殷素雅，唐泉，張新東

(新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017)

圖像去噪是圖像處理領(lǐng)域的主要研究課題之一，現(xiàn)在廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)影像、天文學(xué)、遙感成像等領(lǐng)域。為了獲得高質(zhì)量的圖像，并便于進(jìn)一步地圖像分割、識(shí)別和分析，研究者們提出了一套基于偏微分方程的圖像去噪方法。其中，基于偏微分方程的圖像去噪方法有兩大類：第一類是基于變分法的思想，首先確定圖像的能量泛函，其次利用梯度下降法最小化能量泛函，使含噪圖像達(dá)到平滑狀態(tài)，其中全變分(total variation，TV)模型體現(xiàn)了經(jīng)典變分法的思想；另一類是基于擴(kuò)散偏微分方程的方法，該方法是以物理中的熱傳導(dǎo)方程為基礎(chǔ)，并把圖像平滑和去噪的過程當(dāng)成一個(gè)擴(kuò)散的過程。然而，熱傳導(dǎo)方程的特點(diǎn)是在各個(gè)方向上擴(kuò)散強(qiáng)度均勻，在圖像去噪過程中，會(huì)模糊圖像的邊緣和其他細(xì)節(jié)特征[1]。為了在圖像去噪的同時(shí)保護(hù)圖像邊緣特征的信息，1990年P(guān)erona等[2]提出了一種基于圖像梯度特征的各向異性擴(kuò)散偏微分方程(P-M模型)，P-M模型和數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法的發(fā)展使非線性擴(kuò)散方程在圖像去噪中得到推廣，并成為研究熱點(diǎn)[3]。1992年，Catté等[4]提出了正則化的P-M模型(CLMC模型)，消除了P-M模型的病態(tài)性質(zhì)。

本文根據(jù)P-M模型的各向異性擴(kuò)散特性，通過分析發(fā)現(xiàn)了其在圖像邊緣附近的逆擴(kuò)散系數(shù)接近于0。為了提高圖像的視覺效果，需要在圖像邊緣附近使用適當(dāng)?shù)臄U(kuò)散函數(shù)對(duì)圖像邊緣特征進(jìn)行銳化。為實(shí)現(xiàn)在有效去除噪聲的同時(shí)又能保留大量細(xì)節(jié)信息[5]，在P-M模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合了具有邊緣銳化作用的Shock濾波器，通過調(diào)整擴(kuò)散程度和沖擊增強(qiáng)程度，在圖像邊緣銳化的同時(shí)減少對(duì)圖像噪聲的增強(qiáng)作用，并提出了新的擴(kuò)散系數(shù)。新模型在抑制階梯和斑點(diǎn)偽影的同時(shí)保護(hù)了邊緣[6]。

1 P-M模型

由于熱擴(kuò)散方程是各向同性擴(kuò)散，無法較好地保持圖像的邊緣和細(xì)節(jié)信息[7]，為了克服這一缺點(diǎn)，Perona和Malik提出了非線性的各向異性擴(kuò)散方程，即P-M方程。該方程利用圖像的梯度作為邊緣檢測(cè)算子，在去噪的同時(shí)可以保護(hù)圖像邊界信息[8]。數(shù)學(xué)模型定義如下：

(1)

同時(shí)Perona和Malik提出了各向異性擴(kuò)散系數(shù)g(|u|)的兩種表達(dá)形式：

g1(|u|)=exp [-(|u|/K)2]，

(2)

(3)

其中，K是梯度閾值。

2 一種耦合沖擊濾波器的各向異性擴(kuò)散模型

2.1 沖擊濾波器

Osher等[10]提出了一種基于雙曲方程的沖擊濾波器用于圖像增強(qiáng)，表達(dá)式為：

(4)

其中，η代表圖像梯度的方向，符號(hào)函數(shù)sign(·)定義為：

(5)

式(4)是一個(gè)各向異性濾波器，不沿著等照度線(邊緣)的切線方向進(jìn)行任何處理，而是沿著梯度方向進(jìn)行沖擊以增強(qiáng)圖像邊緣。如果圖像中存在噪聲，沖擊濾波器不能準(zhǔn)確地分辨出噪聲拐點(diǎn)和邊緣拐點(diǎn)，導(dǎo)致在增強(qiáng)邊緣的同時(shí)，噪聲也會(huì)增強(qiáng)[11]。為了解決上述問題，Alvarez等[12]提出結(jié)合沖擊濾波器和各向異性擴(kuò)散(Shock Filter and Anisotropic Diffusion)的偏微分方程，該方程利用高斯函數(shù)平滑圖像的二階法向?qū)?shù)，同時(shí)結(jié)合方向平滑算子uξξ增加了對(duì)噪聲的魯棒性。模型表達(dá)式如下：

