曹穎逾 郭建友

(安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院, 合肥 230601)

1 引 言

眾所周知, 原子核電荷半徑是描述原子核性質(zhì)最基本的物理量之一. 核力的性質(zhì)、核物質(zhì)密度以及殼結(jié)構(gòu)等方面的信息可以通過(guò)研究核電荷半徑得到. 核電荷半徑測(cè)量的精確程度是驗(yàn)證原子核微觀模型和理論的重要依據(jù).

隨著科技的發(fā)展, 實(shí)驗(yàn)儀器越來(lái)越精密, 技術(shù)和測(cè)量方法也越來(lái)越完善, 對(duì)物理量的測(cè)量也更加精確. 核電荷半徑可通過(guò)高能電子在原子核上的散射[1]、原子光譜超精細(xì)結(jié)構(gòu)的同位素移動(dòng)[2]、 μ? 原子激發(fā)X 射線譜[3,4]、原子光譜[5,6]來(lái)獲得. 在文獻(xiàn)[7]中收集了909 個(gè)基態(tài)均方根核電荷半徑, 這些數(shù)據(jù)中包含了遠(yuǎn)離b 穩(wěn)定線的核素的核半徑. 這表明核電荷半徑的測(cè)量已經(jīng)擴(kuò)展到遠(yuǎn)離b 穩(wěn)定線的區(qū)域.

在核電荷半徑的理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量等方面,人們做出了大量工作. 早期, 人們通常使用簡(jiǎn)單的單參數(shù)公式 Rc=r0A1/3. 在文獻(xiàn)[8,9]中, Nerlo 和Pomorski 提出包含同位旋的兩參數(shù)公式與三參數(shù)公式, 指出同位旋與核電荷半徑的關(guān)系. 文獻(xiàn)[10]提出含Casten 因子項(xiàng)和d 項(xiàng)的四參數(shù)公式和五參數(shù)公式, 這兩個(gè)公式給出了核電荷半徑與殼效應(yīng)和奇偶擺動(dòng)的關(guān)系. 由于以 A1/3律的單參數(shù)公式缺乏物理量的解釋, 曾謹(jǐn)言[11,12]提出了以 Z1/3律的單參數(shù)公式. 張雙全等[13]提出含有同位旋的 Z1/3律公式, 該公式很好地描述了遠(yuǎn)離b 穩(wěn)定線的核電荷半徑. 另外殼層效應(yīng)對(duì)核電荷半徑的影響[14]、鏡像核電荷半徑的差異現(xiàn)象[15]和重核及其同位素半徑的研究[16]等仍然是熱點(diǎn)課題.

本文首先對(duì)上述公式進(jìn)行擬合, 比較公式之間的優(yōu)劣. 再考慮到原子核電四極矩與形變的關(guān)系,在三參數(shù)公式基礎(chǔ)上提出加入電四極矩項(xiàng)的核電荷半徑新公式. 最后對(duì)新公式進(jìn)行改進(jìn), 分析新公式的優(yōu)點(diǎn)和不足.

2 原子核電荷半徑常用公式

核電荷半徑通常由下面的等效半徑表示:

其中r0是核電荷半徑常數(shù),A為質(zhì)量數(shù), 擬合后得核電荷半徑常數(shù)r0= 1.2269 fm, 擬合圖像如圖1所示, 在輕核和重核區(qū)偏離較大, 中間區(qū)域符合較好. 由(2)式得到的核電荷半徑理論值和實(shí)驗(yàn)值的均方根偏差為

通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和圖1 的分析表明r0不是一個(gè)常數(shù),對(duì)于輕核,r0較大, 到了重核r0逐漸減小. 這種系統(tǒng)性的偏離表示A1/3律有某些物理內(nèi)容的缺失. 為了解決A1/3律在輕核與重核的偏離, 曾謹(jǐn)言[11,12]依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出電荷半徑的Z1/3律:

用最新數(shù)據(jù)擬合得到r0= 1.6394 fm, 均方根偏差s= 0.0939 fm, 擬合圖像如圖1 中右圖所示. 對(duì)比A1/3律(2)式,σ減小了0.0285 fm, 這說(shuō)明了Z1/3律比A1/3律描述得更好. 在文獻(xiàn)[8,9]中提到兩參數(shù)公式:

圖1 Rc =r0A1/3 與 Rc =r0Z1/3的擬合曲線(左圖是 Rc =r0A1/3的擬合曲線, 右圖是 Rc =r0Z1/3 的擬合曲線)Fig. 1. The fitting curve of the Eqs. (2) and (4).(The left picture is the fitting curve of the Eq. (2) and the right picture is the fitting curve of the Eq. (4)).

