梁 猛,任 新

(西安郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院,西安 710121)

0 引 言

信號在光纖傳輸過程中會(huì)受到衰減、色散和非線性效應(yīng)等影響,最終限制了傳輸容量。非線性薛定諤方程(Nonlinear Schrodinger Equation,NLSE)描述了信號在光纖中傳輸?shù)膹?fù)包絡(luò)特性。為了研究NLSE,1972年,Zakharov等人在一個(gè)空間維度上找到了一個(gè)Lax對,并建立了Lax對方程[1]；在此基礎(chǔ)上,Yousefi等人在2014年提出了一種用于解決光纖通信中色散和非線性的方法,即非線性傅里葉變換(Nonlinear Fourier Transform,NFT)法[2-4],NFT也稱為逆散射變換(Inverse Scattering Transform,IST),在IST理論體系中,與NLSE相關(guān)的狄拉克型方程的特征值是不變的,NFT理論用連續(xù)和離散的非線性傅里葉譜表示信號,并且可以通過光路復(fù)用產(chǎn)生高階孤子的傳輸[5]；2015年,Zhen等人提出了基于NFT的非線性頻分復(fù)用傳輸[6]；2017年,Tao等人提出了一種基于NFT的光通信替代譯碼的方法[7]。但國內(nèi)外幾乎沒有關(guān)于特征值優(yōu)化的研究。

本文介紹了NFT理論推導(dǎo)和變換過程,并通過仿真軟件對特征值通信進(jìn)行了驗(yàn)證,在此基礎(chǔ)上對特征值的選取范圍進(jìn)行了優(yōu)化,進(jìn)一步在優(yōu)化特征值算法中對修正系數(shù)有了新的設(shè)定,演示了不同情況下解調(diào)出的離散特征值。仿真結(jié)果證明,特征值通信能在傳輸2 000 km的距離內(nèi)很好地恢復(fù)發(fā)送信號。

1 NFT理論基礎(chǔ)

1.1 NFT理論

用于描述光信號在光纖中傳播的標(biāo)準(zhǔn)歸一化NLSE可表示為

式中:j為虛數(shù)；q(t,λ)、t和z分別為信號、時(shí)間和距離的歸一化系數(shù)；λ為NLSE的特征值。對NLSE進(jìn)行NFT變換,可得到Zakharov-Shabat系統(tǒng)[2],即

式中:q*(t,λ)為信號q(t,λ)關(guān)于特征值λ的共軛對稱信號；P(λ,q(t,λ))為Lax運(yùn)算符中的P算子[2]；v(t,λ)為特征向量,該特征向量為一個(gè)2×1的矩陣,令v(t,λ)=[v1(t,λ),v2(t,λ)]T,則v1(t,λ)和v2(t,λ)分別為v(t,λ)中的兩個(gè)特征向量分量。

設(shè)v(t,λ)=[v1(t,λ),v2(t,λ)]T為式(2)在邊界條件lti→m∞v(t,λ)=e-jλt下 的 一 組 解,令a(λ)=(t,λ)ejλt,b(λ)=(t,λ)e-jλt,其 中a(λ)和b(λ)稱為非線性傅里葉系數(shù),可得出信號q(t,λ)的NFT表達(dá)式為

式中:^q(λ)為 連 續(xù) 譜；~q(λk)為 離 散 譜；a'(λk)為a(λk)的導(dǎo)數(shù)；λk為信號q(t,λ)的第k個(gè)特征值；N為信號q(t,λ)包含特征值的個(gè)數(shù)。由式(3)可知,信號q(t,λ)的NFT由連續(xù)和離散譜兩部分組成。

NFT有解析和數(shù)值法兩種方法。解析法只能在矩形脈沖等少數(shù)波形中使用,具有一定的局限性,而數(shù)值法則適用于所有的波形。數(shù)值法通常使用Newton-Raphson搜索算法對特征值進(jìn)行求解[3]。

以矩形脈沖和高斯脈沖為例。解析法只能求出矩形脈沖的連續(xù)和離散譜,而數(shù)值法可求出矩形脈沖和高斯脈沖非線性譜,文獻(xiàn)[2]中求出了矩形脈沖為脈沖的幅度)分別在A=2和6時(shí)的NFT連續(xù)譜和離散特征值圖像。

選取數(shù)值法中的The Ablowitz-Ladik Discretization法和Newton-Raphson搜索算法求高斯脈沖q(t,λ)=A e,式中:T為脈沖持續(xù)時(shí)間；T0為初始脈沖持續(xù)時(shí)間。圖1所示為A=1和2時(shí)的NFT連續(xù)譜和離散特征值關(guān)系圖,解析法則不能求出該函數(shù)的非線性譜。