(6)

2.2 模型分析

本文在分析P-M模型和沖擊濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了一種耦合沖擊濾波器的各向異性擴(kuò)散模型，模型表達(dá)式如下：

(7)

其中，α,β是非負(fù)常數(shù)，分別用于控制擴(kuò)散程度和沖擊增強(qiáng)程度；γ是常系數(shù)；η是梯度方向；ξ是切線方向。

新模型采用高斯卷積平滑含噪圖像，計(jì)算法線方向的二階導(dǎo)數(shù)，提升區(qū)分噪聲拐點(diǎn)和邊緣拐點(diǎn)的能力，提高模型的噪聲魯棒性。通過選取合適的參數(shù)α和β，新模型在抑制噪聲，增強(qiáng)邊緣細(xì)節(jié)和防止過沖之間有較好的平衡，在圖像去噪的同時(shí)可以較好地保護(hù)圖像的邊緣。

本文結(jié)合P-M模型去噪和沖擊濾波器增強(qiáng)圖像邊緣的特點(diǎn)，在對(duì)圖像去噪的同時(shí)增強(qiáng)圖像的特征，避免損失邊緣細(xì)節(jié)，從而有效去除噪聲，保護(hù)圖像邊緣細(xì)節(jié)。

2.3 擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)的改進(jìn)

g1(|u|) ,g2(|u|)是Perona等提出的兩個(gè)經(jīng)典擴(kuò)散函數(shù)，曲線如圖1所示，公式中的K是預(yù)先設(shè)定的邊緣梯度的門限參數(shù)。本文中取K=10。

對(duì)于g(|u|)的設(shè)計(jì)一般滿足下列3個(gè)原則[13]：

(1)g(|u|)是以|u|為自變量的減函數(shù)，并且存在g(|u|)>0；

(2)g(|u|)=0 (|u|→∞)；

(3)g(|u|)=1 (|u|→0)。

通過對(duì)各向異性擴(kuò)散方程原理的分析，對(duì)于一幅圖像，在圖像同質(zhì)區(qū)域內(nèi)，|u|取值較小時(shí)，g(|u|)就會(huì)比較大；在圖像的邊緣處，|u|取值較大時(shí)，g(|u|)就會(huì)比較小，從而達(dá)到保存邊緣信息去除噪聲的目的[14]。在P-M模型提出的擴(kuò)散系數(shù)中，要求在具有圖像特征的位置降低擴(kuò)散速度或不擴(kuò)散；當(dāng)圖像中沒有明顯的特征時(shí)，增快擴(kuò)散速度[15]。

通過對(duì)各向異性擴(kuò)散函數(shù)特征分析，構(gòu)造了如下擴(kuò)散系數(shù)：

(8)

其中，k1,k2是梯度門限，如果該點(diǎn)的梯度大于門限，就會(huì)被認(rèn)為是邊緣而保留下來；如果梯度小于門限，就被認(rèn)為是噪聲被平滑掉。在這里k1=0.01 ,k2=0.10。

為了驗(yàn)證g3的有效性，通過繪制函數(shù)曲線進(jìn)行對(duì)比分析，如圖1所示。

圖1 不同擴(kuò)散函數(shù)圖像Fig.1 Images of different diffusion functions

其中取梯度閾值K=10。從圖1中可以看出，函數(shù)g(|u|)中當(dāng)|u|趨于無窮大時(shí)，g(|u|)趨近于0。本文構(gòu)造的擴(kuò)散函數(shù)g3趨近于0的速度比g1、g2慢，用g3代替P-M模型中的擴(kuò)散函數(shù)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)a=1時(shí)不利于圖像的去噪；a=3時(shí)在圖像梯度值較小的地方擴(kuò)散過強(qiáng)，隨著圖像梯度值的增大不能較好地保護(hù)邊緣；a=2.2時(shí)在圖像特征弱的區(qū)域平滑程度變大，更加有利于含噪圖像的平滑，在梯度值較大時(shí)對(duì)圖像邊緣有一定的保護(hù)作用的同時(shí)又能較好地去除噪聲，使平滑次數(shù)大大減少。通過大量仿真實(shí)驗(yàn)，本文中a取值為2.2。

2.4 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

時(shí)間間隔取為Δt；空間步長均為1；(i,j)表示圖像中的離散點(diǎn)，得到本文模型離散后的迭代公式為：

(9)

(10)

對(duì)于沖擊項(xiàng)，我們用中心差分格式求解uηη、uξξ，則有：

uxx(i,j)=ui+1,j-2ui,j+ui-1,j，uyy(i,j)=ui,j+1-2ui,j+ui,j-1，

3 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

3.1 圖像去噪處理客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)

