何援軍

軸測投影的若干問題

何援軍

(上海交通大學(xué)計算機(jī)系，上海 200240)

重新審視了軸測投影定義的表述。軸測投影法是用平行投影的方法，沿投射方向?qū)⒖臻g坐標(biāo)系投射到投影面上得到軸測坐標(biāo)系并進(jìn)而在這個坐標(biāo)系下表述空間形體，用這種方法得到的圖紙叫軸測圖。三視圖用3個視圖分別表示形體的3個方向(面)，軸測圖用一個視圖同時表示三直三面角，其本質(zhì)都是要表達(dá)出形體的3個方向(面)，在平面上表述空間形體。討論了軸測投影中的一些根本問題，包括平行投影體系、軸測三角形、軸測投影體系、軸測投影的基本要素和基本公式，剖析了正軸測投影和斜軸測投影之共性和不同，給出了其原理圖。

圖學(xué)；平行投影體系；軸測投影；軸測圖

這是論述大“圖學(xué)”學(xué)科的第8篇文章[1-7]，本文主要討論軸測投影中若干問題。

投影，是一種光線照射下形體在地面或墻面上有影子現(xiàn)象的模擬和抽象。其基本要素是形體、投射線和投影平面。所謂投影就是通過形體輪廓點(diǎn)的一系列投射線與投影面交點(diǎn)關(guān)系的集合。這是一種通過降維(投影)在平面上表示空間形體的辦法。

通過物體的投射線向選定的面投射且在該面上得到圖形的方法叫投影法，根據(jù)投影法所得到的圖形叫投影。工程圖常用的投影方法有以下 4種：多面正投影法、軸測投影法、透視投影法和標(biāo)高投影法。

空間視角的基本條件是能同時看到物體的 3個面，因此用單面投影圖表達(dá)一個形體的空間感覺，就要同時表述一個立方體的3個面，才接近于人們的視覺習(xí)慣，形象逼真，富有立體感。三視圖用3個視圖分別表示形體的3個面，軸測圖用一個視圖同時表示三直三面角(立方體任一個頂點(diǎn)由3個互相垂直的面相交而成)，其目標(biāo)都是要表達(dá)形體的3個面。這，就是引入軸測投影體系得到軸測圖的緣由。

軸測圖是工程上的一個重要圖紙類型，軸測圖一般不能反映出物體各表面的實(shí)形，因而度量性差，同時作圖比較復(fù)雜。因此，在工程上常把軸測圖作為輔助圖樣以幫助讀圖，說明機(jī)器的結(jié)構(gòu)、安裝、使用等情況，在設(shè)計中，用軸測圖幫助構(gòu)思、想象物體的形狀，以彌補(bǔ)正投影圖的不足。

1 軸測投影體系

最早的軸測投影畫法出現(xiàn)在英國[8]，奠基人是Wiliam Farish (1759–1837年)，1820年，他在英國哲學(xué)學(xué)會會刊上發(fā)表了題為“論等測透視圖(On Isometrical Perspective)”的論文，明確提出了表現(xiàn)力較好的立方體的一個面投影表示法：“從立方體一條對角線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，向一個垂直于該對角線的平面投影”，這構(gòu)成了等軸測投影法。這個設(shè)想的擴(kuò)展構(gòu)成了后來的軸測投影法，其建立在向空間平面作平行投影的基礎(chǔ)上，建立了空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系，構(gòu)成了軸測投影體系。

1.1 軸測投影的基本定理

德國幾何學(xué)家K?波克證明了波克定理：“平面上從一個點(diǎn)引出的任意3條(不共線的)線段，總可以作為空間3條互相垂直的相等線段的平行投影?！辈硕ɡ肀环Q為軸測投影的基本定理，其不僅奠定了軸測投影的理論基礎(chǔ)，也打開了研究軸測投影的道路。波克定理還定性地描述了軸測投影中各參數(shù)之間的互相關(guān)系：投影平面上軸測軸的各種位置(軸間角)和軸測單位的各種長度(軸向伸縮系數(shù))是與空間坐標(biāo)軸的各種位置和投射方向相對應(yīng)的。當(dāng)任意選定了軸向伸縮系數(shù)的比值和軸間角以后，總能求出空間坐標(biāo)軸的位置和相應(yīng)的投射方向。