圖1 NFT連續(xù)譜和離散特征值關(guān)系圖

1.2 達(dá)布變換

達(dá)布變換(Darboux Transformation,DT)能夠以遞歸的方式構(gòu)造多孤子信號。設(shè)q(t,λ1,λ2,…,λk)為多孤子信號,且φ(t,λk+1)=[φ1,φ2]T為式(2)的解,則可構(gòu)造新的信號為

圖2 特征值波形

2 系統(tǒng)模型

從理論上講,光譜域中的4個(gè)自由度都可進(jìn)行調(diào)制,即特征值的虛部產(chǎn)生歸一化的振幅并調(diào)節(jié)脈寬；第2自由度是特征值的實(shí)部,調(diào)節(jié)頻率偏移；第3和4自由度分別是離散譜的相位和振幅,它們分別改變了孤子的相位和位置。本文采用調(diào)制特征值虛部的方式來進(jìn)行信號傳輸。系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)框圖

第1步,建立特征值與發(fā)送碼元的對應(yīng)關(guān)系。本文在驗(yàn)證過程中選取λ1和λ2兩個(gè)特征值,發(fā)送端由純虛數(shù)[8]特征值結(jié)合DT合成傳輸信號,用λ1合成的信號調(diào)制發(fā)送碼元0,用λ2合成的信號調(diào)制發(fā)送碼元1。信號通過光調(diào)制器產(chǎn)生適合在光纖中傳輸?shù)墓庑盘枴?/p>

第2步,信道由n段光纖和EDFA構(gòu)成,發(fā)送端傳來的光信號經(jīng)過一段距離的光纖后放大進(jìn)入接收端。

第3步,接收端由光濾波器、光檢測器和NFT模塊構(gòu)成,經(jīng)信道傳來的光信號經(jīng)過濾波和檢測后,由Newton-Raphson搜索算法解調(diào)出相應(yīng)的特征值,從而解調(diào)出相應(yīng)的傳輸碼元[8]。

圖4 幅度對特征值的影響

3 影響特征值的因素

3.1 脈沖幅度對特征值的影響

在無信道條件下,用Newton-Raphson搜索算法解調(diào)不同幅度的孤子波形,由圖4可知,脈沖幅度變大時(shí),解調(diào)出的特征值增大,近似為線性變化。當(dāng)信號經(jīng)過信道后,會(huì)受到色散和噪聲的影響,為了更準(zhǔn)確地解調(diào)特征值,應(yīng)對幅度進(jìn)行修正。修正過程為,首先對接收信號進(jìn)行歸一化處理,然后恢復(fù)原始幅度,進(jìn)一步引入修正系數(shù),最后得到的信號為

式中:q'為修正后的信號；β為信號歸一化后理論上恢復(fù)原始幅度的系數(shù)；因?qū)嶋H中受到噪聲的影響并不能很好地恢復(fù)原始幅度,所以引入α為信號q的修正系數(shù),修正系數(shù)隨著傳輸距離m的改變而改變。為了精確解調(diào)出特征值的大小,通過實(shí)驗(yàn)得到一系列α的具體值,表1給出了λ=0.2j、0.5j、0.8j和1.0j時(shí)在不同m下的α取值。

表1 α在不同m下的取值

在傳輸過程中,信號受到色散影響,接收到的波形會(huì)發(fā)生畸變,引起相位偏移,從而導(dǎo)致表1中的修正系數(shù)α隨著傳輸距離m的增大而減小。

3.2 脈沖持續(xù)時(shí)間對特征值的影響

無信道條件下,用Newton-Raphson搜索算法解調(diào)不同脈沖持續(xù)時(shí)間的波形,得到的結(jié)果將有所差異。若脈沖持續(xù)時(shí)間選的不好,很有可能導(dǎo)致結(jié)果出錯(cuò),圖5仿真了采樣點(diǎn)為256時(shí)不同特征值下的最佳脈沖時(shí)間,在此情況下,特征值能夠被很好地恢復(fù)。若減小特征值對應(yīng)的脈沖持續(xù)時(shí)間,會(huì)造成信息缺失。由圖可知,脈沖持續(xù)時(shí)間對特征值的影響較為明顯。

