楊小輝
(廣東工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院,廣州 510006)
拓撲優(yōu)化是一種根據(jù)給定的負載情況,約束和性能指標(biāo),優(yōu)化給定區(qū)域中的材料分布的數(shù)學(xué)方法。拓撲優(yōu)化的出現(xiàn)最初只是為了解決一般的機械設(shè)計問題。但是,隨著對拓撲優(yōu)化的深入研究,其已被廣泛用于許多物理學(xué)科,包括固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)等。此外,拓撲優(yōu)化也已用于許多工程領(lǐng)域,例如運輸、建筑設(shè)計、復(fù)合材料等。
從Bends?e 和Kikuchi[1]提出均質(zhì)化方法這一重要的拓撲優(yōu)化方法到現(xiàn)在,拓撲優(yōu)化領(lǐng)域已經(jīng)出現(xiàn)了許多有效可行的方法,如帶懲罰的固體各向同性材料(SIMP)方法、演化方法、移動可變形成分(MMC)方法和漸進結(jié)構(gòu)方法(MMA)[2]。
由于FEM幾乎可以用于描述所有復(fù)雜的工程問題,所以目前大多數(shù)關(guān)于拓撲優(yōu)化和拓撲優(yōu)化方法的研究都是基于有限元結(jié)構(gòu)分析的,只有很少的研究集中在用其他有效的數(shù)值求解方法來代替FEM。因此,在這一領(lǐng)域中仍然需要大量的更深入的研究。
最近X.-W.Gao等[3-4]提出一種新的、強形式的數(shù)值求解方法,來求解二階偏微分方程的邊值問題。該方法分別借鑒了FEM[5-6],有限塊體法(FBM)[7-8]和無網(wǎng)格法(MFM)[9-10]的部分思想,能快速有效得到穩(wěn)定解。而且與FEM 相比,EDM具有兩個較為顯著的特點:(1)不需要任何數(shù)學(xué)原理或機械原理來構(gòu)成方程組,因此EDM非常易于編寫;(2)無需任何積分。
本文將基于5 節(jié)點單元的EDM[11],運用于基于SIMP 法的拓撲優(yōu)化[12],并用MATLAB 進行仿真計算,最后分析討論其拓撲結(jié)果,驗證其有效性和準(zhǔn)確性。
EDM用于解決二階偏微分方程(PDEs)的邊值問題。其關(guān)鍵思想是用節(jié)點形函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)來表示問題中的相關(guān)物理變量,并將問題計算域中的節(jié)點分為3類,不同的節(jié)點配置不同的平衡方程。具體步驟如下。
(1)用一系列5 節(jié)點等參單元劃分問題計算域,如圖1所示。
(2)推導(dǎo)節(jié)點形函數(shù),并得出其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)公式。
(3)用所推導(dǎo)的表達式表示問題中的相關(guān)物理變量,如節(jié)點坐標(biāo),節(jié)點位移等。
(4)進行節(jié)點分析,并將其分為內(nèi)部節(jié)點、邊界節(jié)點、界面節(jié)點3類,如圖2所示。在不同的節(jié)點上配置不同的平衡方程(以彈性力學(xué)為例):
①在內(nèi)部節(jié)點配置應(yīng)力平衡方程:
②在界面節(jié)點配置牽引力平衡方程(節(jié)點合力為0):
tij= σijηj= 0
③在邊界節(jié)點配置牽引力平衡方程(節(jié)點受力平衡):
tij= σijηj= ˉt
(5)統(tǒng)計所有節(jié)點,進行最終方程的組裝,其最終形式為: Ax =b ,并對其進行求解,得出結(jié)果。
圖1 2維5節(jié)點四邊形等參元素
圖2 節(jié)點的類型
本文使用的拓撲優(yōu)化理論是基于SIMP的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論,在SIMP 方法中,引入了相對密度為0~1 的偽可變材料。假設(shè)材料的宏觀彈性常數(shù)與其密度之間存在非線性關(guān)系,則介于0~1之間的元素會受到懲罰因子的約束。在一定數(shù)量的材料的條件下,找到具有最大剛度(結(jié)構(gòu)的最小柔韌性)的結(jié)構(gòu)材料的最佳分布形式。結(jié)構(gòu)的順應(yīng)性被視為目標(biāo)函數(shù),體積作為約束。則拓撲優(yōu)化模型如下:
式中:X為單元密度;C( X )為結(jié)構(gòu)順應(yīng)性;F為載荷;U為節(jié)點位移;V ( X )為結(jié)構(gòu)體積;V*為體積約束;K為整體剛獨矩陣。