1.2 平行投影體系

軸測投影建立在一個平行投影體系上。

平行投影體系。設(shè)在空間坐標(biāo)系下表述的 一個平面，一個方向和任意一點(diǎn)。如果通過點(diǎn)引一條與方向平行的直線使其與平面相交，則交點(diǎn)就叫做點(diǎn)沿方向的平行投影。直線叫做投射線，平面叫做投影面。如果投影方向與投影面垂直，這種投影就叫做正投影，否則叫做斜投影。由空間坐標(biāo)系、投影面和投射方向構(gòu)成的一組元素叫做平行投影系，其表達(dá)空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系。

1.3 軸測投影的表述

下面給出軸測投影的完整表述：

軸測投影法是建立在平行投影的基礎(chǔ)上，將一個空間坐標(biāo)系沿投射方向投射到投影面上，由空間坐標(biāo)軸的三投影得到軸測軸，構(gòu)成軸測坐標(biāo)系，在這個平面軸測坐標(biāo)系下表述表示三直三面角的空間形體。

因此，簡單地說，軸測投影就是：用平行投影的方法，將一空間坐標(biāo)系向設(shè)定的投影面投影，構(gòu)成投影面上的軸測坐標(biāo)系。在這個軸測坐標(biāo)系下表示的空間形體的圖形叫做軸測圖。

如圖1~4所示，空間笛卡爾坐標(biāo)系，投影平面，投射線(圖1~2投射線，同向1)，三坐標(biāo)軸，，與的交點(diǎn)分別為，，。

在投影面上，空間坐標(biāo)系原點(diǎn)在上的投影為1，空間三坐標(biāo)軸(,,)在面上的三投影(11,11,11)構(gòu)成軸測坐標(biāo)軸，三者以1為原點(diǎn)，構(gòu)成軸測坐標(biāo)系。

若⊥，構(gòu)成正軸測投影(圖1~2，投射線與1重疊)；否則，構(gòu)成斜軸測投影(圖3~4，1//，*⊥)。

圖1 正軸測投影體系原理圖

圖2 正軸測投影要素關(guān)系

圖3 斜軸測投影體系原理圖

圖4 斜軸測投影要素關(guān)系

1.4 軸測投影三角形

的3個坐標(biāo)軸與的交點(diǎn)，，構(gòu)成一個三角形△，稱為“軸測投影三角形”，△是投影面與空間笛卡爾坐標(biāo)系3個軸相交的交點(diǎn)形成的三角形，其與三直三面角的空間坐標(biāo)系的3個坐標(biāo)面構(gòu)成一個四面角-。

這個△在軸測投影理論與應(yīng)用的研究中有特別的意義。以后關(guān)于軸測投影的研究基本上是基于這個軸測投影三角形展開的。

1.5 軸測投影的基本術(shù)語

除了軸測投影三角形以外，在研究軸測投影中，還將用到下列術(shù)語。

(1) 軸測軸?？臻g三坐標(biāo)軸(,,)在投射方向()下在投影面()上的投影為軸測投影軸，簡稱軸測軸(11,11,11)。

(2) 軸間角。相鄰兩軸測軸間的夾角稱為軸間角(∠1, ∠1和∠1)。

(3) 軸測量度。形體的投影所反映的長、寬、高數(shù)值是沿軸測軸1，1，1來測量的。

(4) 軸向變形系數(shù)。沿軸測軸方向線段的投影長度與其真實(shí)長度之比，稱為軸向變形系數(shù)，即

軸的軸向變形系數(shù)η＝1；

軸的軸向變形系數(shù)η=1；

軸的軸向變形系數(shù)η＝1。

2 軸測投影體系參數(shù)的決定

軸測投影體系表述空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面三者之間的幾何關(guān)系。軸測投影體系也由這三者決定，其基本參數(shù)分為空間參數(shù)和軸測參數(shù)(參閱圖1~4)。

