姜浩哲 汪曉勤

(華東師范大學教師教育學院 200062)

1 問題的提出

2017年6月，由美國數學及其應用聯合會(COMAP)、工業(yè)與應用數學學會(SIAM)聯合編寫的《數學建模教學與評估指南》一書中明確提出了“數學建模應當在學生數學教育的每一個階段都被教授”、“從學前到大學開展數學建模是可行的”等觀點[1].但是在目前各學段的數學教育中，現實情境通常以應用題的形式作為練習讓學生鞏固所學數學知識[2]，數學建模課程缺乏有效的組織形式和系統(tǒng)的教學資源，建模內容間也缺乏必要的聯系.

美國國家研究理事會(National Research Council，簡稱NRC)在研究中發(fā)現大多數課程內容的主題間缺乏連貫性和系統(tǒng)性，課程設計忽視了學生對同一主題的理解不斷提升和深化的過程，而重復、淺顯、間斷地學習某一主題會阻礙學生知識基礎的夯實[3].為此，NRC提出學習進階(Learning Progressions)(1)Learning Progressions與Learning Trajectories本質上具有一致性，因而在此可不做區(qū)分(參閱文獻[4]和[5]).有關概念，將其定義為“在一個較大時間跨度內(例如6至8年間)，學生對某一主題的思考和認識不斷豐富、精致和深入的一種過程”，旨在揭示學生在相當長時間內學習和研究某一主題思考、理解和實踐活動的認知發(fā)展：由淺入深、從簡單到復雜、從零散到全面、從低水平到高水平[5].學習進階為數學建模系統(tǒng)、一致、連貫地貫穿于不同學段數學課程和有效銜接相鄰學段間數學建模教學提供了科學方法.

在大、中、小學的數學課程內容中，常常出現一類關于如何將給定資源(如經濟資源、權力資源等)按一定的方案、要素或準則(如按比例要素等)分配給若干對象的問題.例如，在小學階段，《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確要求學生“在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題”[6]；在初中階段，用方程組解應用題中就有不少分配問題；在普通高中階段，分配問題會與古典概型有關內容相聯系；大學本科階段，席位分配問題往往是各類數學建模課程的重點內容.

在數學史上，分配問題自公元1世紀就引發(fā)了數學家的關注，并在此后的眾多實際運用中經歷了發(fā)展、完善和優(yōu)化的過程.我國古代數學名著《九章算術》中的衰分術詳細記載了古代農業(yè)、征役、行商中的按比例分配問題[7].17世紀，帕斯卡(B. Pascal, 1623—1662)與費馬(P. Fermat, 1601—1665)通信討論賭金分配的“點數問題”標志了概率論的誕生[8].1880年，美國眾議院的席位分配悖論產生后，亨廷頓(S. P. Huntington, 1927—2008)等數學家更是一度尋求新的分配方法和模型[9].

荷蘭學者Bakker認為，歷史現象學可以為建立和發(fā)展假設的學習進階(Hypothetical Learning Trajectories)理論提供準備[10].有鑒于此，我們希望以分配問題發(fā)展史為依據和參考建立假設的學習進階，使數學建模教學能圍繞主線、不斷深入，貫穿在小學至大學的課程中，與學生的認知發(fā)展齊頭并進.同時，教學設計從HPM視角切入，引導學生經歷分配問題逐漸復雜、數學模型逐漸完善的過程，既感受數學的歷史，感悟數學的文化，又加深對模型本質、建模過程的認識和理解.

2 教學設計

2.1 小學階段分配問題的教學設計

2.1.1問題引入

例1早在公元1世紀，我國古代數學名著《九章算術》中就記載了大量農業(yè)、征役、行商中的按比例分配問題，古人稱比例為“衰”，按比例分配為“衰分”.其中，有這樣一道關于分派徭役的問題：“今有北鄉(xiāng)算八千七百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六，凡三鄉(xiāng)，發(fā)徭三百七十八人，欲以算術多少衰出之.問各幾何？”

2.1.2方法歸納

教師進而向學生解釋：事實上，這就是一個簡單的數學模型，可以把數學模型理解為數字、字母或其他數學符號組成的，描述現實對象數量規(guī)律的數學公式、圖形或算法.