3.3 采樣點(diǎn)數(shù)對特征值的影響

采樣點(diǎn)數(shù)對特征值的影響在一定程度上變化較小,基本規(guī)律為采樣點(diǎn)數(shù)越多效果越好。但考慮到硬件實(shí)現(xiàn)和減少計(jì)算復(fù)雜度,采樣點(diǎn)數(shù)的選擇應(yīng)遵循以下規(guī)律:在幾乎不影響解調(diào)的前提下,采樣點(diǎn)數(shù)越少,計(jì)算復(fù)雜度越低,硬件越容易實(shí)現(xiàn)。圖6所示為采樣點(diǎn)數(shù)和誤差之間的關(guān)系(誤差指經(jīng)過NFT解調(diào)后的特征值和原始特征值之間的差值)。由圖可知,當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)為256時(shí),誤差控制在10-2以內(nèi),該采樣點(diǎn)數(shù)可作為仿真實(shí)驗(yàn)的采樣點(diǎn)數(shù)。

圖6 采樣點(diǎn)數(shù)和誤差的關(guān)系圖

總的來說,影響特征值的因素主要有脈沖的幅度、脈沖持續(xù)時(shí)間以及采樣點(diǎn)數(shù)。相比于脈沖的幅度和脈沖持續(xù)時(shí)間,采樣點(diǎn)數(shù)對特征值的影響相對較小。對于單孤子脈沖而言,特征值影響因素只能改變特征值大小,不改變特征值個(gè)數(shù)。圖7所示為影響特征值的各因素變化與造成誤差的關(guān)系圖,為了確保采樣點(diǎn)數(shù)幾乎不影響整體解調(diào)性能,選取采樣點(diǎn)數(shù)為1 000,由圖可知,特征值不宜過大也不能太小,最佳選擇在0.1j～j之間。

圖7 誤差圖

在傳統(tǒng)的特征值通信中,發(fā)送端用DT或非線性傅里葉逆變換(Inverse Nonlinear Fourier Transform,INFT)理論合成發(fā)送波形或在信道傳輸孤子波形,通過信道后,接收端用NFT理論求解特征值。但孤子波形對特征值的要求較高,不具有普遍性。而在特征值通信中,不同特征值組合通過信道后結(jié)果不同,傳輸距離受限。傳統(tǒng)方法沒有對特征值的影響因素作深入分析,也沒有提出修正系數(shù)α的概念,引入α后不僅提高了傳輸距離,更能在很大程度上降低誤碼率。

在Matlab軟件仿真系統(tǒng)中,采樣點(diǎn)數(shù)越多,結(jié)果越精確,但硬件實(shí)現(xiàn)難度大。傳統(tǒng)方法沒有提到采樣點(diǎn)數(shù)和特征值之間的關(guān)系,由圖6和7可知,采樣點(diǎn)數(shù)和誤差的關(guān)系是減小硬件復(fù)雜度的主要依據(jù)。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)采用圖3所示的系統(tǒng)框圖,采用Matlab和Optisystem軟件進(jìn)行仿真。參數(shù)設(shè)置為:入纖光功率為0；二階色散系數(shù)β2=16 ps/nm/km；非線性系數(shù)γ=3×10-19m2/W；光纖線性衰減系數(shù)a=0.2 dB/km；噪聲為高斯白噪聲；采樣點(diǎn)為256；傳輸速率為1 Gbit/s。傳輸鏈路中每段光纖長50 km,即信號每經(jīng)過50 km光纖連接一個(gè)EDFA,放大器增益為10 d B,噪聲為5 d B。

4.2 仿真結(jié)果分析

通過大量實(shí)驗(yàn)仿真發(fā)現(xiàn),一般情況下解調(diào)的特征值不能恢復(fù)到初始特征值,傳統(tǒng)的特征值通信在不引入修正系數(shù)α的條件下,傳輸距離有限,以λ1=0.5j、λ2=1.0j為例,由圖8可知,傳輸距離為250 km時(shí)基本能解調(diào)出兩個(gè)特征值。誤碼率為0.002、傳輸距離為1 000 km時(shí),解調(diào)出的特征值出現(xiàn)了嚴(yán)重的混疊現(xiàn)象,誤碼率大概為0.25。由此可知,在特征值為λ1=0.5j、λ2=1.0j的情況下,800 km基本為此時(shí)的極限距離。圖9所示為入纖光功率為0 dBm的條件下,1 000 km內(nèi)不同距離下的誤碼率。由圖可知,800～900 km后誤碼率增加至10-1量級。

