王 鵬

(江蘇省徐州市銅山區(qū)鄭集鎮(zhèn)鄭集高級(jí)中學(xué) 221143)

函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)知識(shí)的一項(xiàng)重要板塊，在生活形態(tài)中屬于量與量之間的變換，能夠?yàn)槠渌R(shí)學(xué)習(xí)提供向?qū)ё饔?為此，利用函數(shù)思想優(yōu)化學(xué)生解題過(guò)程，提高解題能力，不僅是實(shí)現(xiàn)函數(shù)思想滲透的一種關(guān)鍵途徑，更是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大特色與魅力.

一、函數(shù)思想相關(guān)分析

函數(shù)是數(shù)學(xué)的基本概念，是函數(shù)思想發(fā)展的基礎(chǔ).因此，教師在應(yīng)用函數(shù)思想輔助解題時(shí)，必須充分了解函數(shù)有關(guān)定義及性質(zhì)，具體包括周期函數(shù)、單調(diào)遞增/遞減函數(shù)、奇/偶函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)(如圖1)、對(duì)數(shù)函數(shù)(如圖2)等，在此基礎(chǔ)上體會(huì)函數(shù)思想.

在高中數(shù)學(xué)中，許多知識(shí)中都體現(xiàn)了函數(shù)思想，包括方程、不等式、線性規(guī)劃、隨機(jī)變量、算法等，可謂是無(wú)處不在.在解題教學(xué)中，教師要注重分析不同知識(shí)與函數(shù)之間的關(guān)系，尋求函數(shù)思想運(yùn)用的切入點(diǎn).

二、函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用過(guò)程

1.引用函數(shù)單調(diào)性，求解不等式問(wèn)題

函數(shù)與不等式屬于兩個(gè)性質(zhì)完全不同的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，它們卻有著密切的聯(lián)系.不等式性質(zhì)很大程度上反映了函數(shù)單調(diào)性.因此，在解題教學(xué)中，教師可以利用函數(shù)思想引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)審視不等式，更好地把握不等式本質(zhì)特征.為此，在筆者看來(lái)，不等式中最值與恒成立問(wèn)題是函數(shù)思想滲透的切入點(diǎn).相關(guān)例題如下：

例1對(duì)任意x∈[-1,1],f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值大于零恒成立，求a的取值范圍.

2.引入函數(shù)解析式，求解數(shù)列問(wèn)題

高中階段學(xué)習(xí)的等比、等差數(shù)列本就是一類(lèi)自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，與函數(shù)思想有著密切的聯(lián)系，不同的數(shù)列問(wèn)題中無(wú)形中會(huì)隱藏著函數(shù)的某種特征.利用函數(shù)思想求解數(shù)列問(wèn)題也是歷年高考中的重點(diǎn)考題.利用函數(shù)思想求解數(shù)列問(wèn)題的途徑有很多，比如求解等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題時(shí)，可以將Sn看做關(guān)于n的二次函數(shù)，運(yùn)用配方法，引入函數(shù)單調(diào)性知識(shí)解決問(wèn)題.為了從“形”上幫助學(xué)生充分認(rèn)識(shí)函數(shù)思想與數(shù)列知識(shí)之間的關(guān)系，本節(jié)以函數(shù)解析式的運(yùn)用為例，分析相關(guān)數(shù)列問(wèn)題的求解.

例2已知a1=1,a2=a3=a4=0,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

3.引入函數(shù)與方程聯(lián)系，求解零點(diǎn)問(wèn)題

函數(shù)思想是處理“數(shù)學(xué)型”問(wèn)題的一種思維方法，描述的是現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)量之間的變化關(guān)系.在問(wèn)題解決中，從實(shí)際情境中建立對(duì)應(yīng)函數(shù)模型，運(yùn)用函數(shù)基本知識(shí)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.方程類(lèi)知識(shí)在教學(xué)中也孕育了函數(shù)思想，它的本質(zhì)在于研究問(wèn)題在運(yùn)動(dòng)中的等價(jià)關(guān)系，一般情況下習(xí)慣首先明確給出的未知量與已知量之間關(guān)系，通過(guò)構(gòu)建方程或方程組，由未知量推導(dǎo)出已知量.雖然兩者看起來(lái)本質(zhì)不同，但在實(shí)際操作中常?；ハ酀B透，函數(shù)間的關(guān)系與方程之間可以互相轉(zhuǎn)換.

例3已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2-x(a∈R)，討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)情況.

通過(guò)審題發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f(x)并不是所熟悉的函數(shù)模型，解析式包括對(duì)數(shù)、冪函數(shù)，此時(shí)需要首先確定函數(shù)定義域x∈(0,+).接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)原函數(shù)進(jìn)行變形，變?yōu)閒(x)=x(lnx-ax-1)(a∈R)，同時(shí)用g(x)表示“l(fā)nx-ax-1”，二次變形為f(x)=xg(x).因?yàn)閤≠0，因此對(duì)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的討論可以轉(zhuǎn)為對(duì)函數(shù)g(x)零點(diǎn)情況的討論.解題過(guò)程進(jìn)行到這一步時(shí)，引入函數(shù)思想中與方程之間的聯(lián)系，將對(duì)g(x)零點(diǎn)的討論等價(jià)轉(zhuǎn)化為討論方程lnx-ax-1=0的根的情況.但方程仍然不是我們熟悉的方程，此時(shí)可以重新從函數(shù)角度進(jìn)行審視，將方程轉(zhuǎn)化為的形式，求解與y=a交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而得出原函數(shù)f(x)的零點(diǎn)情況.

綜上所述，函數(shù)思想在高中解題過(guò)程中的運(yùn)用，不僅展現(xiàn)了函數(shù)知識(shí)與其它板塊知識(shí)之間的聯(lián)系，還為解題提供了新思路，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，提高解題能力.為此教師要重視函數(shù)思想的滲透，優(yōu)化解題過(guò)程.