陳 強，解成能，刑繼剛，趙 航

（長春工業(yè)大學機械工程系，長春 130012）

0 引言

傳統(tǒng)的優(yōu)化求解方法有共軛梯度法［1］、動態(tài)規(guī)劃法［2］、牛頓法、Powell方法等數值計算方法。近年來，一些新興元啟發(fā)式算法不斷涌現，如通過螞蟻找尋食物的行為受到啟發(fā)提出的蟻群算法（ACO）［3］；由螢火蟲特殊求偶方式受到啟發(fā)得到的螢火蟲算法（FA，GSO）［4］；通過大自然降雨過程模擬的水循環(huán)算法（WCA）等。英國的Yang［5］在2012 年根據花朵授粉過程提出花朵授粉優(yōu)化算法（Flower Pollination Algorithm，FPA），并成功應用到函數問題優(yōu)化中。通過不斷地應用，該算法表現出顯著的尋優(yōu)性能。由于花朵授粉算法具有一系列優(yōu)點，使得該算法在被提出之后引起了很多關注，成為了目前智能優(yōu)化領域的熱點研究算法之一。2015 年，Zhou Yongquan等［6］提出了一種基于精英對立的花朵授粉算法（EOFPA），提高了開發(fā)和探索能力。2016 年，Zhang Mingxin［7］提出了一種基于混沌理論（IFPCH）的花朵授粉算法求解定積分的新方法。2017 年，Dao Thi-Kien 等［8］提出了一種新的緊湊型花朵授粉算法，用于求解受限硬件條件下的一類優(yōu)化問題。2018年，Zhang Xinming等［9］將小生境策略與花朵授粉算法相結合，提出了一種新的小生境花朵授粉算法。2019年，Chen Yang等［10］采用混沌映射方法對算法探索階段的方程進行了改進，提出了一種改進的全局花朵授粉算法（GFPA），用于混沌和超混沌系統(tǒng)的參數辨識?；ǘ涫诜鬯惴m然具有魯棒性強、參數少、結構簡單、穩(wěn)定性和執(zhí)行效率高等諸多優(yōu)點，但也存在一定的缺點，例如該算法中涉及參數少、缺少一定的理論基礎、執(zhí)行到后期時算法收斂速度明顯變慢、在執(zhí)行過程中容易陷入局部最優(yōu)無法自動跳出、整體收斂性的相關理論證明不夠充分等。所以，花朵授粉算法在充實完善相關理論和拓展應用范圍等方面還有待研究。本文提出將線性權重和優(yōu)質解隨機游走策略融入到花朵授粉算法中，以提高花朵授粉算法的性能。

1 花朵授粉算法

1.1 基本概念

自然界開花植物的授粉過程大概分為自花授粉和異花授粉兩大類。自花授粉是指基于風媒、水媒授粉的植物；異花授粉是指基于蟲媒、鳥媒授粉的植物。同一植物個體上的不同花朵之間的授粉是自花授粉；同一植物的不同個體花朵之間的授粉是異花授粉。因為自花授粉在同一植物個體的不同花朵之間傳粉，花粉的移動范圍較小，抽象到花朵授粉算法中，就是搜索范圍較小的局部搜索；異花授粉需要蟲媒或者鳥媒來攜帶花粉進行授粉，而這些蟲類或者傳粉者通常采用Levy飛行機制移動［5］，Levy飛行是一種特殊的隨機游走，因為其能夠進行較大步長的移動，所以異花授粉抽象到花朵授粉算法中，即為搜索較大的全局搜索。

在現實中，大部分植物都開許多花，每朵花包含上萬個花粉。為了簡化研究，假設每株植物只有一朵花，每朵花只產生一個花粉，每個花粉對應優(yōu)化問題的一個解。根據以上原理，將花朵授粉過程抽象為以下模型：

