張 敏 陳豆豆

（1.江西科技師范大學(xué)建筑工程學(xué)院，南昌330013；2.廣西科技大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，柳州545006）

0 引 言

耗能減震是一種結(jié)構(gòu)被動(dòng)控制技術(shù)，該技術(shù)是在結(jié)構(gòu)中設(shè)置阻尼器，并在地震作用中，該阻尼器產(chǎn)生彈塑性變形，耗散地震輸入結(jié)構(gòu)的能量，進(jìn)而保護(hù)結(jié)構(gòu)免遭地震破壞［1-3］。非線(xiàn)性黏滯阻尼器是一種速度相關(guān)型減震裝置，該阻尼器通過(guò)兩端產(chǎn)生相對(duì)速度，從而對(duì)結(jié)構(gòu)施加阻尼力F=C|V|α，其中，C為阻尼系數(shù)，|V|為阻尼器兩端相對(duì)速度絕對(duì)值，α為阻尼指數(shù)。目前已在建筑、橋梁中被廣泛應(yīng)用，同時(shí)，與其相適應(yīng)的分析理論也不斷發(fā)展。由于該結(jié)構(gòu)構(gòu)造簡(jiǎn)單，且工作時(shí)不改變結(jié)構(gòu)剛度，因此在框架結(jié)構(gòu)中設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器，降低結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)，是減震控制的一種有效形式，但設(shè)置非線(xiàn)性粘滯阻尼器后結(jié)構(gòu)各階振動(dòng)的阻尼比如何確定？結(jié)構(gòu)地震作用如何分析？不少學(xué)者對(duì)該問(wèn)題做了大量研究。