2.1.3思維拓展

教師展示《九章算術》中的問題答案：“北鄉(xiāng)遣一百三十五人、一萬二千一百七十五分人之一萬一千六百三十七；西鄉(xiāng)遣一百一十二人、一萬二千一百七十五分人之四千四；南鄉(xiāng)遣一百二十九人、一萬二千一百七十五分人之八千七百九.”并向學生提出以下思考拓展問題：

思考題1：《九章算術》的問題答案在數學上沒有任何問題，但是否符合實際？

思考題2：能否猜想古人實際會如何分派徭役？

思考題3：如果按照思考題2中你猜想的方法分派徭役，是否會對北鄉(xiāng)、西鄉(xiāng)或南鄉(xiāng)造成不公平？三鄉(xiāng)在理論上會因此分別多征派或少征派多少徭役人數？

在學生思考回答后，教師更進一步說明：由此可見，數學模型其實還是一種對實際問題的簡單化、理想化表達.

在上述教學設計中，教師運用了選自《九章算術》的一段史料，學生對數學模型開始有了最初步的認識.小學階段，大多數學生常常將數學模型理解為對現實問題復制式的數學表達，學生解決實際問題停留在直接運用教師幫助他們已經建立的數學模型，但數學史的運用使得學生發(fā)現數學模型不是現實原原本本的復制，而是數學化、理想化的產物，從對數學模型本質認識的層面上說，學習進階的萌芽已經出現.同時，從思維拓展部分中可以發(fā)現，教與學源于史料，但又不唯史料，教師引導學生發(fā)現數學史料中脫離實際的內容，培養(yǎng)他們的批判性思維，為后續(xù)的學習進階打下了認知基礎.

2.2 初中階段分配問題的教學設計

2.2.1新知傳授

教師教授學生運用方程組求解應用問題的一般步驟.

2.2.2例題解析

教師引導學生回顧：在6年級，學生曾學習和解決了公元1世紀《九章算術》中一類簡單的按比例分配問題.繼而指出，現實生活中的許多分配問題，其分配所依據的比例并不會直接給出，而是需要根據已知條件間接求得.

例2(改編自《九章算術》)假設漆與油的售價之比為3∶4；油與漆可按4∶5的比例和成油漆.現有銀兩正好能購買3斗漆，問：該按什么比例分配銀兩來分別購買漆與油，使購得的漆與油恰可以和成油漆？如果現有銀兩正好能購買n斗漆呢？

再指導學生作答.

隨后，教師再次引導學生回顧6年級時的按比例分配模型，發(fā)現例1的比例關系式同樣可由方程組得出：對于未知量X,Y,Z，有方程組

這時，教師向學生說明，兩類看似不同的問題本質實際上卻是統(tǒng)一的.

2.2.3課堂總結

課堂最后，教師指出，從簡單運用已建立的模型到根據一般步驟自主建立模型，這一階段的學習讓學生對數學建模有了更進一步的嘗試.再看數學模型，小學階段，數學模型曾被認為僅僅是用來解決實際問題的，它只是具有應用價值，但如今，教師引導學生發(fā)現，數學模型還是對現實情境的一種簡潔、清晰的表達，兩道例題中的寥寥幾個等式，卻有數行文字的內涵，這也很好地解釋了人們常說的“數學是一種語言”.

運用方程組求解應用問題是一個簡單的數學建模過程，在初中數學課堂，教師往往會教授學生運用方程求解應用問題的一般步驟，此時的數學建模有固定的模式和方法作為參照，但學生開始能夠獨立完成建立模型和求解模型這兩個十分重要的步驟.無論從數學建模的水平上，還是對數學模型的理解上，學生都完成了一次學習進階.

2.3 高中階段分配問題的教學設計

2.3.1問題引入

在學習了概率論的有關知識后，教師告訴學生其實概率論的起源也與分配問題有關.

例3賭技相當的甲、乙二人各出96金幣，規(guī)定必須要贏p場者才能贏得全部賭金共192金幣，但比賽中途因故終止，且此時甲乙勝局數為n:m.若你是仲裁者，請問此時應如何分配賭金，并說明理由.

教師要求學生根據小學和初中時期對數學模型的認識，以小組合作討論的形式，為甲和乙確定一種合理的分配方案，并求得分配結果.

2.3.2歷史展示

教師告訴學生，本題的背景就是17世紀帕斯卡和費馬通信往來中研究的賭金分配問題.教師指出：在歷史上，數學家們也對這個問題進行了激烈的討論，許多數學家都給出了自己的解答.教師向學生加以展示：

表1 賭金分配問題中的數學家解答

教師對上述方法依次作出解釋和評價.

2.3.3課堂總結

最后，教師作適當總結：與小學和初中所認識的應用數學模型解決實際問題不同，這一次，數學家們沒有直接得到數學模型，而是在逐步調整、修正模型過程中找到了真理.1654年，帕斯卡在他的《論算術三角形》中給出了正確的賭金分配問題一般公式，才結束了模型從錯誤到正確的漫長發(fā)展歷程.教師也向學生強調：數學模型其實并不唯一，無論是歷史上費馬、帕斯卡、惠更斯的方法，還是今天部分同學給出的直接計算甲、乙獲勝概率的方法，他們都是有理有據的正確模型.