結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣由單元剛度矩陣組裝而成,即:
所以,對于結(jié)構(gòu)順應(yīng)性有:
將EDM與基于SIMP的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)合,其目標(biāo)函數(shù),即結(jié)構(gòu)順應(yīng)性可由以下等式表示:
式中:S為結(jié)構(gòu)的受力面積;A為結(jié)構(gòu)的整體系數(shù)矩陣;ae為單元的系數(shù)矩陣。
所以,拓撲優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),即結(jié)構(gòu)的順應(yīng)性可由如下等式表示:
圖3 所示為拱橋模型,長寬比設(shè)為4∶1,材料彈性模量E =1,泊松系數(shù)ν= 0.3。約束條件是結(jié)構(gòu)的材料的體積不超過設(shè)計區(qū)域的體積的30%,以獲得滿足結(jié)構(gòu)的最小順應(yīng)性目的的最佳拓撲結(jié)構(gòu)。計算域網(wǎng)格規(guī)模分別為80×20、240×60、320×80、400×100、480×120,并使用MATLAB 進行計算。對于EDM 的,使用上文中介紹的2 種計算方法分別計算結(jié)構(gòu)的順應(yīng)性,并與FEM 所得的結(jié)果進行比較。最終拓撲結(jié)構(gòu)如圖4所示,具體的數(shù)值結(jié)果如表1 所示。從圖中可以看出,基于EDM 的拓撲優(yōu)化得到的拓撲結(jié)構(gòu)和基于FEM的拓撲優(yōu)化得到的基本一致。而表中的數(shù)據(jù)顯示,在網(wǎng)格規(guī)模較小的時候,前者所需的迭代次數(shù)要多于后者,但是當(dāng)網(wǎng)格規(guī)模較大時結(jié)果相反。
圖3 拱橋模型
圖4 拱橋最終拓撲結(jié)構(gòu)圖
表1 拓撲優(yōu)化數(shù)值結(jié)果
如圖5 所示,用左側(cè)固定的懸臂梁模型簡單代表具有矩形立面的高層建筑物,該建筑物在左右兩邊高度方向上承受水平風(fēng)荷載。該模型的長寬比為5∶1,材料彈性模量E =1,泊松系數(shù)ν=0.3。約束條件是結(jié)構(gòu)材料的體積不超過設(shè)計區(qū)域的體積的20%,以獲得滿足結(jié)構(gòu)的最小順應(yīng)性目的的最佳拓撲結(jié)構(gòu)。計算網(wǎng)格分別為100×20、200×40、300×60、400×80 和500×100,由MATLAB 計算拓撲結(jié)構(gòu)。在這個案例中下,僅使用EDM(3)進行計算,并將其結(jié)果與FEM 計算結(jié)果進行比較。最終拓撲結(jié)構(gòu)如圖6所示,結(jié)果的具體數(shù)值如表2所示。
圖5 受對稱載荷的懸臂梁
圖6 懸臂梁最終拓撲結(jié)構(gòu)圖
表2 拓撲優(yōu)化數(shù)值結(jié)果
從上述結(jié)果可以看出,基于EDM的拓撲優(yōu)化與基于FEM的拓撲優(yōu)化的拓撲結(jié)構(gòu)基本一致,但是前者所需的迭代次數(shù)要少于后者。
以上兩個拓撲優(yōu)化案例證明了EDM的拓撲優(yōu)化運用上的有效性和準(zhǔn)確性,并且案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數(shù)要普遍少于基于FEM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數(shù)。
本文將基于5 節(jié)點單元的EDM 運用于拓撲優(yōu)化,并通過一系列數(shù)值案例進行數(shù)值仿真求解與分析??梢缘玫饺缦陆Y(jié)論:
(1)案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化得到的拓撲結(jié)構(gòu)和基于FEM的拓撲優(yōu)化得到的基本一致;
(2)案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數(shù)普遍要少于基于FEM的拓撲優(yōu)化;
(3)將EDM運用于拓撲優(yōu)化是可行且有效的。
盡管當(dāng)前的工作只是以少數(shù)的SIMP模型為例,但在將來基于EDM的拓撲優(yōu)化工作會拓展到其他不同的模型和其他類型的拓撲優(yōu)化方法中。