(1) 空間參數(shù)。三直三面空間坐標(biāo)系、投射方向、投影面。其中，和都是在下表達(dá)的。空間參數(shù)包括，，與1，1，1和等7個參數(shù)。投射方向與空間坐標(biāo)系的互相位置由1，1，1確定?？臻g坐標(biāo)系與投影面的互相位置由，，確定。投射方向與投影面的互相位置由確定。

(2) 軸測參數(shù)。軸向變形系數(shù)η，η，η和軸間角∠1，∠2，∠3等共6個參數(shù)可稱為軸測參數(shù)。其是在軸測投影圖上決定物體空間形狀的作圖依據(jù)。知道了軸間角和軸向變形系數(shù)，就可以沿著軸向度量形體的尺寸，也可以沿著軸向量畫出形體上各點(diǎn)、各線段和整個形體的軸測投影。

2.1 用幾何方法決定軸測投影參數(shù)

平行投影系的關(guān)鍵是投影面和投影方向，因此，在改變或確定這兩個因素之后，軸測投影三角形△也就確定了，從幾何的角度可以看到，軸測投影△一旦確定，軸測投影系中其他的相關(guān)參數(shù)也相應(yīng)確定，參閱圖1~4。其中，圖2和圖4只是圖1和圖3從不同方位看的同一圖，圖2是正軸測投影三角形的平面圖。

(1) 首先，空間笛卡爾坐標(biāo)系是確定的。

(2) 一旦投影面確定，空間笛卡爾坐標(biāo)軸，，與面的交點(diǎn)，，就決定了，軸測投影△也就決定了(△1，△1和△1是共點(diǎn)的3個直角三角形)。

(3) 投射方向，空間坐標(biāo)系原點(diǎn)到投影面(△)的投影1就決定(1=∠1，1=∠1，1=∠1為投射線1的方向角)。

(4)1一經(jīng)確定，空間坐標(biāo)系在面上的投影1，1，1也就確定了。由此，軸測軸(軸測坐標(biāo)系確定)：

①投影面上的軸測軸1，1，1是確定的，從而軸間角∠1，∠1和∠1是確定的。

②變形比例(軸向變形系數(shù))1，1，1是確定的。

③軸間角∠1 (∠1)，∠2 (∠1)和∠3 (∠1)確定的。

用幾何方法決定軸測投影參數(shù)既是定性的，但也可以通過空間幾何求交算法定量求得。

2.2 軸測投影參數(shù)的解析關(guān)系

軸測投影體系都是在笛卡爾直角坐標(biāo)系下討論的，這使得軸測投影參數(shù)可以用解析式表示和計算?？臻g7個參數(shù)和軸測6個參數(shù)(參閱圖1~4)不全是獨(dú)立的，其間有一些制約關(guān)系。下面先列出這些軸測參數(shù)間相互關(guān)系的主要解析式。其中，式(1)被稱為軸測投影體系的基本公式。

(1) 各軸測參數(shù)滿足下列約束

(ηηsin∠1)2+(ηηsin∠2)2+(ηηsin∠3)2

=η2+η2+η2–1 (1)

∠1+∠2+∠3=360° (2)

(2) 各空間參數(shù)滿足下列約束

cos×cos1+cos×cos1+cos×cos1=sin(3)

cos2+cos2+cos2=1 (4)

cos21+cos21+cos21=1 (5)

cos×cos1+cos×cos1+cos×cos1=sin(6)

(3) 空間參數(shù)和軸測參數(shù)間的約束

η2+η2+η2=2+co2或η2+η2+η2=1+1/sin2(7)

(ηηsin∠1)2+(ηηsin∠2)2+(ηηsin∠3)2=csc2(8)