高中階段，數學模型開始走向多元、開放，運用不同數學方法可以建立不同的模型，模型所聯系的知識點也不再單一.在對數學模型的理解上，通過數學史的融入，教師引導學生發(fā)現數學模型不是一蹴而就的，而是在數學家們不斷調整、修正中逼近真理的.同時，學生開始在沒有模式參照的情況自己探索建模方法，這是建模能力進階過程中的一個重要臺階.

2.4 大學本科階段分配問題的教學設計

2.4.1回顧歷史背景

教師引導學生回顧：在6年級時，學生曾研究過《九章算術》中一道關于分派徭役的按比例分配問題，當時學生曾在教師的引導下將數學模型理解為對現實情境問題的一種簡單化、理想化表達，知道《九章算術》給出的分配結果解答在實際生活中是不可能實現的.但是，數學模型從實際問題中來，終歸還是要回到實際問題中去，而這樣的分配難題在實際問題中似乎并不可以避免.表2是思考題2的一種常規(guī)解答，即參照慣例，可以把各鄉(xiāng)按比例分配后的徭役名額近似地保留一位小數，將無法細分的一個徭役名額分派至十分位數值最大的地區(qū).

表2 按照比例并參照慣例的徭役分派

2.4.2展示歷史上的悖論

教師指出，在歷史上，表2的解法也是漢密爾頓(A. Hamilton, 1755-1804)的想法，被稱為最大剩余法(Greatest Remainders，簡稱GR).事實上，1850年至1900年間，美國國會眾議院席位分配就多次出現了與公元1世紀《九章算術》中記載的相類似的情形，這種模型也被當時采用.但是，1880年，關于亞拉巴馬(Alabama)州的席位分配難題將GR法推上了風口浪尖：由于美國總人口數的增加，國會眾議院的總席位數從1787年的65逐漸增加到1920年的435，但是，亞拉巴馬州卻在該州人口占美國總人口比例不降低的情況下，因眾議院總席位增加分得的席位反而減少，這就是歷史上著名的席位悖論[9].教師用以下表格模擬這種情況.

表3 當總席位數增加時按照比例并參照慣例的席位分配

教師引導學生發(fā)現，A州的人口比例沒有發(fā)生變化，但當總席位增加1時，其分得的席位數反而減少了，并指出：這樣不公平的分配人們是難以接受的，更加不公平的問題還有！

表4 當人口數增加時按照比例并參照慣例的席位分配

教師再次解釋說明，B州的人口數增加卻比原來少了1席，A州的人口數未變卻比原來增加了1席！歷史上，GR法的這一重大缺陷稱之為人口悖論[9].

2.4.3新探歷史舊題

教師指出：由此可見，數學模型不能僅僅憑直覺或感性的認識構造，它必須包括嚴謹的數學論證，擁有嚴密的數學結構，數學模型必須要讓我們看到問題的本質.席位有可能無法按照人口比例精確分配，就有可能會出現不公平現象，但我們應該努力去尋找一種衡量不公平的數量指標，通過計算和比較數值大小把不公平度降到最低.在找到問題的突破口后，教師提到，學生曾在6年級思考題3中計算過三鄉(xiāng)在理論上分別多征派或少征派多少徭役人數，這其實就是一種衡量絕對不公平的指標.學生曾在初中學習了相對和絕對的概念，教師自然而然地引導學生借鑒并建立一種衡量相對不公平的指標.在學生適當討論后，教師介紹亨廷頓除數法席位分配模型基本構想.

2.4.4再現歷史解答

教師指出：高中時期，費馬、帕斯卡、惠更斯等數學家們都曾給出了賭金分配問題的精彩解答，學生第一次看到了數學文化的多元、開放與包容.在今天所學習的席位分配模型中，歷史上的許多數學家同樣曾“心有靈犀”地探尋過亨廷頓除數和不公平度的衡量指標[11].教師向學生展示表5.

實際上，早在6年級時，席位分配問題的雛形就已出現，教師曾通過引導學生關注“《九章算術》中也有脫離生活實際的內容”這一情況，為大學階段激發(fā)學生的認知沖突埋下了伏筆.重新審視席位分配模型，可以發(fā)現其實質就是《九章算術》中按比例分配模型在政治選舉領域優(yōu)化、發(fā)展、完善了的“進化體”，只是這樣的優(yōu)化、發(fā)展、完善過程聯系了更多的數學知識，需要有更高的數學水準、更強的應用能力.通過數學史的回憶、再現和演繹，教師加深了學生對數學模型本質的理解：數學模型不是單一、靜態(tài)、固定、一成不變、事先預制好的，而是多元、動態(tài)、開放、靈活多變的，當數學模型從一個領域轉移到另一個領域時，它就必須經歷修正、調整的過程以適應新的問題情境.同時，關于亨廷頓除數和不公平度的衡量指標建立，數學史上也再次呈現了“百花齊放”的格局，展現了多元文化的魅力.

