軸測(cè)投影的線性尺寸與形體的線性尺寸比為0.816(=︰)，這個(gè)比例就是軸向變形系數(shù)。

圖7~9是分別在正二測(cè)和正等測(cè)(注意兩者重合)下顯示的投影原理圖。

圖7 正等測(cè)原理圖

圖8 正等測(cè)原理圖之二

圖9 正等測(cè)原理圖之三

(2) 正二測(cè)圖投影面的決定。正二測(cè)投影面(圖10~12中的灰色面)，可在空間坐標(biāo)系的，，3個(gè)軸上的3個(gè)點(diǎn)0，1，2構(gòu)筑一個(gè)三角形，通過(guò)該3點(diǎn)構(gòu)筑的平面作為形體的投影面。與正等測(cè)不同的是，3個(gè)點(diǎn)0，1，2離原點(diǎn)距離是不等的，三角形也不是等邊三角形。

圖10 正二測(cè)原理圖

圖11 正二測(cè)原理圖之二

圖12 正二測(cè)原理圖之三

正二測(cè)投影面在空間坐標(biāo)系的，，下的單位法向是：(0.881931, 0.333333, 0.333297)。

下面是一組構(gòu)成投影面3點(diǎn)的例子，為方便，這3點(diǎn)可取在原坐標(biāo)軸的軸上。其中，第一個(gè)可先決定，任選，后面兩點(diǎn)根據(jù)選定的首點(diǎn)及正二測(cè)投影面的單位法向經(jīng)計(jì)算得到：

1(0.0, 0.0, 1.0)，2(0.377918, 0.0, 0.0)，3(0.0, 0.999892, 0.0)

根據(jù)顯示要求，1點(diǎn)可以離原點(diǎn)遠(yuǎn)一點(diǎn)，例如，取1(0.0, 0.0, 2.0)，1(0.0, 0.0, 3.0)等，2和3由正二測(cè)投影面的單位法向重新計(jì)算得到。

(3) 斜二測(cè)圖投影面的決定。一般的敘述。斜二測(cè)圖中，形體有一個(gè)主平面與投影面平行，投射線的方向是垂直于這個(gè)投影面的。所以，可以選擇與面垂直的面作為斜二測(cè)圖的投影面，投影面的法向與面平行。構(gòu)筑一個(gè)以面法向作為新的軸，面作為新的平面的新坐標(biāo)系，在這個(gè)新坐標(biāo)系向經(jīng)錯(cuò)切變換后向平面投影，這個(gè)投影就是形體的斜二測(cè)投影圖。

但是，因?yàn)樾枰靶误w有一個(gè)主平面與投影面平行”這樣一個(gè)條件，而這個(gè)條件在選擇形體坐標(biāo)系時(shí)更為需要，所以，在斜二測(cè)圖產(chǎn)生中，不建議選擇除了坐標(biāo)平面外的投影面。例如，選擇的投影面是平面，那么，投射線的法向是：

(0.0, 0.0, 1.0)。

4.2 固定投影面而變換形體產(chǎn)生軸測(cè)圖

這是產(chǎn)生軸測(cè)變換的另一種方式：通過(guò)對(duì)空間形體的旋轉(zhuǎn)或者錯(cuò)切變換，將軸測(cè)投影轉(zhuǎn)化為正投影。方法如下(圖13~15)。

(1) 正等測(cè)圖。如果以平面作為投影面，在這個(gè)面上產(chǎn)生正等測(cè)圖。那么可先將空間形體繞軸旋轉(zhuǎn)–45°，再繞軸正旋轉(zhuǎn)35.26442° (35°15.865')然后向-平面投影(取,坐標(biāo))，得到正等測(cè)圖。

