盧會玉

(甘肅省嘉峪關(guān)市第一中學(xué) 735100)

以平面向量模長為背景的綜合題，通常與函數(shù)、不等式、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識點結(jié)合考查，能綜合考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，能有效考查學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能，體現(xiàn)了高考在知識點交匯處命題的思想，是高考的熱點，也是難點. 解決這類問題的關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意，恰當(dāng)?shù)貙栴}等價轉(zhuǎn)化為解析幾何中的模型，或者函數(shù)或不等式求最值等問題進(jìn)行求解.

正因為向量既有“數(shù)”，又有“形”的雙重身份，所以數(shù)形結(jié)合法是解決平面向量模長問題的常見方法．而坐標(biāo)法作為學(xué)生非常熟悉的方法，自然而然成為了平面向量模長的解題利器，這也是一種將幾何問題代數(shù)化的典范.

一、已知向量坐標(biāo)求模長的問題

已知向量坐標(biāo)求模長的問題常與二次函數(shù)的最值或者三角函數(shù)的范圍有關(guān)，運(yùn)算正確即可.

例1已知向量a=(1-t,t),b=(2,3)，則|a-b|的最小值為( ).

故選C.

二、已知條件中有明顯垂直關(guān)系的模長問題

有一類在已知條件中有明顯的垂直關(guān)系的問題，比如已知矩形、數(shù)量積為零等等. 這類問題很多學(xué)生是可以想到用坐標(biāo)法的，建立直角坐標(biāo)系后，剩余的問題就是運(yùn)算.

圖1

圖2

例5已知a,b是單位向量，a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的最大值是____．

解析因為a,b是單位向量，且a·b=0，所以可設(shè)a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),則c-a-b=(x-1,y-1).由|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1，即(x,y)的軌跡是以(1,1)為圓心，半徑為1的圓.

解析由題意可知，不妨以A坐標(biāo)原點，AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(3,0),C(0,4).

故選D.

三、已知條件中未出現(xiàn)明顯垂直關(guān)系的模長問題

已知條件中未給出明顯垂直關(guān)系的問題是比較常見的，那么如何透過現(xiàn)象，找到建立直角坐標(biāo)系的契機(jī)，這就需要認(rèn)真分析題目已知條件，難度較大.

A. 3 B. 4 C. 8 D. 16

故選B.

A．6 B．7 C．8 D．9

故選B.

圖3

例11已知向量a,b，且|b|=2，b·(2a-b)=0，則|tb+(1-2t)a|(t∈R)的最小值為____．

平面向量問題總是給人一種“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”的感覺，但是不論平面向量問題是以何種方式呈現(xiàn)，不論和哪些知識進(jìn)行交匯，首先應(yīng)該去思考能否進(jìn)行坐標(biāo)法解答. 坐標(biāo)是向量進(jìn)行代數(shù)化的中傳媒介,通過向量的坐標(biāo)表示可將向量問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.而坐標(biāo)是需要借助于直角坐標(biāo)系的，所以對于某些平面向量問題,若能建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,就可以使圖形中復(fù)雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為簡單直接的代數(shù)關(guān)系.雖然存在運(yùn)算問題，但是大大減少了推理過程,有效地降低思維量,起到事半功倍的效果．

上述問題幾乎都是通過建立坐標(biāo)系將向量問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與不等式問題求解,體現(xiàn)了向量解題的工具性. 建立直角坐標(biāo)系的原則是能準(zhǔn)確快捷地表示有關(guān)向量或點的坐標(biāo)，正確找到變量間的關(guān)系，以及正確分析目標(biāo)函數(shù)代表的幾何意義．