李春曦，莊立宇，施智賢，葉學(xué)民

（華北電力大學(xué)動(dòng)力工程系，河北保定071003）

引 言

近年來(lái)，一種液滴在另一種不混溶液體表面上的鋪展受到了廣泛關(guān)注，并在各個(gè)領(lǐng)域得到了應(yīng)用，如石油回收、支氣管藥物的霧化輸送、灌注液體型超滑表面(slippery liquid-infused porous surfaces，SLIPS)的相變換熱等[1-5]。了解蒸發(fā)液滴在不混溶液體表面上的動(dòng)力學(xué)特性對(duì)上述應(yīng)用具有重要意義。

鋪展系數(shù)通常用于分析液滴的潤(rùn)濕行為和幾何結(jié)構(gòu)。Harkins[3]提出了一種液體在另一種不混溶液體基底上的鋪展系數(shù)，定義如下:

式中，σLi為純液體i的表面張力；σLij為液體i和j 之間的界面張力，1、2 分別表示液體基底和蒸發(fā)液滴。當(dāng)液滴放置于另一種液體上時(shí)，是否會(huì)自發(fā)鋪展形成單分子薄膜還是會(huì)去潤(rùn)濕形成穩(wěn)定的液滴取決于鋪展系數(shù)S 的正負(fù)。正鋪展系數(shù)(S ＞0)表明有足夠的力驅(qū)動(dòng)液滴自發(fā)鋪展并潤(rùn)濕液體基底[4]，而負(fù)鋪展系數(shù)(S ＜0)則會(huì)導(dǎo)致一種液體在另一種液體表面形成穩(wěn)定形狀的液滴。圖1(a)顯示了部分潤(rùn)濕(partial wetting)的情形下，上層液滴的接觸角不為零且穩(wěn)定漂浮在下層液體上，稱為液體透鏡；圖1(b)為假部分潤(rùn)濕(pseudo-partial wetting)狀態(tài)下，上層液滴形成了一個(gè)接觸角為有限值的球形帽(有學(xué)者將這種狀態(tài)也稱為液體透鏡[5])，其邊緣在底層液體表面鋪展形成了厚度為分子水平的薄膜；圖1(c)顯示的是在完全潤(rùn)濕(total wetting)的系統(tǒng)中，上層液滴表面平坦且完全覆蓋下層液體，類似于一個(gè)扁平的“煎餅”。Sebilleau[5]指出還存在一種準(zhǔn)完全潤(rùn)濕狀態(tài)(pseudo-total wetting)，其圖形與圖1(a)近似，不同之處在于液體2不僅形成穩(wěn)定形狀的液滴漂浮于液體1之上，而且其表面完全被液體1覆蓋。

蒸發(fā)對(duì)于不混溶液體表面上液滴的運(yùn)動(dòng)特性有重要影響，這方面研究以實(shí)驗(yàn)居多。Nosoko 等[6]研究了施加溫度梯度的去離子水表面上揮發(fā)性正戊烷透鏡的蒸發(fā)特性，發(fā)現(xiàn)透鏡純度和溫差對(duì)蒸發(fā)時(shí)間和透鏡幾何結(jié)構(gòu)有顯著影響。Rahman等[7]研究了黏性液滴在液-液界面上鋪展早期的動(dòng)力學(xué)，發(fā)現(xiàn)由于液滴底部出現(xiàn)變形，導(dǎo)致鋪展半徑與時(shí)間的關(guān)系不再符合指數(shù)律。Shabani等[8]觀察到油氣界面漂浮水滴的兩種穩(wěn)定結(jié)構(gòu)：非凝聚液滴和帽/珠液滴。Sun等[9]、Liu等[10]對(duì)不同揮發(fā)性物質(zhì)的液滴在水表面的鋪展行為進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，他們均發(fā)現(xiàn)液滴的形狀變化經(jīng)歷了鋪展主導(dǎo)階段(半徑增大)和蒸發(fā)(半徑收縮)主導(dǎo)階段。Dussaud等[11]研究了揮發(fā)性油透鏡在密度較大液體基底上自發(fā)鋪展的動(dòng)力學(xué)特性，指出揮發(fā)性的、不混溶液滴的鋪展半徑R與時(shí)間t 的關(guān)系為R - t1/2，其鋪展指數(shù)1/2 小于非揮發(fā)性液滴的3/4。Buffone 等[12]對(duì)蒸發(fā)或非蒸發(fā)液體基底上蒸發(fā)液體透鏡的形成、穩(wěn)定性和溫度分布進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，揭示了透鏡與液體基底間的相互作用。Shimizu 等[13]研究了壓力對(duì)正戊烷和R113 液滴在水中蒸發(fā)的影響，認(rèn)為蒸發(fā)液滴由氣相和未蒸發(fā)的液相組成，指出正戊烷和R113氣泡在上升過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)形狀振蕩和軌跡擺動(dòng)。