式中有一個(gè)同位旋項(xiàng) (N ?Z)/A, 加入此項(xiàng)的目的是將遠(yuǎn)離 β 穩(wěn)定線的核素的核電荷半徑變化趨勢(shì)更好地描述, 擬合(5)式得到擬合參數(shù)r0=1.2827 fm,a= 0.2700, 均方根偏差s= 0.0855 fm.為了更好地描述Z?8 的偶偶核元素, (5)式加入1/A項(xiàng), 得到三參數(shù)公式[9]:

擬合(6)式得到參數(shù)r0= 1.2331 fm,a= 0.1461,

b= 2.3301, 均方根偏差s= 0.0510 fm. (6)式是目前描述電荷半徑變化較好的公式之一, 也是應(yīng)用較為廣泛的公式. 對(duì)比于(5)式和(6)式, 文獻(xiàn)[13]提出如下公式:

其中N?表示 β穩(wěn)定線上核素的中子數(shù),N/Z是與同位旋相關(guān)的物理量, 擬合(7)式得到r0=1.6312 fm,a= 0.0627, 均 方 根 半 徑s=0.0618 fm.

為了更好地描述原子核電荷半徑的變化規(guī)律,文獻(xiàn)[10]提出以下兩個(gè)公式:(8)式和(9)式中考慮到殼效應(yīng)對(duì)核電荷半徑的影響, 引入P項(xiàng),P代表 Casten 因子[17,18], 實(shí)質(zhì)意義是質(zhì)子與中子的相互作用, 質(zhì)子與中子的相互作用是導(dǎo)致原子核集團(tuán)運(yùn)動(dòng)和形變的重要因素之一[19].P具體的表達(dá)式是NpNn/(Np+Nn) , Casten 因子廣泛地應(yīng)用于相位轉(zhuǎn)移、形變、激發(fā)態(tài)性質(zhì)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等方面[20?23].δ項(xiàng)是描述奇偶擺動(dòng)現(xiàn)象, 在同位素鏈中偶偶核的電荷半徑比相鄰的兩個(gè)奇偶核的電荷半徑的平均值大, 奇奇核的電荷半徑比相鄰的兩個(gè)奇偶核的電荷半徑的平均值小[10]. 可粗略表示為: 偶偶核的d= 1, 奇奇核的d= –1, 其他情況的d= 0. 對(duì)(8)式擬合, 得到擬合參數(shù)r0=1.2262 fm,a= 0.1473,b= 1.9876,c= 0.3993,均方根偏差s= 0.0273 fm. 對(duì)(9)式 擬合, 得到擬合參數(shù)r0= 1.2262 fm,a= 0.1472,b= 1.9952,c= 0.4030,d= 0.1093, 均方根偏差s= 0.0266 fm.(8)式和(9)式的均方根偏差都很小, 可以較好地描述核半徑的變化.

3 形變與核電荷半徑的關(guān)系

核的形變與核半徑密切相關(guān), 其中原子核的電四極矩是反映原子核電荷分布偏離球?qū)ΨQ程度的物理量[24]. 電四極矩也是理解原子核內(nèi)物質(zhì)分布[25,26]、檢驗(yàn)核模型[27]、核子與核子的相互作用的基本觀測(cè)量之一[28,29]. 原子核電四極矩的研究引起了許多核物理的熱點(diǎn)課題. 包括其中的奇異核粒子的研究[30]、原子核形狀共存的研究[31]、以及殼演化的研究. 經(jīng)過(guò)多年的研究, 人們對(duì)電四極矩有了大致的了解, 也開(kāi)發(fā)了一系列的計(jì)算方法. 但是由于核結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜, 所以電四極矩的理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量都存在困難, 目前的實(shí)驗(yàn)測(cè)量和理論計(jì)算仍不盡完善. 電四極矩值隨著核子數(shù)有著周期性變化, 計(jì)算出的理論值與實(shí)驗(yàn)值相比有較大的偏差[32].