圖8 特征值隨傳輸距離的變化

圖9 0 dBm入射光功率時(shí)誤碼率隨傳輸距離的變化

但引入修正系數(shù)α后,能很好地區(qū)分開兩個(gè)不同的特征值。在解調(diào)特征值的算法中,信號q的修正系數(shù)α隨著特征值的大小和傳輸距離的改變而改變。將表1中的α取值代入系統(tǒng)可清晰地區(qū)分出λ1=0.2j、λ2=0.8j和λ1=0.5j、λ2=1.0j兩種情況下,1 kbit信息在2 000 km距離傳輸?shù)奶卣髦底兓闆r。圖10仿真了兩種特征值取值隨傳輸距離的變化情況?？梢钥闯?α在表1下的取值能夠很好地區(qū)分開兩個(gè)特征值,且傳輸距離在2 000 km以內(nèi)時(shí)誤碼率為0。由于受到噪聲和色散的影響,在傳輸過程中,隨著傳輸距離的增大,兩個(gè)特征值越來越接近,不同的特征值傳輸?shù)臉O限距離會(huì)有所不同。但可確定的是,選取合適的特征值,傳輸距離都可達(dá)到2 000 km以上。

圖10 特征值隨傳輸距離的變化

由兩種對比可知,在傳輸系統(tǒng)相同條件下,改進(jìn)后的特征值通信具有傳輸距離更遠(yuǎn)和誤碼率更小的優(yōu)勢。隨著入射光功率的增大,特征值偏差逐漸增大,誤碼率逐漸增大。以λ1=0.5j、λ2=1.0j為例,圖11所示為不同傳輸距離下入射光功率與誤碼率的關(guān)系。由圖可知,在誤碼率為10-3量級下,傳輸距離為500 km時(shí),入射光功率可以增大到12 dBm；傳輸距離為2 000 km時(shí),入射光功率只能增大到5 d Bm。即在保證通信質(zhì)量的前提下,光功率增大,非線性效應(yīng)增強(qiáng),傳輸距離減小。

圖11 入射光功率與誤碼率的關(guān)系

4.3 特征值取值范圍優(yōu)化

理論上講,特征值可取任何虛數(shù)。但由于不同特征值對應(yīng)的孤子波形幅度和持續(xù)時(shí)間都不同,在該仿真條件下,受到馬赫-曾德爾調(diào)制器(Mach-Zehnder Modulator,MZM)對幅度的限制,特征值取值趨向于一個(gè)范圍。在長距離傳輸過程中,由于噪聲和能量轉(zhuǎn)移的影響,隨著傳輸距離增大,兩個(gè)特征值越來越靠近。圖12所示為發(fā)送1 kbit的信息傳輸2 000 km,取λ1=0.2j和λ2=x·j(x=0.3,0.4,0.5,…,1.3)時(shí)兩個(gè)特征值大小之差。λ=0.1j時(shí),需要的采樣點(diǎn)數(shù)較多,為了降低復(fù)雜度,取采樣點(diǎn)數(shù)為256,忽略λ=0.1j的取值,所以從λ=0.2j開始取值,x以0.1為間隔依次取值。由圖可知,從λ=0.4j開始,到λ=1.2j之前,信息都可傳輸2 000 km的距離且能區(qū)分出原始特征值。取λ1=0.2j、λ2=1.3j及其以后的取值時(shí),λ2合成的波形過于集中在一個(gè)小范圍內(nèi),且幅度過大,受到MZM和采樣點(diǎn)數(shù)的影響,采樣后的波形失真嚴(yán)重,無法體現(xiàn)出原始波形的信息,所以傳輸2 000 km后解調(diào)出的兩個(gè)特征值產(chǎn)生混疊。因此在圖3的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)框架下,特征值取值范圍應(yīng)固定在λ=0.2j到λ=1.2j之間,且原始特征值之差應(yīng)≥0.2j。

圖12 λ=0.2j與其他特征值在傳輸2 000 km距離后的差值

5 結(jié)束語

本文根據(jù)NFT理論和DT對特征值進(jìn)行調(diào)制解調(diào)?？紤]了脈沖幅度、脈沖持續(xù)時(shí)間和采樣點(diǎn)數(shù)3個(gè)影響因素后,選取兩個(gè)不同的特征值。在發(fā)送端利用DT生成兩種孤子脈沖,承載信息后一次發(fā)送1 kbit的信號,通過OptiSystem軟件仿真系統(tǒng),在接收端歸一化處理,訓(xùn)練出修正系數(shù),然后使用搜索算法得到信號NFT的數(shù)值解,并從中提取出特征值從而恢復(fù)原始信號。進(jìn)一步通過仿真實(shí)驗(yàn)得出了特征值的取值范圍,加強(qiáng)了系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

本文僅在特征值取純虛數(shù)的情況下對單特征值進(jìn)行了優(yōu)化,下一步工作中可以對多特征值通信進(jìn)行研究,以達(dá)到更高的傳輸速率。