史婷婷， 張順利

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院 陜西 西安 710127)

0 引言

非線性發(fā)展方程可以用來描述等離子體物理、非線性光學(xué)、流體力學(xué)等許多物理現(xiàn)象。為了更好地理解這些物理現(xiàn)象的本質(zhì)，尋找非線性發(fā)展方程的相關(guān)解就顯得尤為重要。文獻(xiàn)[1]通過Painlevé截?cái)嗾归_法提出了留數(shù)對(duì)稱定理。同時(shí)，為了得到更多非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征，文獻(xiàn)[2]提出了一致的Riccati展開(CRE)法，在此基礎(chǔ)上，不僅可以明確非線性系統(tǒng)的可積性，還可以構(gòu)造孤子與其他多種非線性波之間的相互作用解[3-5]。本文主要對(duì)修正Broer-Kaup-Kupershmidt(MBKK)方程[6]

(1)

進(jìn)行了研究。MBKK方程是由(2+1)維BKK方程[7]當(dāng)y=x時(shí)改寫得到的。BKK方程是描述非線性和色散長(zhǎng)重力波在淺海水平方向均勻深度的模型,MBKK方程則主要用于描述淺水波的運(yùn)動(dòng)。目前,已有文獻(xiàn)主要針對(duì)BKK方程進(jìn)行研究,而對(duì)MBKK方程的研究較少,如文獻(xiàn)[8]用Hirota方法把非線性方程化為雙線性方程,然后通過攝動(dòng)法尋找其精確解。本文首先用Painlevé分析法[9]研究MBKK方程的留數(shù)對(duì)稱和相應(yīng)的有限變換，其次用CRE方法得到MBKK方程的新的相互作用解。

1 MBKK方程的非局域留數(shù)對(duì)稱及其局域化

由MBKK方程(1)的非線性項(xiàng)與色散項(xiàng)的平衡，可得其Painlevé截?cái)嗾归_[10]為

(2)

式中：u0、u1、v0、v1、φ均為x和t的函數(shù)。將方程(2)代入方程(1)，取1/φ的各次冪系數(shù)為0，可得

(3)

φ滿足方程(1)的Schwartzian形式，即

2Cxx-Sx=0,

(4)

方程(4)在M?bious變化

(5)

下保持不變，這表示方程(4)擁有σφ=a、σφ=bφ和σφ=cφ2三種對(duì)稱，將方程(2)代入方程(1)，可得定理1。

定理1(B?cklund變換定理) 若φ是方程(4)的解，則

(6)

為了將留數(shù)對(duì)稱局域化[11]，引入輔助變量g=g(x,t)，利用表達(dá)式

g=φx，

(7)

則方程(1)的非局域留數(shù)對(duì)稱被局域化為延拓系統(tǒng)(1)、(6)、(7)的Lie點(diǎn)對(duì)稱，即

(8)

相應(yīng)的Lie點(diǎn)對(duì)稱的向量場(chǎng)表達(dá)式為

(9)

由Lie的第一基本定理，解如下的初值問題：

(10)

可得Lie點(diǎn)對(duì)稱(9)的有限對(duì)稱變換為

(11)

式中：ε是任意群參數(shù)。

2 MBKK方程的CRE可解與新的精確解

根據(jù)CRE方法[12]，方程(1)有如下的截?cái)嗾归_式：

(12)

式中：ω=ω(x,t)；R(ω)是Riccati方程

Rω=l0+l1R+l2R2

(13)

的解,l0、l1、l2為任意常數(shù),R=R(ω)。

且ω滿足方程

(14)

為求相互作用解，可設(shè)相容性方程(14)的解的具體形式為

ω=k1x+p1t+W(X)；X=k2x+p2t。

(15)

將式(15)代入式(14)，得到橢圓方程

(16)

式中：

(17)

其中C2,k1,k2,p2為任意常數(shù)。則MBKK方程(1)的解有如下形式：

(18)

下面通過2個(gè)例子來具體給出MBKK方程的孤立波與橢圓周期波之間的相互作用解。

例1取橢圓函數(shù)方程(16)的解為

W=cEπ(sn(k2x+p2t,m),n,m),

(19)

式中：sn(q,m)為橢圓函數(shù)；Eπ為第三類不完全橢圓積分。取l0=-1,l1=0,l2=-1,此時(shí)Riccati方程的解為R(ω)=cot(ω)。

將R(ω)=cot(ω)和式(19)代入式(18)，可得MBKK方程的相互作用解為

式中：S=sn(k2x+p2t,m)；C=cn(k2x+p2t,m)；D=dn(k2x+p2t,m)。

將式(15)和式(19)代入方程(14)，利用Maple軟件解超定方程可得：c、m、k1、k2、p1、p2為任意常數(shù)，n=0。

圖1為例1中u,v相互作用解的波形圖,圖2為x=0時(shí)u,v的平面周期波解結(jié)構(gòu)。參數(shù)選擇如下：{c=-0.553 931 451 6,m=0.9,n=0,k1=1,k2=1,p1=2,p2=2}?？梢钥闯?解u,v分別具有多個(gè)不在同一平面上的波峰和波谷，且這些波峰和波谷的凹陷程度不同。

圖1 例1中u,v相互作用解的波形圖Figure 1 Waveform of the solutions of u and v in sample 1

圖2 例1中x=0時(shí)u,v的平面周期波解結(jié)構(gòu)Figure 2 The structure of plane periodic wave solutions of uand vat x=0 in sample 1

圖3為例2中u,v相互作用解的波形圖,圖4為x=0時(shí)u,v的平面周期波解結(jié)構(gòu)。參數(shù)選擇如下：{n=0.568,k1=0.4,k2=0.2,p1=0.8,p2=0.4}?？梢钥闯?，解u,v分別具有多個(gè)波峰和波谷，且波峰和波谷的凹陷程度不同。

圖3 例2中u,v相互作用解的波形圖Figure 3 Waveform of the solutions of u and v in sample 2

圖4 例2中x=0時(shí)u,v的平面周期波解結(jié)構(gòu)Figure 4 The structure of plane periodic wave solutions of u and v at x=0 in sample 2

3 結(jié)束語(yǔ)

由Painlevé截?cái)嗾归_法得到MBKK方程的留數(shù)對(duì)稱,并通過引入合適的新變?cè)獙⑵渚钟蚧癁長(zhǎng)ie點(diǎn)對(duì)稱,在此基礎(chǔ)上,利用Lie的第一基本定理研究了延拓系統(tǒng)的有限變換。最后,用CRE方法獲得了MBKK方程的相互作用解。為了更好地研究解的性質(zhì),通過選取適當(dāng)?shù)膮?shù),給出了解的相應(yīng)圖形。