電四極矩可由電勢(shì)的多極展開(kāi)得到, 原子核的內(nèi)稟電四極矩有積分表示方法與張量表示方法, 具體計(jì)算過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)[33], 得到的內(nèi)稟電四極矩表示為

其中e是質(zhì)子的電荷元, 代入積分上下限, 得,Z為原子核的核電荷數(shù).

假設(shè)與橢球體等體積球體的半徑為R, 定義形變參量, 由等體積性得到半軸長(zhǎng)則形變參量與內(nèi)稟電四極矩的關(guān)系為

由(11) 式可計(jì)算出形變參量ε, 計(jì)算結(jié)果表明, 大多數(shù)原子核的形變參量都很小, 說(shuō)明大多數(shù)核是偏離不大的非球形核. 在文獻(xiàn)[33]中提出電四極矩與內(nèi)稟電四極矩的關(guān)系為

當(dāng)總自旋I= 0 或I=1/2 時(shí), 電四極矩Q一定為0. 有了理論的支持, 再?gòu)奈墨I(xiàn)[34]中取出378 個(gè)基態(tài)電四極矩, 去除中子數(shù)N?8和質(zhì)子數(shù)Z?8的核素, 剩余368 個(gè)基態(tài)電四極矩. 這些電四極矩有正值與負(fù)值, 其中電四極矩的大小代表原子核偏離球形的程度, 正負(fù)號(hào)代表偏離的方向. 把電四極矩取絕對(duì)值, 表示成Q?, 并在三參數(shù)公式(6) 式的基礎(chǔ)上, 加上一個(gè)Q?/A的項(xiàng), 得到

擬合(13)式得到參數(shù)r0= 1.2221 fm,a= 0.1350,b= 2.4698,c= 0.8976, 均方根偏差s= 0.0397 fm.擬合圖像如圖2 所示, 相比圖1, 圖2 在輕核區(qū)和重核區(qū)符合更好.

與應(yīng)用廣泛的(6)式擬合的結(jié)果相比, 均方根偏差下降了, 說(shuō)明用(13)式能夠較好地描述核電荷半徑的變化趨勢(shì).

圖2 的擬合曲線圖Fig. 2. The fitting curve of the Eq. (13).

由(12)式可知,Q還與總自旋I有關(guān), 繼續(xù)從文獻(xiàn)[34]中取出對(duì)應(yīng)的368 個(gè)核素的總自旋I, 反求內(nèi)稟電四極矩Q0, 并取絕對(duì)值, 表示成, 替換(13)式中的Q?, 得到

擬合(14)式, 得到參數(shù)r0= 1.2220 fm,a= 0.1410,b= 2.4200,c= 0.3643, 均方根偏差s= 0.0372 fm.擬合圖像如圖3 所示, 圖3 在重核的一些區(qū)域表現(xiàn)得更平滑.

再取(9)式中能反映奇偶擺動(dòng)現(xiàn)象的δ項(xiàng), 將其加入(14)式中得到(15)式:

圖3 的擬合曲線圖Fig. 3. The fitting curve of the Eq. (14).

擬合(15)式,得到參數(shù)r0= 1.2223 fm,a=0.1421,b= 2.4577,c= 0.3660,d= 0.1705, 均方根偏差s= 0.0369 fm. 擬合圖像如圖4 所示.

為了看出(13)式—(15)式在具體的同位素鏈中擬合的好壞程度, 選取兩個(gè)滿殼附近的核Ba 和Fr, 與兩個(gè)遠(yuǎn)離滿殼附近的核Ho 和Lu. 把(13)式—(15)式計(jì)算的理論的核電荷半徑值與實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比, 結(jié)果如圖5 所示. 可以看出, 在實(shí)驗(yàn)曲線上的一些跳躍和轉(zhuǎn)折, (13)式并不能很好地體現(xiàn). 這些跳躍和轉(zhuǎn)折現(xiàn)象與奇偶擺動(dòng)、殼效應(yīng)、

圖4 的擬合曲線圖Fig. 4. The fitting curve of the Eq. (15).

