王志武

“不相鄰問(wèn)題”高中數(shù)學(xué)（排列組合部分）非常典型的一類題，其專用方法是“插空法”，這種方法解決此類問(wèn)題的確獨(dú)特.比如：

例1：甲乙丙丁4人并排站成一行，其中甲乙兩人不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是

解析：插空法，分兩步進(jìn)行：

第一步：先排丙丁，有 種方法;出現(xiàn)3個(gè)空，如圖

第二步：從3 個(gè)空中，選取兩個(gè)，插入甲乙，有 種插法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的排法共 種.

筆者在教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)許多此類“不相鄰”問(wèn)題的延申問(wèn)題，暫且稱為“雙重不相鄰問(wèn)題”，其解決方法的本質(zhì)仍是“插空法”.

例2：某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72? ? ? ? B.120? ? ? ? ?C.144? ? ? ? ? D.168

解析：插空法

A. 第一步：先排3個(gè)歌舞類節(jié)目，有 種方法;出現(xiàn)4個(gè)空，如圖

B. 第二步;其余節(jié)目，采用插空策略.因?yàn)橹虚g兩個(gè)空必須插入兩個(gè)節(jié)目，再分類

① 如果中間兩空插入1個(gè)小品，1個(gè)相聲;再?gòu)氖Ｓ嗟?個(gè)空中選1個(gè)，插入另外1個(gè)小品.有? 種方法.

② 如果中間兩空插入2個(gè)小品，與3個(gè)歌舞類節(jié)目排好后，會(huì)出現(xiàn)6個(gè)空，再?gòu)?個(gè)空中選1個(gè)，插入1個(gè)相聲.共 種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共 種方法.

解題思路大體和例1，差不多.再看一個(gè)例題

例3：畢業(yè)晚會(huì)有3個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目，要求2個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，3個(gè)音樂(lè)節(jié)目恰有2個(gè)節(jié)目連排，則不同的演出順序有幾種？

解析：第一步：先從3個(gè)音樂(lè)節(jié)目中任取2個(gè)，采用“捆綁法”作為1個(gè)大節(jié)目，共有 種方法.這樣，可以看成共有5個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)音樂(lè)節(jié)目不相鄰，2個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，這樣就可以轉(zhuǎn)化為類似于例2的情境.

第二步：可以根據(jù)曲藝節(jié)目所在位置，分類討論：

①曲藝? ?音1? ? ? 舞1? ? ? 音2? ? ? ?舞2

曲藝節(jié)目在第1或第5位置時(shí)，其余4個(gè)位置，音樂(lè)和舞蹈節(jié)目只能是間隔排列（如圖），這種情況下，共有 種方法.

② ? ?音1? ? ? 曲藝? ? ?舞1? ? ? ?音2? ? ? ? ? 舞2

曲藝節(jié)目在第2或第4位置時(shí)，其余4個(gè)位置，音樂(lè)和舞蹈節(jié)目也只能是間隔排列（如圖），同第一種情況，也是16種方法.

③ ? 音1? ? 舞1? ? ? 曲藝? ? ? 音2? ? ? ?舞2

音1? ? 舞1? ? ? 曲藝? ? ? 舞2? ? ? ?音2

曲藝節(jié)目在第3位置時(shí)，其余4個(gè)位置，音樂(lè)和舞蹈節(jié)目也只能是間隔排列，有兩種情況，如上圖，共 種方法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有 種方法.

通過(guò)以上幾個(gè)例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，任何一道看似比較難的題，我們?nèi)钥梢詺w結(jié)到最基本的原理去解決.由此看出，打好基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)習(xí)是多么的重要！