近年來(lái)，也有很多學(xué)者對(duì)不混溶液體表面上液滴的鋪展過(guò)程展開了理論研究，但現(xiàn)有的理論模型較少涉及蒸發(fā)。對(duì)液體透鏡的其他研究主要集中在鋪展/去潤(rùn)濕動(dòng)力學(xué)特性[14-16]、線張力[17]、潤(rùn)濕轉(zhuǎn)變[18-19]和可變形基底上的潤(rùn)濕行為等[20]。Burton等[21]根據(jù)Young-Laplace 方程開發(fā)了一個(gè)分析透鏡幾何形態(tài)的代碼，通過(guò)求解界面接觸線上的Young-Laplace 微分方程，計(jì)算出三個(gè)界面的軸對(duì)稱輪廓。Craster 等[1]運(yùn)用潤(rùn)滑理論建立了透鏡在各種不同參數(shù)組合下(包括兩種液體的密度比、黏度比和表面張力比)的鋪展，計(jì)算了拉伸應(yīng)力在透鏡中的作用，同時(shí)也為后續(xù)的研究奠定了基礎(chǔ)，但其所建模型未涉及蒸發(fā)。Greco 等[22]研究了懸浮在兩種流體界面上的液滴在平行于界面的溫度梯度作用下的熱毛細(xì)驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，指出界面液滴的遷移方向與溫度梯度相反。George 等[23]研究了在不滿足Neumann 三角的系統(tǒng)中較重液滴在較輕液體上的漂浮，并將這種現(xiàn)象歸因于線張力的作用，它可防止液滴完全浸沒(méi)于液體基底。Phan等[24]證明了較重的液體透鏡可以漂浮在較輕的液體基底上。Guan 等[25]發(fā)現(xiàn)在SLIPS 表面上，小固著液滴(直徑約為2 mm)的蒸發(fā)遵循理想的恒定接觸角模式。Brochard-Wyart 等[26]研究了黏性液滴在非黏性液體上的鋪展情況，并確定液滴鋪展遵循R - t1/4。Gelderblom 等[27]研究了液滴在液體基底上蒸發(fā)的情況，對(duì)兩種液體的速度場(chǎng)進(jìn)行了參數(shù)化研究，揭示了兩種液體之間的接觸角及黏度比對(duì)速度場(chǎng)的影響。另外，在微觀尺度，采用分子動(dòng)力學(xué)模擬的方法對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行的研究成果也有報(bào)道[28]。

圖1 三流體系統(tǒng)可能的潤(rùn)濕情況Fig.1 Three possible wetting conditions for a three fluid system

綜上所述，目前關(guān)于液滴在不混溶液體表面鋪展的研究大多偏重于實(shí)驗(yàn)方向，但其結(jié)果受實(shí)驗(yàn)條件所限，存在許多不一致的地方，也不便于深入了解相關(guān)機(jī)理，而現(xiàn)有的理論模型較少涉及蒸發(fā)。為了更好地理解液滴在液體表面的蒸發(fā)機(jī)理，以促進(jìn)相關(guān)技術(shù)的開發(fā)和利用，有必要采用理論建模和數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)此類現(xiàn)象進(jìn)行全面的研究。本文采用潤(rùn)滑理論建立蒸發(fā)液滴鋪展的理論模型，通過(guò)數(shù)值計(jì)算，以接觸線的運(yùn)動(dòng)等為著眼點(diǎn)，對(duì)不混溶液體表面上蒸發(fā)液滴的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行探究，以增進(jìn)對(duì)其物理機(jī)制的了解。

