楊小輝

（廣東工業(yè)大學(xué)機電工程學(xué)院，廣州 510006）

0 引言

拓撲優(yōu)化是一種根據(jù)給定的負載情況，約束和性能指標(biāo)，優(yōu)化給定區(qū)域中的材料分布的數(shù)學(xué)方法。拓撲優(yōu)化的出現(xiàn)最初只是為了解決一般的機械設(shè)計問題。但是，隨著對拓撲優(yōu)化的深入研究，其已被廣泛用于許多物理學(xué)科，包括固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)等。此外，拓撲優(yōu)化也已用于許多工程領(lǐng)域，例如運輸、建筑設(shè)計、復(fù)合材料等。

從Bends?e 和Kikuchi[1]提出均質(zhì)化方法這一重要的拓撲優(yōu)化方法到現(xiàn)在，拓撲優(yōu)化領(lǐng)域已經(jīng)出現(xiàn)了許多有效可行的方法，如帶懲罰的固體各向同性材料（SIMP）方法、演化方法、移動可變形成分（MMC）方法和漸進結(jié)構(gòu)方法（MMA）[2]。

由于FEM幾乎可以用于描述所有復(fù)雜的工程問題，所以目前大多數(shù)關(guān)于拓撲優(yōu)化和拓撲優(yōu)化方法的研究都是基于有限元結(jié)構(gòu)分析的，只有很少的研究集中在用其他有效的數(shù)值求解方法來代替FEM。因此，在這一領(lǐng)域中仍然需要大量的更深入的研究。

最近X.-W.Gao等[3-4]提出一種新的、強形式的數(shù)值求解方法，來求解二階偏微分方程的邊值問題。該方法分別借鑒了FEM[5-6]，有限塊體法（FBM）[7-8]和無網(wǎng)格法（MFM）[9-10]的部分思想，能快速有效得到穩(wěn)定解。而且與FEM 相比，EDM具有兩個較為顯著的特點：（1）不需要任何數(shù)學(xué)原理或機械原理來構(gòu)成方程組，因此EDM非常易于編寫；（2）無需任何積分。

本文將基于5 節(jié)點單元的EDM[11]，運用于基于SIMP 法的拓撲優(yōu)化[12]，并用MATLAB 進行仿真計算，最后分析討論其拓撲結(jié)果，驗證其有效性和準(zhǔn)確性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 單元微分法

EDM用于解決二階偏微分方程（PDEs）的邊值問題。其關(guān)鍵思想是用節(jié)點形函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)來表示問題中的相關(guān)物理變量，并將問題計算域中的節(jié)點分為3類，不同的節(jié)點配置不同的平衡方程。具體步驟如下。

（1）用一系列5 節(jié)點等參單元劃分問題計算域，如圖1所示。

（2）推導(dǎo)節(jié)點形函數(shù)，并得出其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)公式。

（3）用所推導(dǎo)的表達式表示問題中的相關(guān)物理變量，如節(jié)點坐標(biāo)，節(jié)點位移等。

（4）進行節(jié)點分析，并將其分為內(nèi)部節(jié)點、邊界節(jié)點、界面節(jié)點3類，如圖2所示。在不同的節(jié)點上配置不同的平衡方程（以彈性力學(xué)為例）：

①在內(nèi)部節(jié)點配置應(yīng)力平衡方程：

②在界面節(jié)點配置牽引力平衡方程（節(jié)點合力為0）：

tij＝ σijηj＝ 0

③在邊界節(jié)點配置牽引力平衡方程（節(jié)點受力平衡）：

tij＝ σijηj＝ ˉt

（5）統(tǒng)計所有節(jié)點，進行最終方程的組裝，其最終形式為： Ax ＝b ，并對其進行求解，得出結(jié)果。

圖1 2維5節(jié)點四邊形等參元素

圖2 節(jié)點的類型

1.2 拓撲優(yōu)化

本文使用的拓撲優(yōu)化理論是基于SIMP的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化理論，在SIMP 方法中，引入了相對密度為0～1 的偽可變材料。假設(shè)材料的宏觀彈性常數(shù)與其密度之間存在非線性關(guān)系，則介于0～1之間的元素會受到懲罰因子的約束。在一定數(shù)量的材料的條件下，找到具有最大剛度（結(jié)構(gòu)的最小柔韌性）的結(jié)構(gòu)材料的最佳分布形式。結(jié)構(gòu)的順應(yīng)性被視為目標(biāo)函數(shù)，體積作為約束。則拓撲優(yōu)化模型如下：