下面對上述軸測投影參數(shù)的8個關(guān)系式作出一些說明。

①對式(7)和式(8)的證明。

②基本式(1)的證明?；臼?1)的證明是在式(7)和式(8)的基礎(chǔ)之上完成的，式(7)說明3個軸向伸縮系數(shù)的平方和是的函數(shù)，式(8)說明變形系數(shù)和軸間角也是的函數(shù)。先認(rèn)定式(7)和式(8)成立(證明比較長，列在后面，作為參考)，證明基本式(1)。聯(lián)立式(7)和式(8)，從中消去。就推導(dǎo)出基本式(1)。

基本式(1)反映了軸測投影中各軸測參數(shù)之間的定量關(guān)系。

③軸測投影體系的自由度。根據(jù)式(1)~(8)的約束，空間的7個參數(shù)有5個是獨(dú)立參數(shù)，有 4個自由度，只要任給出其中4個獨(dú)立參數(shù)，就能求出其余空間參數(shù)，從而也就能確定軸測系統(tǒng)的位置。

在基本式(1)中，3個軸間角只有2個是獨(dú)立的，那么基本式本身也只包含有5個獨(dú)立參數(shù)，只要任給出其中4個獨(dú)立的軸測參數(shù)，就可以確定其余的參數(shù)。

這說明了一般形式的軸測投影體系有4個自由度。

④軸測投影體系的特例——正軸測投影。再來看軸測投影中的一個特例當(dāng)投射方向與投影面垂直，即投射角=90°時，就是正軸測投影，此時式(7)可化簡為

η2+η2+η2=2 (9)

將其代入基本式(1)，就得到

(ηηsin∠1)2+(ηηsin∠2)2+(ηηsin∠3)2=1 (10)

這就是正軸測投影基本定理。

3 常用軸測投影體系

軸測投影體系由空間坐標(biāo)系、投射方向和投影面三者決定，空間坐標(biāo)系是確定的，于是，軸測投影體系將根據(jù)投射方向和投影面的不同選擇決定，這樣得到的軸測投影體系可以有無限多個。

在長期的工程實(shí)踐應(yīng)用中只采用了少數(shù)幾個軸測投影，由特殊的軸測參數(shù)軸間角∠1，∠2，∠3和軸向變形系數(shù)η，η，η給出(圖6)[9-12]。

(1) 正等測。軸向變形系數(shù)η=η=η=0.816，軸間角∠1=∠2=∠3=120°。

圖6 常用軸測坐標(biāo)系

(2) 正二測。取η=η=0.94，η=0.47，軸間角∠1=131°25'，∠2=131°25'，∠3=97°10'。

(3) 斜二測。取η=0.5，=η=1.0，軸間角∠1=135°，∠2=90°，∠3=135°。

軸測圖并不是空間的精確描述，其功能是產(chǎn)生較好的空間視覺效果，可根據(jù)需要選用其中一種軸測圖。上述軸向變形系數(shù)和軸間角是畫法幾何的經(jīng)典值，并非有嚴(yán)格的標(biāo)準(zhǔn)，將軸向變形系數(shù)調(diào)整，只是將形體沿軸測方向等比擴(kuò)大或縮小而已，只要視覺上能夠接受。

3.1 正軸測投影要素

參閱圖1~2，，，為三投影軸，為投影平面，投射線1⊥，三投影軸與的交點(diǎn)分別為，，和1，1，1分別為空間坐標(biāo)系在面上的投影?！?，△1和△1是共點(diǎn)的3個直角三角形。1=∠1，1=∠1，1=∠1為投射線1的方向角。

3.2 正軸測投影的基本關(guān)系式

根據(jù)軸測投影體系基本關(guān)系式(1)，由于=90°，所以，正軸測投影的基本關(guān)系式為式(9)和式(10)。

(1) 正軸測軸向變形系數(shù)與軸間角的關(guān)系。根據(jù)軸測投影定義，軸向變形系數(shù)η，η，η與軸間角∠1，∠2，∠3間的關(guān)系是確定的，即

如果先給定軸向變形系數(shù)，可由式(11)~(13)求得軸間角；如先給定軸間角，則可由式(14)~(16)求得軸向變形系數(shù)。

(2) 正二測的軸向變形系數(shù)與軸間角

已知：根據(jù)畫法幾何的約定，一般正二測軸向變形系數(shù)取η=η=2η(圖6(b))