（1）把生物授粉和異花授粉看作全局授粉過程，并且傳粉者的移動路徑遵循Levy飛行；

（2）自花授粉視為局部授粉；

（3）花粉的恒常性被看作花朵的繁衍概率，這個概率體現了花朵之間的相似性；

（4）算法的局部尋優(yōu)和全局尋優(yōu)之間的轉換由轉換概率p控制。

1.2 原理

（1）自花授粉過程

自花授粉是指來自同一開花植物的花粉通過風進行傳播花粉的過程，這個過程看作是局部搜索過程。當進行局部搜索時，花粉的位置公式（1）更新：

（2）異花授粉過程

異花授粉過程中，傳粉者遵從Levy飛行規(guī)律，飛行相對較遠的路程進行授粉?；ǚ鄣奈恢霉剑?）更新：

昆蟲在攜帶花粉時可以用不同的運動方式移動一大段距離，其移動的步長符合Levy 分布。L（λ）＞0，其表達式如下：

式中：Γ（λ）為標準的伽馬函數。

2 改進花朵授粉算法

2.1 線性權重

本文提出應用線性權重來逐步提高算法的局部搜索能力，即：

式中：wmax為最大權重；wmin為最小權重；itermax為最大迭代次數；iter為當前迭代次數。

異花授粉過程中，花粉的位置公式更改為：

2.2 優(yōu)質解隨機游走策略

本文提出一種優(yōu)質解隨機游走策略，進一步提高算法的搜索能力。

式中：xbest、xsbest、xtbest分別為當前迭代排在前三位的最優(yōu)解；c1、c2、c3為隨機游走參數。

2.3 改進的花朵授粉算法流程

Step 1：設置種群規(guī)模N，維數d，最大迭代次數itermax，轉換概率p。

Step 2：計算適應度值xi，并得到g*。

Step 3：若rand ＜p，則按照式（3）、式（5）更新。

Step 4：若rand ≥p，則按照式（1）更新。

Step 5：執(zhí)行優(yōu)質解隨機游走策略。

Step 6：判斷是否滿足需要，滿足則結束；不滿足則返回步驟3。

改進的花朵授粉算法的偽代碼如下所示。

輸入：種群規(guī)模N，維數d，最大迭代次數itermax，轉換概率p等參數。

輸出：最優(yōu)解。

算法描述：

（1）產生初始種群

（2）計算適應度值xi，并得到g*

（3）while （t ＜ itermax）

（4）計算權重

（5）fori＝1∶N

（6）if 若rand ＜ p，則按照式（3）、式（5）更新

（7）else 依據式（1）局部搜索

（8）end if

end for

（9）if f（xnew）＜ f（g*），則替換當前最優(yōu)位置g*為xnew否則放棄

（10）執(zhí)行優(yōu)質解隨機游走策略

end while

3 實驗數據及分析

為驗證改進花朵授粉算法的性能，選擇5 個測試函數進行對比試驗［11］，并與遺傳算法［12］、引力粒子群算法［13］和基本的花朵授粉算法［5］進行比較。具體測試函數如下。

（1）Sphere函數

該函數在（0，…，0）處取得最小值0。

（2）Schwefel2.22函數

該函數在（0，…，0）處取得最小值0。

（3）Schwefel1.2函數

該函數在（0，…，0）處取得最小值0。

（4）Schwefel2.21函數

該函數在（0，…，0）處取得最小值0。

（5）Rosenbrock函數

該函數在（1，…，1）處取得最小值0。

以上優(yōu)化函數，維度為30，每個算法獨立運行30次。算法參數：種群規(guī)模n ＝20；轉移概率p ＝0.8；最大迭代次數itermax＝300。5個函數的結果對比分別如表1～5所示。

表1 在Sphere函數上優(yōu)化結果對比

表2 在Schwefel2.22 函數上優(yōu)化結果對比

表3 在Schwefel1.2 函數上優(yōu)化結果對比

表4 在Schwefel2.21 函數上優(yōu)化結果對比

表5 在Rosenbrock函數上優(yōu)化結果對比

算法收斂的速度是算法性能的重要指標。不同函數的收斂曲線圖分別如圖1～5所示。

圖1 Sphere函數收斂曲線

圖2 Schwefel2.22 函數收斂曲線

圖3 Schwefel1.2 函數收斂曲

圖4 Schwefel2.21 函數收斂曲線

圖5 Rosenbrock函數收斂曲線

由表1～5和圖1～5可以看出，本文提出的改進FPA算法比基本FPA算法在全局尋優(yōu)方面具有更快的收斂速度和更高的精度，可以提高算法找到全局最優(yōu)解的概率。

4 結束語

本文采用線性權重和優(yōu)質解隨機游走策略，改進花朵授粉算法。將該改進型花朵授粉算法用于Sphere 函數、Schwefel2.22 函數、Schwefel1.2 函數、Schwefel2.21 函數、Rosenbrock函數。仿真實驗結果表明，所提出的算法在收斂精度和收斂速度方面有明顯優(yōu)勢。