1998 年，歐進(jìn)萍基于國(guó)內(nèi)外減震裝置性能試驗(yàn)，結(jié)合抗震規(guī)范，提出了阻尼器等效阻尼和等效剛度的計(jì)算方法，以及適用于反應(yīng)譜法的附加振型阻尼比方法［4］，將減震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為抗震結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)；2007 年，程光煜將等效線(xiàn)性法應(yīng)用于能力譜計(jì)算，對(duì)比分析了8 種等效線(xiàn)性化方法的地震輸入能量譜的精度［5］，證明現(xiàn)有應(yīng)用于能力譜計(jì)算的等效線(xiàn)性法，等效周期偏小，誤差較大；2009 年，陸偉東針對(duì)中、美、日3 國(guó)規(guī)范中等效阻尼比的計(jì)算進(jìn)行對(duì)比分析，根據(jù)日本規(guī)范設(shè)計(jì)思路，提出更為精確的計(jì)算公式，并將該公式計(jì)算結(jié)果，用于三層混凝土框架，進(jìn)行時(shí)程分析比較［6］，證明該方法有良好的精度；2010 年，梁仁杰針對(duì)單自由度和多自由度體系，分別采用考慮等效阻尼比的傳統(tǒng)能力譜法和采用彈塑性反應(yīng)譜的改進(jìn)方法進(jìn)行分析比較，并和非線(xiàn)性時(shí)程分析對(duì)比［7］，結(jié)果表明：采用傳統(tǒng)方法低估了結(jié)構(gòu)響應(yīng)，有較大誤差，而采用彈塑性需求曲線(xiàn)的改進(jìn)方法和真實(shí)反應(yīng)吻合較好。2011 年，李創(chuàng)第采用隨機(jī)平均法，分別對(duì)單自由度、多自由度帶支撐Maxwell 阻尼器減震結(jié)構(gòu)的等效阻尼比進(jìn)行了系統(tǒng)研究，建立了耗能結(jié)構(gòu)各振型等效阻尼比的計(jì)算式［8-9］，與模態(tài)應(yīng)變能法的計(jì)算精度進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明該方法優(yōu)于應(yīng)變能法；2014 年，宋力勛提出了純阻尼器和考慮支撐剛度阻尼器的等效阻尼比計(jì)算公式［10］，結(jié)果證明：明確阻尼器位置和參數(shù)，可通過(guò)計(jì)算公式計(jì)算等效阻尼比。同年，王婷用ATC-40 中的能力譜法對(duì)一棟三層混凝土框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行安全性驗(yàn)證，證明該方法對(duì)等效阻尼比估計(jì)過(guò)高［11］，導(dǎo)致對(duì)地震反應(yīng)估計(jì)偏低，在此基礎(chǔ)上，擬合出改進(jìn)等效阻尼比模型，該模型能較好地估計(jì)地震反應(yīng)。2016 年，何文福對(duì)黏滯阻尼器結(jié)構(gòu)進(jìn)行附加等效阻尼比的研究，并提出動(dòng)力響應(yīng)減震系數(shù)法計(jì)算附加等效阻尼比，對(duì)比幾種附加阻尼比計(jì)算結(jié)果［12］，證明 Constantinou 提出的近似公式計(jì)算結(jié)果與時(shí)程分析最為接近。2016 年，張敏采用狀態(tài)方程直接積分法，研究了一棟10 層線(xiàn)性黏滯阻尼耗能框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)，提出了阻尼系數(shù)優(yōu)化公式，并根據(jù)阻尼比不同，提出了適用于不同阻尼比的地震作用實(shí)用計(jì)公式［13］，證明阻尼器在結(jié)構(gòu)各樓層均勻布置時(shí)，框架結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)較傳統(tǒng)抗震結(jié)構(gòu)減少很多。2018 年，Li 提出了一種確定SDOF 結(jié)構(gòu)的一階和二階等效黏性阻尼和剛度、峰值響應(yīng)及其阻尼力的新方法，基于一般線(xiàn)性黏彈性阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性，提出了改進(jìn)的多時(shí)間尺度法，采用所有自由振動(dòng)特性相同的等效準(zhǔn)則，得到結(jié)構(gòu)的一階和二階等效黏性阻尼和剛度［14］，證明該方法比模態(tài)應(yīng)變能法的精度更高，且明顯優(yōu)于模態(tài)應(yīng)變能法。2018 年，周瑞指出中美日三種設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)均直接或間接以地面運(yùn)動(dòng)峰值加速度作為地震反應(yīng)譜的基準(zhǔn)數(shù)據(jù)，以中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)的αmax為比較基準(zhǔn)，比較了鋼框架和鋼筋混凝土框架在三種標(biāo)準(zhǔn)下的地震響應(yīng)最大值的關(guān)系［15］，給出確定地面運(yùn)動(dòng)峰值加速度的方法，可以正確地計(jì)算出結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)。2018 年，耿耀明針對(duì)設(shè)置黏滯流體阻尼器的裝配整體式鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，采用反應(yīng)譜法和彈性時(shí)程分析法分析結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)［16］，發(fā)現(xiàn)多遇地震下黏滯阻尼器耗能明顯，能夠保護(hù)主體結(jié)構(gòu)，罕遇地震耗能較多遇地震減少，但仍可消耗部分能量，從而保護(hù)主體結(jié)構(gòu)。同年，賈傳果對(duì)非線(xiàn)性阻尼力進(jìn)行線(xiàn)性化處理，形成黏滯阻尼器減震結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，并給出求解局部非線(xiàn)性結(jié)構(gòu)動(dòng)力問(wèn)題的數(shù)值積分方法［17］，通過(guò) Matlab 對(duì)帶黏滯阻尼器的七層平面框架進(jìn)行地震響應(yīng)分析，證實(shí)該方法的可靠性。

非線(xiàn)性黏滯阻尼器具有較強(qiáng)的非線(xiàn)性，其等效阻尼比分析較復(fù)雜。本文基于阻尼器能量耗散概念，根據(jù)各階振動(dòng)的不同振動(dòng)形式及其正則坐標(biāo)幅值不變的原則，分析各階振動(dòng)的等效阻尼比，并由此分析結(jié)構(gòu)的地震作用。

1 結(jié)構(gòu)地震作用分析

分析結(jié)構(gòu)各樓層地震作用，是將結(jié)構(gòu)地震作用的動(dòng)力分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相當(dāng)于結(jié)構(gòu)靜力荷載作用的靜力分析問(wèn)題。各樓層地震作用為