求：軸間角。由式(7)解之得：

由式(11)~(13)，可解得

因為軸測圖的作用主要是圖示，是一種眼觀標(biāo)準(zhǔn)，不嚴(yán)格體現(xiàn)在幾何形體的尺寸量度上，因此對軸向系數(shù)并未有嚴(yán)格的精確要求。實(shí)際繪制時，一般教材均建議對正等測和正二測的軸向系數(shù)靠向簡單的比例因子，例如0.47取0.50，0.94取1.00等等。

3.3 斜軸測投影要素

(1) 斜軸測投影的基本關(guān)系式。斜軸測投影時(圖3~4)，平行投影的方向是不平行于投影面法線方向的，設(shè)其與投影面△成角，斜軸測投影軸為1，1和1，坐標(biāo)原點(diǎn)在投影面△上的正投影是*前已證明，斜軸測投影時有

η2+η2+η2=1+1/sin2=2+cot2

這是斜軸測投影的基本關(guān)系式，即投影方向與變形系數(shù)之間的關(guān)系。斜軸測投影的變形系數(shù)的平方和隨投射線對軸測投影面的夾角而變化。

(2) 空間參數(shù)與軸測參數(shù)間的關(guān)系。在斜軸測投影中，還有以下結(jié)論：笛卡爾坐標(biāo)軸(空間參數(shù))與對應(yīng)的軸測投影軸(軸測參數(shù))的放射比(軸向變形系數(shù))和兩者的夾角余弦的乘積之和等于2，即有

ηcos+ηcos+ηcos=2

但與正軸測投影不同，在斜軸測投影中，下列3式不成立，即

cos=η，cos=η，cos=η

但是有

η(cos–η)+η(cos–η)+η(cos–η)=–ctg2

此式給出了笛卡爾坐標(biāo)軸在任意軸測投影面上作軸測投影時，坐標(biāo)軸與軸測軸兩者仿射比(變形系數(shù))之間的關(guān)系，以及斜投射方向與投影面法向的夾角之間的關(guān)系。

4 投影面和軸測軸的求取

決定一個軸測投影的要素是投影面，以及投影方向。

(1) 投影面。軸測圖在投影面上得到，與投射方向的選擇相關(guān)。

方式1. 可以是形體不動，改變投影面。這常是一種斜投影方式。

方式2.固定投影面，對形體作空間變換。這常是一種正投影方式。

方式1多用于理論研究，方式2多用于實(shí)際應(yīng)用，工程制圖中常用坐標(biāo)平面作為投影面。

(2) 投射方向。在投影面決定以后，投射方向決定正投影(投射方向與投影面垂直)還是斜投影(投射方向傾斜于投影面)。

(3) 坐標(biāo)軸?？臻g是笛卡爾坐標(biāo)系，投影面上是軸測坐標(biāo)系，后者是前者在投影面上的投影。

4.1 固定形體尋找投影面產(chǎn)生軸測圖

先討論固定形體，形體在這樣的局部坐標(biāo)系下表示：其至少有一個主面平行于坐標(biāo)平面。在空間坐標(biāo)系下決定一個投影面，給出的一個表達(dá)形式：面上的一個點(diǎn)，和在空間坐標(biāo)系下的單位法向量，使得形體在面上的投影是形體的軸測圖。

(1) 正等測圖投影面的決定。軸測投影初始是得到正等測投影，投影面的法向與空間坐標(biāo)系 3個坐標(biāo)軸有相同的夾角，所以在空間坐標(biāo)系的單位法向是：(0.577350, 0.577350, 0.577350)。

面上一點(diǎn)的選擇可有無窮多種，可以在空間坐標(biāo)系的，，3個軸上，離原點(diǎn)距離相等的3個點(diǎn)0，1，2構(gòu)筑一個等邊三角形，通過該3點(diǎn)構(gòu)筑的平面作為形體的投影面，其法向滿足正等測投影面的法向條件(圖7~9中的灰色面)。例如：可取以下3個點(diǎn)：0(0.0, 0.0, 1.0)，1(1.0, 0.0, 0.0)，2(0.0, 1.0, 0.0)。根據(jù)顯示要求， 3個點(diǎn)0，1，2可以按同比例改變，保證單位法向不變。