圖13 旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生正等測(cè)圖

圖14 旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生正二測(cè)圖

圖15 錯(cuò)切產(chǎn)生斜二測(cè)圖

(2) 正二測(cè)圖。如果將空間形體繞軸旋轉(zhuǎn)–69.297539° (–69°17'10'')，再繞軸正旋轉(zhuǎn)19.47122° (19°28'16'')，然后向平面投影(取,坐標(biāo))，得到正二測(cè)圖。

(3) 斜二測(cè)圖。先沿向錯(cuò)移–0.3535且離開(kāi)軸([3,0]=–0.3535)，然后沿軸錯(cuò)移–0.3535且離開(kāi)軸([3,1]=–0.3535)，然后向平面投影(取,坐標(biāo))，得到斜二測(cè)圖。

下面是根據(jù)上述方法繪制的原理圖，說(shuō)明 如下：

：原始形體。

1：經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或者錯(cuò)切變換后的一個(gè)三維“中間體” (因顯示原因而作了平移)。

2：1在投影面面上的正投影2表示出的軸測(cè)圖。

這里的面是與其中一個(gè)坐標(biāo)平面重合的(圖13~15)。1在其他2個(gè)坐標(biāo)面上的投影標(biāo)明，其與不是一個(gè)物體，只是借用其得到了軸測(cè)圖罷了。實(shí)際上，1也是不存在的，只是計(jì)算中的一個(gè)過(guò)程而已，借用1在坐標(biāo)平面上的正投影得到原始形體的軸測(cè)圖。

5 總 結(jié)

空間視角的基本要素是能同時(shí)看到物體的3個(gè)可見(jiàn)面，因此用單面投影圖表達(dá)一個(gè)形體的空間感覺(jué)，就要同時(shí)表述一個(gè)立方體的3個(gè)方向，即互相垂直的3個(gè)面，這才能接近于人們的視覺(jué)習(xí)慣，表達(dá)出立體感。三視圖用3個(gè)視圖分別表示形體的3個(gè)方向(面)，軸測(cè)圖用一個(gè)視圖同時(shí)表示三直三面角，其目標(biāo)都是要表達(dá)形體的3個(gè)面。

本文重新審視了軸測(cè)投影的表述問(wèn)題。認(rèn) 為，軸測(cè)投影法是用平行投影的方法，沿投射方向?qū)⒖臻g坐標(biāo)系投射到投影面上得到軸測(cè)坐標(biāo)系，在這個(gè)坐標(biāo)系下表述空間形體，得到的圖紙叫軸測(cè)圖。

討論了形體、投射線和投影平面等軸測(cè)投影的基本要素，和軸測(cè)投影的空間參數(shù)、軸測(cè)參數(shù)之間的關(guān)系，給出了其原理圖和軸測(cè)圖的2種生成方法。

軸測(cè)投影的理論是從坐標(biāo)系及坐標(biāo)軸的投影引入的，軸測(cè)投影體系中形體、投射方向和投影面之間的關(guān)系以及參數(shù)約束似乎也依賴于坐標(biāo)系。但是，從幾何的不變性，形體以及在平面上表述形體的正視圖、軸測(cè)圖等并不依賴于坐標(biāo)系。

[1] 中國(guó)圖學(xué)學(xué)會(huì). 2012-2013圖學(xué)學(xué)科發(fā)展報(bào)告[M]. 北京: 中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社, 2014: 3-30. China Graphics Society. Report on advances in graphics 2012-2013[M]. Beijing: Science and Technology of China Press, 2014: 3-30 (in Chinese).

[2] 何援軍. 畫(huà)法幾何新解[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2018, 39(1): 136-147. HE Y J. Interpretation of descriptive geometry[J]. Journal of Graphics, 2018, 39(1): 136-147 (in Chinese).

[3] 何援軍. 圖學(xué)與幾何[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2016, 37(6): 741-753. HE Y J. Graphics and gemetry[J]. Journal of Graphics, 2016, 37(6): 741-753 (in Chinese).

