陳永志

(黑龍江省大慶市大慶實驗中學 163316)

在近年的模擬題、高考題、自主招生題或競賽題中，經(jīng)常會碰到求解多變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題，特別是雙變元代數(shù)式的最值或取值范圍問題．此類問題往往難度較大，思維方式多變，求解方法多樣.

一、問題呈現(xiàn)

問題已知3=a2+c2-ac，則c+2a的最大值為____.

本題是一道雙變元在已知條件下，相應的代數(shù)式的最值的求解問題．這類問題一直受備命題者的青睞．通過認真審視這道試卷，在不同視角下，得到了該題的不同解題思維與對應的精彩解法．

二、多解探究

思維角度1(判別式法1)設出所要求解的代數(shù)式c+2a=t，通過參數(shù)的轉化代入已知的代數(shù)關系式建立關于某個字母的二次方程，結合二次方程的判別式法來確定參數(shù)t的取值范圍，達到求解的目的．

解法1 設c+2a=t，則有c=t-2a.

由a2+c2-ac=3，可得a2+(t-2a)2-a(t-2a)=3，整理可得7a2-5ta+t2-3=0.

思維角度3 (基本不等式法)結合條件，利用配方公式以及基本不等式加以轉化，進而確定代數(shù)式(c+2a)2的取值范圍，通過求解二次不等式來確定相應代數(shù)式的最值問題．

解法3 由a2+c2-ac=3，則有3=a2+c2-ac=(c+2a)2-3a2-5ac，

思維角度4 (三角換元法)根據(jù)已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化，利用三角換元思維引入?yún)?shù)，得到a、c的三角表達式，進而代入所求代數(shù)式c+2a，利用三角恒等變換，結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定其相應的最值問題．

思維角度5 (柯西不等式法)根據(jù)已知關系式a2+c2-ac=3加以轉化，結合所求代數(shù)式c+2a，配湊相應的系數(shù)，結合柯西不等式加以確定對應的關系式，再通過求解二次不等式來確定相應代數(shù)式的最值問題．

當我們解完一道題以后，要不斷領悟反思，多角度切入進行深度挖掘，從而達到觸類旁通、一題多解的效果．而通過典型模擬題實例的一題多解，可以使得我們的解題思路更加開闊，數(shù)學知識的掌握更加熟練，同時思維拓展，妙法頓生，提高解題速度，培養(yǎng)發(fā)散思維能力，有助于激發(fā)我們學習的主動性、積極性和趣味性，從而全面提高我們的知識水平和思維能力．