面投影中心為，有以下的結(jié)論(參閱圖1~2)：

?⊥，∠0=∠1=∠2=90°；

?0，1，2在面上的投影分別為0，1和2；

?0，1和2構(gòu)成軸測坐標(biāo)系。其3個軸間角相等，即

?∠=∠=∠=∠01=∠02= ∠12=120°。

?0：0=1：1=2：2=0.816。

形體在面上的投影。是在面上的正投影，表示的正等測圖。相對于空間坐標(biāo)系，投射方向是斜的(的單位法向是，圖7)。

1+3組投射線各組各自互相平行，其中3組分別垂直于總坐標(biāo)平面，1組垂直于面(平行于面的法向)，與3個坐標(biāo)平面有相同的夾角。

形體的正軸測投影的線性尺寸與形體的線性尺寸比為0.816(=︰)，這個比例就是軸向變形系數(shù)。

圖7~9是分別在正二測和正等測(注意兩者重合)下顯示的投影原理圖。

圖7 正等測原理圖

圖8 正等測原理圖之二

圖9 正等測原理圖之三

(2) 正二測圖投影面的決定。正二測投影面(圖10~12中的灰色面)，可在空間坐標(biāo)系的，，3個軸上的3個點(diǎn)0，1，2構(gòu)筑一個三角形，通過該3點(diǎn)構(gòu)筑的平面作為形體的投影面。與正等測不同的是，3個點(diǎn)0，1，2離原點(diǎn)距離是不等的，三角形也不是等邊三角形。

圖10 正二測原理圖

圖11 正二測原理圖之二

圖12 正二測原理圖之三

正二測投影面在空間坐標(biāo)系的，，下的單位法向是：(0.881931, 0.333333, 0.333297)。

下面是一組構(gòu)成投影面3點(diǎn)的例子，為方便，這3點(diǎn)可取在原坐標(biāo)軸的軸上。其中，第一個可先決定，任選，后面兩點(diǎn)根據(jù)選定的首點(diǎn)及正二測投影面的單位法向經(jīng)計算得到：

1(0.0, 0.0, 1.0)，2(0.377918, 0.0, 0.0)，3(0.0, 0.999892, 0.0)

根據(jù)顯示要求，1點(diǎn)可以離原點(diǎn)遠(yuǎn)一點(diǎn)，例如，取1(0.0, 0.0, 2.0)，1(0.0, 0.0, 3.0)等，2和3由正二測投影面的單位法向重新計算得到。

(3) 斜二測圖投影面的決定。一般的敘述。斜二測圖中，形體有一個主平面與投影面平行，投射線的方向是垂直于這個投影面的。所以，可以選擇與面垂直的面作為斜二測圖的投影面，投影面的法向與面平行。構(gòu)筑一個以面法向作為新的軸，面作為新的平面的新坐標(biāo)系，在這個新坐標(biāo)系向經(jīng)錯切變換后向平面投影，這個投影就是形體的斜二測投影圖。

但是，因為需要“形體有一個主平面與投影面平行”這樣一個條件，而這個條件在選擇形體坐標(biāo)系時更為需要，所以，在斜二測圖產(chǎn)生中，不建議選擇除了坐標(biāo)平面外的投影面。例如，選擇的投影面是平面，那么，投射線的法向是：

(0.0, 0.0, 1.0)。

4.2 固定投影面而變換形體產(chǎn)生軸測圖

這是產(chǎn)生軸測變換的另一種方式：通過對空間形體的旋轉(zhuǎn)或者錯切變換，將軸測投影轉(zhuǎn)化為正投影。方法如下(圖13~15)。

(1) 正等測圖。如果以平面作為投影面，在這個面上產(chǎn)生正等測圖。那么可先將空間形體繞軸旋轉(zhuǎn)–45°，再繞軸正旋轉(zhuǎn)35.26442° (35°15.865')然后向-平面投影(取,坐標(biāo))，得到正等測圖。

