洪汪寶

(安徽省安慶市第一中學(xué) 246004)

題目在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為____.

本題是2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷填空題第13題，題干條件簡(jiǎn)潔，題意清楚，目標(biāo)明確，主要考查解三角形，將解三角形與不等式巧妙地結(jié)合起來(lái)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.因?yàn)闂l件中已知三角形的一個(gè)內(nèi)角大小及其內(nèi)角平分線長(zhǎng)，三角形并不能唯一確定，所以等量關(guān)系中蘊(yùn)藏不等關(guān)系.對(duì)于這樣的解三角形問(wèn)題，通常有兩個(gè)方向，一是將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)；二是建立邊之間的等量關(guān)系.下面讓我們一起來(lái)按兩個(gè)不同方向分步求解本題.

一、轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)

第一步：將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)

第二步：求有關(guān)三角函數(shù)的最小值

二、建立邊之間的等量關(guān)系

鑒于上面轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)的解法過(guò)程非常繁瑣，勢(shì)必影響我們思考能否先建立邊a,c的等量關(guān)系，再來(lái)求4a+c的最小值，整個(gè)過(guò)程分成兩大步，明確了解題方向，下面我們來(lái)分步求解.

第一步：建立等量關(guān)系a+c=ac

1.坐標(biāo)法

2.利用內(nèi)角平分線的性質(zhì)

3.向量法

4.面積法

5.平面幾何法

點(diǎn)評(píng)上面從多個(gè)不同角度來(lái)挖掘邊a與c之間的等量關(guān)系，其中比較而言，利用面積法最簡(jiǎn)單，雖然S△ABD+S△CBD=S△ABC是非常明顯的結(jié)論，但不易被學(xué)生發(fā)現(xiàn)；作平行線構(gòu)造等邊三角形和相似三角形這種平面幾何法，其運(yùn)算過(guò)程也相對(duì)比較簡(jiǎn)單.

第二步：求4a+c的最小值

1.利用均值不等式

2.利用柯西不等式

3.利用判別式法

點(diǎn)評(píng)用重要不等式求最值關(guān)鍵在于配湊，法1先消元，再配湊運(yùn)用均值不等式；法2直接利用“1”的代換，整體配湊；法3運(yùn)用柯西不等式時(shí)也要湊形式；法4運(yùn)用判別式來(lái)求解，體現(xiàn)了方程思想，不過(guò)要注意等號(hào)成立的條件.

通過(guò)以上解法的探究，啟示我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要認(rèn)真研究高考真題，要學(xué)會(huì)將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行分解，化整為零，學(xué)會(huì)從多個(gè)角度對(duì)同一問(wèn)題進(jìn)行分析，做到一題多解，提高思維的發(fā)散性，弄清問(wèn)題的本質(zhì)和問(wèn)題解決的關(guān)鍵所在，學(xué)會(huì)突破解題瓶頸.只要我們解題時(shí)做到心中有目標(biāo)，就可以分步求解，各個(gè)擊破.