圖5 Ba 和Fr, Ho 和Lu 四個(gè)同位素鏈核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值與(13)式—(15)式計(jì)算的核電荷半徑理論值的對(duì)比Fig. 5. The experimental values of the nuclear charge radii of Ba and Fr, Ho and Lu isotopic chains are compared with the theoretical values calculated by Eqs. (13)–(15).

形變相關(guān). 把電四極矩項(xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)稟電四極矩項(xiàng)之后, 均方根偏差下降, 說(shuō)明含有內(nèi)稟電四極矩的(14)式與實(shí)驗(yàn)曲線符合得更好, 且(14)式在跳躍與轉(zhuǎn)折的地方有了些許改善. 在加入了奇偶擺動(dòng)項(xiàng)之后, 在跳躍與轉(zhuǎn)折的地方符合得更好, 但是在一些沒(méi)有出現(xiàn)跳躍與轉(zhuǎn)折的地方, (15)式卻表現(xiàn)出來(lái)跳躍與轉(zhuǎn)折, 這表明僅僅加入這些項(xiàng)還是不足以描述核電荷半徑復(fù)雜的變化.

為了從整體上看出理論值與實(shí)驗(yàn)值的差距, 計(jì)算了核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值與(13)式—(15)式計(jì)算的理論值的差值 ?R,做出 ?R隨質(zhì)子數(shù)Z變化,結(jié)果如圖6 所示. 可以看出, 整體趨勢(shì)上(15)式得出的結(jié)果比(13)式和(14)式更加集中, 也印證了(15)式得出的均方根偏差最小. (13)式計(jì)算的 ?R相對(duì)比較分散, 但在Z= 10 的輕核區(qū), (13)式有少數(shù)核的 ?R比(14)式和(15)式的 ?R小. 在圖6中還可以看到, 傳統(tǒng)幻數(shù)Z= 28, 50, 82 所對(duì)應(yīng)的?R接近于零, 也印證了電四極矩與殼效應(yīng)相關(guān).對(duì)于輕核區(qū), (13)式—(15)式的擬合結(jié)果不是很好, 計(jì)算的理論值和實(shí)驗(yàn)值差值較大, 這說(shuō)明僅僅通過(guò)幾個(gè)參數(shù)來(lái)精準(zhǔn)地描述核電荷半徑的變化趨勢(shì)是很困難的. 以后還需要挖掘出蘊(yùn)含在更深層的物理內(nèi)容來(lái)對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)充. 最后, 將本文所提及的公式列在表1 中, 可以直觀地看到各公式擬合的參數(shù)和精確程度.

圖6 計(jì)算368 個(gè)核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值分別與(13)式—(15)式計(jì)算的理論值的差值. (從上到下依次為核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值與(13)式的差值圖, 核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值與(14)式的差值圖, 核電荷半徑的實(shí)驗(yàn)值與(15)式的差值圖)Fig. 6. The difference between the experimental value of 368 nuclear charge radii and the theoretical value calculated by Eqs.(13)–(15) , respectively.

表1 各種核電荷半徑公式Table 1. The mentioned equations for nuclear charge radius Rc .

4 結(jié)論與展望

本文對(duì)已有的核電荷半徑實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和已經(jīng)提出的核電荷半徑公式進(jìn)行驗(yàn)證. 并在三參數(shù)的基礎(chǔ)上加入了電四極矩項(xiàng), 發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果的均方根偏差下降. 在已有的電四極矩?cái)?shù)據(jù)的基礎(chǔ)上, 又求出內(nèi)稟電四極矩. 替換擬合公式中原本的電四極矩項(xiàng),發(fā)現(xiàn)在質(zhì)子數(shù)Z= 28, 50, 82 附近元素的實(shí)驗(yàn)值與公式計(jì)算的理論值相差非常小, 說(shuō)明了內(nèi)稟電四極矩項(xiàng)的加入, 很好地反映了殼效應(yīng)的變化趨勢(shì),繼續(xù)加入奇偶擺動(dòng)項(xiàng)之后, 進(jìn)行擬合并計(jì)算均方根偏差, 發(fā)現(xiàn)均方根又減小了. 相比于已經(jīng)提出的公式, 新提出的公式更好地反映了原子核形變、殼效應(yīng)和奇偶擺動(dòng)等變化趨勢(shì), 在計(jì)算精度上也有所提高, 這將為今后的實(shí)驗(yàn)提供有益的參考.