1 理論模型

1.1 物理模型

圖2 液滴放置于均勻加熱的液體基底上的示意圖Fig.2 Sketch of a drop resting over uniform heated liquid substrate

液體i(i=1,2)鋪展和蒸發(fā)過(guò)程滿足連續(xù)方程、動(dòng)量方程和能量方程：

式中，T*w為固體壁面溫度。

在液-液界面處，滿足速度場(chǎng)、溫度場(chǎng)連續(xù)性，切向和法向應(yīng)力平衡，運(yùn)動(dòng)邊界條件以及熱流量連續(xù)性：

潤(rùn)濕性液滴會(huì)鋪展成接近分子厚度的薄膜，而非潤(rùn)濕性液滴則會(huì)形成穩(wěn)定的透鏡形態(tài)。本文主要研究非潤(rùn)濕揮發(fā)性的純液滴在不混溶液體表面的鋪展蒸發(fā)過(guò)程。當(dāng)界面溫度不均勻時(shí)，液膜的表面張力發(fā)生變化，產(chǎn)生Marangoni效應(yīng)并導(dǎo)致液膜產(chǎn)生流動(dòng)和明顯變形。上層液滴位于h1≤z ≤h2和-∞≤x ≤+∞約束的區(qū)域，為了避免三相接觸線處的應(yīng)力集中，仿照Craster 等[1]的做法，假定上層液滴可在下層液體表面鋪展成一層極薄的前驅(qū)膜，即圖1(b)的情形，此時(shí)式(1)所描述的三種界面張力模型可簡(jiǎn)化為兩種界面張力模型，即液1 與液2 以及液2與空氣的界面張力。該前驅(qū)層厚度h∞由分離壓維持，分離壓Π表示為[1]：

式中，h ≡h2- h1；h∞為前驅(qū)膜厚度；n ＞m ＞1，指數(shù)(n,m)取(4,3)。式(26)中右側(cè)第一項(xiàng)和第二項(xiàng)分別代表分子間斥力和引力對(duì)分離壓的不同貢獻(xiàn)。

1.2 初始條件和邊界條件

采用PDECOL程序模擬上述演化方程。由于演化方程中的變量及物性參數(shù)均為無(wú)量綱量，因此除非特別說(shuō)明，下文給出的表達(dá)式及變量分布曲線圖均為無(wú)量綱形式。選取-5 ≤x ≤5 的一維區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，將該區(qū)域劃分為均勻網(wǎng)格，并進(jìn)行網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證，在滿足精度和減少計(jì)算時(shí)間的條件下設(shè)定網(wǎng)格數(shù)為2000個(gè)。

計(jì)算初始條件為[1]：

圖3 初始時(shí)刻界面高度分布Fig.3 Initial conditions of the interface height distribution

計(jì)算中PDECOL程序的邊界條件設(shè)置如下：

在加熱條件下，以演化方程式(23)和式(24)為基礎(chǔ)，計(jì)算存在蒸發(fā)情形時(shí)的上層液滴在下層液體上的演化過(guò)程。結(jié)合相關(guān)資料[9,11]可得有量綱基本參數(shù)的取值范圍(表1)，并由此推算出模擬中所用無(wú)量綱參數(shù)的取值(表2)。模擬中涉及的參數(shù)取值如下：Ca1= Ca2= 0.1，Bo = 10-1，0.2 ≤σ ≤5，0.25 ≤μ ≤10，0.1 ≤ρ ≤10，γ = 5，λ= 1，E = 0.001，Σi= 0.001，h1∞= 1，h∞= 0.01。