[4] 何援軍, 王子茹. 談?wù)剤D學(xué)教材[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 36(6): 819-827. HE Y J, WANG Z R. On graphics textbook[J]. Journal of Graphics, 2015, 36(6): 819-827 (in Chinese).

[5] 何援軍. 一種基于幾何的形計(jì)算機(jī)制[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 36(3): 319-330. HE Y J. A shape computing mechanism based on geometry[J]. Journal of Graphics, 2015, 36(3): 319-330 (in Chinese).

[6] 何援軍, 童秉樞, 丁宇明, 等. 圖與圖學(xué)[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 34(4): 1-10. HE Y J, TONG B S, DING Y M, et al. Graph and graphics[J]. Journal of Graphics, 2013, 34(4): 1-10 (in Chinese).

[7] 于海燕, 蔡鴻明, 何援軍. 圖學(xué)計(jì)算基礎(chǔ)[J]. 圖學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 34(6): 1-5. YU H Y, CAI H M, HE Y J. The computational basis of graphics[J]. Journal of Graphics, 2013, 34(6): 1-5 (in Chinese).

[8] M?ST?包太茲, N?P?米列斯庫(kù). 軸測(cè)投影理論與應(yīng)用[M].李世銓譯. 北京:機(jī)械工業(yè)出版社, 1988: 158-166. BOTEZ M S T, MIRESCU N P. Mirescu editura tehnica[M]. LI S Q, Translation. Beijing: China Machine Press, 1988: 158-166 (in Chinese).

[9] 何援軍. 幾何計(jì)算[M]. 北京: 高等教育出版社, 2013: 1-26, 226-240. HE Y J. Gemetric computing[M]. Beijing: Higher Education Press, 2013: 1-26, 226-240 (in Chinese).

[10] 何援軍. 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M]. 3版. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2009: 180-183. HE Y J. Computer graphics[M]. 3rd ed. Beijing: China Machine Press, 2009: 180-183 (in Chinese).

[11] 何援軍. 圖形變換的幾何化表示——論圖形變換和投影的若干問(wèn)題之一[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 17(4): 723-728. HE Y J. Geometric representation of graphics transformation[J]. Journal of Computer-Adied Design & Computer Graphics, 2005, 17(4): 723-728 (in Chinese).

[12] 何援軍. 投影與任意軸測(cè)圖的生成——論圖形變換和投影的若干問(wèn)題之二[J]. 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 17(4): 729-733. HE Y J. Projective transformation and generation of arbitrary axonometric drawing[J]. Journal of Computer-Adied Design & Computer Graphics, 2005, 17(4): 729-733 (in Chinese).

On axonometric projection

HE Yuan-jun

(Department of Computer Science and Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The definition of axonometric projection was re-examined. Axonometric projection is a method by means of parallel projection, projecting the spatial coordinate system to the projection plane along the projection direction to obtain the axonometric coordinate system and express the spatial shape under this coordinate system. The resulting drawing is designated as axonometric drawing. Three views represent three directions of a body respectively, and the axonometric drawing represents three straight and three face angles with one view. The essence is to express the spatial body on the plane. This paper further discussed some fundamental problems in axonometric projection, such as the parallel projection system, axonometric triangle, axonometric projection system, the basic elements and formulas of axonometric projection, analyzed the similarities and differences between normal axonometric projection and oblique axonometric projection, and gave their schematic diagrams.

graphics; parallel projection system; axonometric projection; axonometric drawing

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2020040667

A

2095-302X(2020)04-0667-10

2020-02-16；

2020-05-21

21 May, 2020

16 February, 2020;

何援軍(1945–)，男，浙江諸暨人，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究領(lǐng)域?yàn)镃AD/CG、幾何計(jì)算的理論與算法研究等。E-mail：yjhe@sjtu.edu.cn

HE Yuan-jun(1945–), male, professor.His main research interests cover CAD/CG, theory and algorithm of geometric computing, etc. E-mail: yjhe@sjtu.edu.cn