令{x}=[φ]{q}，經(jīng)變換可得：

式中，ωnj為框架結(jié)構(gòu)第j振型的振動(dòng)頻率。

第j振型結(jié)構(gòu)地震作用向量為

設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器框架結(jié)構(gòu)，第j振型第i樓層的結(jié)構(gòu)地震作用為

可見(jiàn)結(jié)構(gòu)地震作用與結(jié)構(gòu)正則坐標(biāo)qj的幅值有關(guān)。

2 耗能框架結(jié)構(gòu)等效阻尼比分析

2.1 框架結(jié)構(gòu)各階振動(dòng)阻尼器耗能

為了將減震結(jié)構(gòu)地震作用計(jì)算轉(zhuǎn)化為抗震結(jié)構(gòu)采用反應(yīng)譜法計(jì)算，本文提出將非線(xiàn)性阻尼轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)等效阻尼。

本文采用的非線(xiàn)性黏滯阻尼器的阻尼力F=C|V|α，其中，C為阻尼系數(shù)，α為阻尼指數(shù)，V為阻尼器兩端相對(duì)速度。

圖1 所示框架結(jié)構(gòu)設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器的振動(dòng)方程為

式中：[M]、[C]、[K]分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣；{Fd}為非線(xiàn)性黏滯阻尼器對(duì)框架結(jié)構(gòu)作用力向量。

若僅考慮第j陣型，則{x}={φj}qj，化簡(jiǎn)可得

圖1 結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model

對(duì)式（7）兩邊各項(xiàng)分別積分，則得

式中，等式左邊四項(xiàng)分別代表結(jié)構(gòu)第j振型振動(dòng)時(shí)的動(dòng)能、結(jié)構(gòu)自身阻尼耗能、結(jié)構(gòu)彈性勢(shì)能和非線(xiàn)性黏滯阻尼耗能；等式右邊代表地震輸入結(jié)構(gòu)的能量。

第j振型一個(gè)振動(dòng)周期的阻尼耗能為

可得

其中，[hj]=diag(hj1，hj2，…，hjn)。

將式（13）代入式（9）中，得

化簡(jiǎn)，得

式中，qjm為第j振型正則坐標(biāo)qj的幅值。

2.2 等效阻尼比分析

結(jié)構(gòu)設(shè)置非線(xiàn)性粘滯阻尼器后等效為結(jié)構(gòu)線(xiàn)性黏滯阻尼，即

結(jié)構(gòu)阻尼等效原則如下：

（1）阻尼等效前后結(jié)構(gòu)阻尼耗能總量不變；

（2）阻尼等效前后結(jié)構(gòu)按第j振型正則坐標(biāo)幅值不變，即qjm不變。

阻尼等效后的振動(dòng)方程：

僅考慮第j陣型{φj}，式（20）可變換得：

式中，ξeqj為第j振型等效阻尼比。

一個(gè)振動(dòng)周期等效阻尼耗能：

求得，

將方程（21）右邊地震波幅值視為靜載，產(chǎn)生的靜力反應(yīng)qstm為

式中：Amax為地震波x¨g(t)的幅值；γj為第j振型參與系數(shù)。

令第j振型振動(dòng)的動(dòng)力放大系數(shù)則

由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)，可得

2.3 結(jié)構(gòu)高階振動(dòng)等效阻尼比分析

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）振型分解反應(yīng)譜法，結(jié)構(gòu)第j振型第i樓層地震作用為

阻尼等效后，由式（5）和式（31），可得

對(duì)于第1振型，則

由式（32）、式（33）變換為

若僅考慮第j陣型時(shí)，將式（21）進(jìn)行傅里葉變換并化簡(jiǎn)，得

式中，ξ0為設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器前，框架結(jié)構(gòu)自身阻尼比，一般取ξ0=5%。即