圖13 旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生正等測圖

圖14 旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生正二測圖

圖15 錯切產(chǎn)生斜二測圖

(2) 正二測圖。如果將空間形體繞軸旋轉(zhuǎn)–69.297539° (–69°17'10'')，再繞軸正旋轉(zhuǎn)19.47122° (19°28'16'')，然后向平面投影(取,坐標(biāo))，得到正二測圖。

(3) 斜二測圖。先沿向錯移–0.3535且離開軸([3,0]=–0.3535)，然后沿軸錯移–0.3535且離開軸([3,1]=–0.3535)，然后向平面投影(取,坐標(biāo))，得到斜二測圖。

下面是根據(jù)上述方法繪制的原理圖，說明 如下：

：原始形體。

1：經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或者錯切變換后的一個三維“中間體” (因顯示原因而作了平移)。

2：1在投影面面上的正投影2表示出的軸測圖。

這里的面是與其中一個坐標(biāo)平面重合的(圖13~15)。1在其他2個坐標(biāo)面上的投影標(biāo)明，其與不是一個物體，只是借用其得到了軸測圖罷了。實(shí)際上，1也是不存在的，只是計算中的一個過程而已，借用1在坐標(biāo)平面上的正投影得到原始形體的軸測圖。

5 總 結(jié)

空間視角的基本要素是能同時看到物體的3個可見面，因此用單面投影圖表達(dá)一個形體的空間感覺，就要同時表述一個立方體的3個方向，即互相垂直的3個面，這才能接近于人們的視覺習(xí)慣，表達(dá)出立體感。三視圖用3個視圖分別表示形體的3個方向(面)，軸測圖用一個視圖同時表示三直三面角，其目標(biāo)都是要表達(dá)形體的3個面。

本文重新審視了軸測投影的表述問題。認(rèn) 為，軸測投影法是用平行投影的方法，沿投射方向?qū)⒖臻g坐標(biāo)系投射到投影面上得到軸測坐標(biāo)系，在這個坐標(biāo)系下表述空間形體，得到的圖紙叫軸測圖。

討論了形體、投射線和投影平面等軸測投影的基本要素，和軸測投影的空間參數(shù)、軸測參數(shù)之間的關(guān)系，給出了其原理圖和軸測圖的2種生成方法。

軸測投影的理論是從坐標(biāo)系及坐標(biāo)軸的投影引入的，軸測投影體系中形體、投射方向和投影面之間的關(guān)系以及參數(shù)約束似乎也依賴于坐標(biāo)系。但是，從幾何的不變性，形體以及在平面上表述形體的正視圖、軸測圖等并不依賴于坐標(biāo)系。

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On axonometric projection

HE Yuan-jun

(Department of Computer Science and Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The definition of axonometric projection was re-examined. Axonometric projection is a method by means of parallel projection, projecting the spatial coordinate system to the projection plane along the projection direction to obtain the axonometric coordinate system and express the spatial shape under this coordinate system. The resulting drawing is designated as axonometric drawing. Three views represent three directions of a body respectively, and the axonometric drawing represents three straight and three face angles with one view. The essence is to express the spatial body on the plane. This paper further discussed some fundamental problems in axonometric projection, such as the parallel projection system, axonometric triangle, axonometric projection system, the basic elements and formulas of axonometric projection, analyzed the similarities and differences between normal axonometric projection and oblique axonometric projection, and gave their schematic diagrams.

graphics; parallel projection system; axonometric projection; axonometric drawing

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2020040667

A

2095-302X(2020)04-0667-10

2020-02-16；

2020-05-21

21 May, 2020

16 February, 2020;

何援軍(1945–)，男，浙江諸暨人，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究領(lǐng)域為CAD/CG、幾何計算的理論與算法研究等。E-mail：yjhe@sjtu.edu.cn

HE Yuan-jun(1945–), male, professor.His main research interests cover CAD/CG, theory and algorithm of geometric computing, etc. E-mail: yjhe@sjtu.edu.cn