式中：X為單元密度；C( X )為結(jié)構(gòu)順應(yīng)性；F為載荷；U為節(jié)點位移；V ( X )為結(jié)構(gòu)體積；V*為體積約束；K為整體剛獨矩陣。

結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣由單元剛度矩陣組裝而成，即：

所以，對于結(jié)構(gòu)順應(yīng)性有：

1.3 基于EDM的拓撲優(yōu)化

將EDM與基于SIMP的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化結(jié)合，其目標(biāo)函數(shù)，即結(jié)構(gòu)順應(yīng)性可由以下等式表示：

式中：S為結(jié)構(gòu)的受力面積；A為結(jié)構(gòu)的整體系數(shù)矩陣；ae為單元的系數(shù)矩陣。

所以，拓撲優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即結(jié)構(gòu)的順應(yīng)性可由如下等式表示：

2 數(shù)值案例

2.1 橋梁結(jié)構(gòu)

圖3 所示為拱橋模型，長寬比設(shè)為4∶1，材料彈性模量E ＝1，泊松系數(shù)ν＝ 0.3。約束條件是結(jié)構(gòu)的材料的體積不超過設(shè)計區(qū)域的體積的30%，以獲得滿足結(jié)構(gòu)的最小順應(yīng)性目的的最佳拓撲結(jié)構(gòu)。計算域網(wǎng)格規(guī)模分別為80×20、240×60、320×80、400×100、480×120，并使用MATLAB 進行計算。對于EDM 的，使用上文中介紹的2 種計算方法分別計算結(jié)構(gòu)的順應(yīng)性，并與FEM 所得的結(jié)果進行比較。最終拓撲結(jié)構(gòu)如圖4所示，具體的數(shù)值結(jié)果如表1 所示。從圖中可以看出，基于EDM 的拓撲優(yōu)化得到的拓撲結(jié)構(gòu)和基于FEM的拓撲優(yōu)化得到的基本一致。而表中的數(shù)據(jù)顯示，在網(wǎng)格規(guī)模較小的時候，前者所需的迭代次數(shù)要多于后者，但是當(dāng)網(wǎng)格規(guī)模較大時結(jié)果相反。

圖3 拱橋模型

圖4 拱橋最終拓撲結(jié)構(gòu)圖

表1 拓撲優(yōu)化數(shù)值結(jié)果

2.2 懸臂梁

如圖5 所示，用左側(cè)固定的懸臂梁模型簡單代表具有矩形立面的高層建筑物，該建筑物在左右兩邊高度方向上承受水平風(fēng)荷載。該模型的長寬比為5∶1，材料彈性模量E ＝1，泊松系數(shù)ν＝0.3。約束條件是結(jié)構(gòu)材料的體積不超過設(shè)計區(qū)域的體積的20%，以獲得滿足結(jié)構(gòu)的最小順應(yīng)性目的的最佳拓撲結(jié)構(gòu)。計算網(wǎng)格分別為100×20、200×40、300×60、400×80 和500×100，由MATLAB 計算拓撲結(jié)構(gòu)。在這個案例中下，僅使用EDM（3）進行計算，并將其結(jié)果與FEM 計算結(jié)果進行比較。最終拓撲結(jié)構(gòu)如圖6所示，結(jié)果的具體數(shù)值如表2所示。

圖5 受對稱載荷的懸臂梁

圖6 懸臂梁最終拓撲結(jié)構(gòu)圖

表2 拓撲優(yōu)化數(shù)值結(jié)果

從上述結(jié)果可以看出，基于EDM的拓撲優(yōu)化與基于FEM的拓撲優(yōu)化的拓撲結(jié)構(gòu)基本一致，但是前者所需的迭代次數(shù)要少于后者。

以上兩個拓撲優(yōu)化案例證明了EDM的拓撲優(yōu)化運用上的有效性和準(zhǔn)確性，并且案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數(shù)要普遍少于基于FEM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數(shù)。

3 結(jié)束語

本文將基于5 節(jié)點單元的EDM 運用于拓撲優(yōu)化，并通過一系列數(shù)值案例進行數(shù)值仿真求解與分析?？梢缘玫饺缦陆Y(jié)論：

（1）案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化得到的拓撲結(jié)構(gòu)和基于FEM的拓撲優(yōu)化得到的基本一致；

（2）案例中基于EDM的拓撲優(yōu)化所需的迭代次數(shù)普遍要少于基于FEM的拓撲優(yōu)化；

（3）將EDM運用于拓撲優(yōu)化是可行且有效的。

盡管當(dāng)前的工作只是以少數(shù)的SIMP模型為例，但在將來基于EDM的拓撲優(yōu)化工作會拓展到其他不同的模型和其他類型的拓撲優(yōu)化方法中。