當(dāng)j=1時(shí)，則

式中，ω近似取為場(chǎng)地特征頻率

式（37）可變換為

根據(jù)《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010），可得為

將式（40）代入式（39），可得

求解式（44），可得ξeqj，將ξeqj代入式（37）可求出|qj|max。

3 工程算例

一棟10 層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，平面布置見(jiàn)圖2。底層層高4.5 m，二層及以上樓層高度為3.3 m，總層高為34.2 m；該結(jié)構(gòu)設(shè)防類(lèi)別丙類(lèi)，抗震設(shè)防烈度為8度，基本地震加速度0.3g，設(shè)計(jì)地震分組為第2組；結(jié)構(gòu)自身阻尼比ξ0=0.05；混凝土強(qiáng)度等級(jí)C30；樓屋面折算恒載標(biāo)準(zhǔn)值10 kN/m2（包括墻體自重），樓屋面活載標(biāo)準(zhǔn)值2 kN/m2；梁截面尺寸為300 mm×650 mm，柱截面尺寸為600 mm×750 mm。每榀橫向框架各樓層均勻設(shè)置阻尼器，見(jiàn)圖1，阻尼參數(shù)設(shè)置如下：I類(lèi)場(chǎng)地，C=1 000 kN·s·m-1，α=0.5；Ⅱ、Ⅲ類(lèi)場(chǎng)地，C=1 800 kN·s·m-1，α=0.5。該結(jié)構(gòu)分別作用OROVILLE地震波（適用I類(lèi)場(chǎng)地）、El-Centro 地震波（適用Ⅱ類(lèi)場(chǎng)地）、HOLLYWOOD STORAGE地震波（適用Ⅲ類(lèi)場(chǎng)地）。各地震最大加速度幅值均調(diào)整為110 cm/s2。

圖2 結(jié)構(gòu)框架平面圖（單位：mm）Fig.2 Plane layout of frame structure（Unit：mm）

3.1 一階振動(dòng)等效阻尼比

根據(jù)式（31）計(jì)算，各類(lèi)場(chǎng)地一階振動(dòng)的等效阻尼比見(jiàn)表1。

表1 一階振動(dòng)等效阻尼比Table 1 Equivalent Damping Ratio of First Order Vibration

3.2 一階振動(dòng)q1時(shí)程曲線(xiàn)

阻尼等效前后各類(lèi)場(chǎng)地一階振動(dòng)的正則坐標(biāo)q1時(shí)程曲線(xiàn)見(jiàn)圖3?？梢?jiàn)，阻尼等效前后q1時(shí)程曲線(xiàn)基本吻合。

圖3一階正則坐標(biāo)時(shí)程曲線(xiàn)Fig.3 Regular coordinate time curve of structures

3.3 一階振動(dòng)

3.4 地震作用

阻尼等效后，結(jié)構(gòu)地震作用按式（5）計(jì)算，并與抗震結(jié)構(gòu)相應(yīng)值對(duì)比，見(jiàn)圖4。

表2 一階振動(dòng)Table 2 of first order vibration

表2 一階振動(dòng)Table 2 of first order vibration

ⅠⅡⅢ場(chǎng)地類(lèi)別等效前|q1|max等效后|q1|max誤差4.27 4.24 0.7%18.84 18.44 2.12%13.69 13.91 1.58%

圖4 地震作用Fig.4 Seismic action

4 結(jié) 論

本文針對(duì)設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器框架結(jié)構(gòu)，利用阻尼器耗能及正則坐標(biāo)幅值不變?cè)瓌t，推導(dǎo)出適用于設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器框架結(jié)構(gòu)的各階振型等效阻尼比的計(jì)算公式，從而可將減震結(jié)構(gòu)地震作用計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抗震結(jié)構(gòu)的反應(yīng)譜法計(jì)算。最后對(duì)一棟10 層框架結(jié)構(gòu)分別作用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ等三類(lèi)場(chǎng)地地震波，分析阻尼等效前后一階正則坐標(biāo)時(shí)程曲線(xiàn)，表明采用本文給出的等效阻尼比進(jìn)行分析，兩種時(shí)程曲線(xiàn)吻合性較好。

綜合前文分析，結(jié)論總結(jié)如下：

（1）設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器框架結(jié)構(gòu)各樓層地震作用可采用式（45）計(jì)算。

（2）設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器框架結(jié)構(gòu)第一階振動(dòng)的等效阻尼比ξeq1為

（3）設(shè)置非線(xiàn)性黏滯阻尼器框架結(jié)構(gòu)高階振動(dòng)的等效阻尼比ξeqj，可由下列方程求解：