本文用均方誤差(mean squared error，EMS)、信噪比(signal to noise ratio,RSN)、峰值信噪比(peak signal to noise ratio,RPSN)客觀評(píng)價(jià)圖像去噪的有效性。其中RPSN值越小，去噪效果越好；RSN值越大，圖像失真越少；RPSN值越大，去噪能力越高。表達(dá)式見式(11)～(13)：

(11)

(12)

(13)

其中：M，N表示圖像的長和寬，M×N表示圖像中像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)；I0(i,j)表示原始圖像；I(i,j)表示去噪后圖像；μ為I0(i,j)的均值。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

仿真實(shí)驗(yàn)程序采用Matlab R2016a編寫，本文采用256×256像素的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Lena作為實(shí)驗(yàn)圖像。在仿真實(shí)驗(yàn)中，取時(shí)間步長Δt=0.25。在本文模型中，選取σ=0.5，3×3鄰域的高斯核，參數(shù)α=2.4，β=0.01，γ=0.01。圖2是新模型與P-M模型分別使用擴(kuò)散系數(shù)g1與g3處理后的圖像去噪效果比較圖，圖像中所加噪聲是均值為0，方差為0.01的高斯噪聲。

圖2 加入均值為0，方差為0.01的高斯噪聲圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Experimental results of gaussian noise images with mean value 0 and variance 0.01

從表1和表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以看出，在使用擴(kuò)散函數(shù)g2時(shí)，本文模型在P-M模型的基礎(chǔ)上大大減少了迭代次數(shù)，同時(shí)提高了RSN和RPSN的值。本文提出的模型在均值誤差、信噪比、峰值信噪比方面都要優(yōu)于P-M模型。當(dāng)添加均值為0，方差為0.01的高斯噪聲時(shí)，本文模型使用擴(kuò)散函數(shù)g3與使用擴(kuò)散函數(shù)g2相比PSNR的值提高了約0.13 dB。當(dāng)添加均值為0，方差為0.03的高斯噪聲時(shí)，本文模型使用擴(kuò)散函數(shù)g3與使用擴(kuò)散函數(shù)g2相比PSNR的值提高了約0.17 dB。

表1 不同模型對(duì)Lena圖像去噪效果的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Objective evaluation criteria of the Lena image denoising effect using different models

表2 不同模型對(duì)Lena圖像去噪效果的客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)Table 2 Objective evaluation criteria of the Lena image denoising effect using different models

在P-M模型和本文模型中，使用擴(kuò)散函數(shù)g3比g2去噪效果好，其在運(yùn)行時(shí)間、迭代次數(shù)、信噪比、峰值信噪比等方面的數(shù)據(jù)均優(yōu)于P-M模型中提出的擴(kuò)散函數(shù)g2。本文提出的擴(kuò)散函數(shù)g3不僅提高了處理圖像的平滑速度，而且提高了圖像的去噪效果，大大減少了運(yùn)行時(shí)間和迭代次數(shù)。

從圖2中可以看出，經(jīng)過P-M模型處理后的圖像在平坦區(qū)域中產(chǎn)生了一些黑白斑點(diǎn)。表明P-M模型雖然可以銳化邊緣，但不能有效地消除邊緣處的噪聲點(diǎn)，并且會(huì)模糊圖像的邊緣細(xì)節(jié)，本文提出的模型克服了P-M模型的一些缺點(diǎn)，有效減少了黑白斑點(diǎn)，并且保留和增強(qiáng)了圖像的邊緣和細(xì)節(jié)。本文模型較P-M模型和CLMC模型具有一定優(yōu)勢(shì)。

綜上，本文提出的模型能夠更好地保留原始圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，抑制散斑效應(yīng)，獲得較高質(zhì)量的去噪圖像，同時(shí)增強(qiáng)了圖像的邊緣特征，并且在主觀視覺效果和客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)方面都具有良好的性能。

4 結(jié)語

本文結(jié)合沖擊濾波器和P-M模型的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種耦合沖擊濾波器的各向異性擴(kuò)散的圖像去噪模型并提出了一種新的擴(kuò)散系數(shù)。與P-M去噪模型相比，本文提出的模型在噪聲去除和圖像特征保護(hù)之間取得了較好的平衡，彌補(bǔ)了經(jīng)典P-M模型處理圖像時(shí)的邊緣銳化不足。在詳細(xì)分析所提模型原理的基礎(chǔ)上，經(jīng)過離散化模型表達(dá)式給出具體實(shí)現(xiàn)的方法，最后通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性和有效性。