3 數學史與學習進階的融合

縱觀從小學至大學的分配問題教學設計，數學史通過復制式、順應式和重構式融入數學教學，且教師在不同學段教學中運用的數學史既有相互照應、補充，也有相互抵觸、矛盾，既是為了與學生的認知發(fā)展相匹配，也是為了在創(chuàng)造學生認知沖突的過程中激發(fā)學生主動探索新知的欲望.而在數學史料和問題的不斷回顧、補充、對比中，學生的認知和元認知水平均能得到促進[12].實際上，數學史是在整體性重構后與學習進階相融合的，如表6所示.

表6 數學史與學習進階融合的方式

4 數學史與學習進階融合的價值

在分配問題的教學設計中，不僅融入數學史體現了“文化之魅”，而且融合了的數學史與學習進階還共同體現了“知識之諧”、“方法之美”、“探究之樂”、“能力之助”和“德育之效”.

4.1 文化之魅

當跨越了近20個世紀，來自亞洲、歐洲和美洲不同地域，且與經濟生活、社會生活等多個方面相聯系的分配問題發(fā)展歷史在教學中展現時，學生能充分感受到數學的“文化之魅”.

4.2 知識之諧

一方面，基于賭金、席位分配問題的歷史相似性或歷史上數學家們的認知引導學生發(fā)現和解決問題，使得學生理解和學習模型有關知識的過程變得自然而然、水到渠成；另一方面，基于學習進階的教學是依據學生的認知和理解而設計的，各學段的學習有賴于之前學段的知識內容，學生也能明白有關模型或知識不是“降落傘”從天而降，并親身經歷了知識不斷補充、發(fā)展、完善的過程，體現了“知識之諧”.

4.3 方法之美

一方面，歷史上眾多數學家們關于賭金、席位等分配問題或合理完美、或有待完善的思想與方法，都拓寬了教與學過程中師生的視野，成為了今天數學建模發(fā)展的寶庫.另一方面，分配問題的數學模型不斷發(fā)展、完善，并適用于更多全新的領域，其所聯系的數學方法也不斷增多.在學習進階中，不僅學生不同學段所學的許多或簡單、或復雜的思想與方法相互聯結在了一起，而且不同數學分支或領域的方法能有機統(tǒng)一地在分配問題教學中呈現，“方法之美”躍然于課堂之中，更全面、豐富、系統(tǒng)的知識網絡和體系也得以被學生深刻理解.

4.4 探究之樂

一方面，探究歷史問題時，學生既能因與歷史上數學家的解法相似而收獲成功體驗，也能基于歷史主動分析和改進數學家的錯誤并探索新的合理方法，在數學活動經驗的積累中收獲樂趣.另一方面，在學習進階中，教學始終圍繞分配問題不斷深入，學生經歷著從面對復雜問題到完善解決方案的循環(huán)過程，6年級時思考和解答的不完美更是成為了推動大學問題探究的直接動力.隨著問題情境的不斷發(fā)展，“探究之樂”也因而愈發(fā)濃烈.

4.5 能力之助

一方面，歷史問題有助于提升學生數學建模等核心素養(yǎng)[13]，數學史也為數學建模提供了真實的問題情境，而將真實情境數學化并檢驗不同模型實用性的數學建模和數學應用任務能有效發(fā)展學生一系列不同的數學能力[14].另一方面，學習進階為循序漸進地引導學生發(fā)展建模能力提供了科學依據.從簡單運用模型，到依固定步驟建立模型，再到獨立自主全過程建模；學生數學建模能力不是一蹴而就的，基于學習進階的教學也無疑成為“能力之助”.

4.6 德育之效

一方面，歷史上數學家們鍥而不舍追求真理的精神鼓舞了今天課堂中的學生；另一方面，基于學習進階的教學也促進了學生的道德發(fā)展.早在先秦時期，我國《論語·季氏》就記載了孔子“不患寡而患不均”的政治主張，公平公正一直以來都是倫理道德的核心范疇.從按比例分配到席位分配，學生由依照和執(zhí)行公平分配方案向研究和制定公平分配方案逐漸轉變.當面對的現實問題越發(fā)復雜時，教師幫助學生加深了對于公平實質的認識和感悟，潛移默化的“德育之效”也由此達成.