表1 典型參數(shù)的取值或變化范圍Table 1 Order of magnitude estimates for the relevant physical parameters

表2 無(wú)量綱參數(shù)定義及其數(shù)量級(jí)Table 2 Representation and order of magnitude estimates of the relevant dimensionless groups

2 結(jié)果與討論

2.1 演化過(guò)程

圖4 顯示了不混溶液體表面上液滴蒸發(fā)的時(shí)間-空間演化過(guò)程，圖中液滴下半部分曲線對(duì)應(yīng)表示液-液界面h1，上半部分曲線對(duì)應(yīng)液-氣界面h2，h2和h1之間的部分即為由液體2 形成的液滴（其邊緣存在一層厚度極薄的預(yù)置液膜），后面的圖也是與此相同的表示方法。液滴在蒸發(fā)過(guò)程中接觸線后移，液滴厚度和體積逐漸減小。由式(19)和式(20)可知在加熱條件下，液滴界面溫度與液滴厚度呈負(fù)相關(guān)。蒸發(fā)過(guò)程中液滴下表面與液滴上表面溫度差引起表面張力梯度差，產(chǎn)生的Marangoni 效應(yīng)使液體分子從低表面張力處流向高表面張力處，即從熱區(qū)域流向冷區(qū)域。由于蒸發(fā)對(duì)液滴變形的影響，從液-氣界面蒸發(fā)去除的液體分子必須得到補(bǔ)充以滿足界面力平衡，導(dǎo)致液滴內(nèi)部產(chǎn)生從下向上的質(zhì)量遷移，并達(dá)到瞬時(shí)準(zhǔn)平衡態(tài)[9]。隨著蒸發(fā)的進(jìn)行，更多的液體分子進(jìn)入周圍的空氣中，因此液滴上表面的液膜高度隨時(shí)間降低，下表面的液膜高隨時(shí)間先降低后升高，液滴體積不斷減小，最終完全蒸發(fā)。蒸發(fā)、重力、毛細(xì)力和Marangoni 效應(yīng)的耦合作用是導(dǎo)致蒸發(fā)液滴出現(xiàn)此種現(xiàn)象的主要因素。

圖4 液滴快速蒸發(fā)到最終形狀的時(shí)間-空間演化Fig.4 Spatial-temporal evolution of the fast evaporation of a drop to a final shape

從圖5可以看出，演化過(guò)程分為兩個(gè)階段：①t =0～0.1，“鋪展主導(dǎo)”階段，在該階段內(nèi)，液滴在毛細(xì)力和重力作用下緩沖到液體基底中，初始條件的影響被消除；②t = 0.1～100，“蒸發(fā)主導(dǎo)”階段，液滴體積逐漸減小直至完全蒸發(fā)。液滴在液體基底上鋪展，達(dá)到最大鋪展半徑，之后由于蒸發(fā)鋪展半徑逐漸減小，蒸發(fā)液滴在不混溶液體表面上的鋪展是非釘扎的。在“鋪展主導(dǎo)”狀態(tài)下，接觸線的前進(jìn)速率大于接觸線的后退速率，液滴的直徑隨時(shí)間而增大，而液滴體積由于蒸發(fā)而減少。這種趨勢(shì)導(dǎo)致接觸角減小，接觸線運(yùn)動(dòng)阻力增大，從而導(dǎo)致“鋪展主導(dǎo)”狀態(tài)向“蒸發(fā)主導(dǎo)”狀態(tài)過(guò)渡。

圖5 h1最小值、h2最大值以及液滴半徑xmax隨時(shí)間的演化Fig.5 Temporal evolution of minimal h1，maximal h2，and the drop half-width xmax

2.2 蒸發(fā)數(shù)的影響

蒸發(fā)數(shù)E 對(duì)鋪展過(guò)程的影響如圖6 所示。從圖中可以看出，隨著蒸發(fā)數(shù)E 的增加，液-氣界面高度逐漸降低，液-液界面高度逐漸升高。蒸發(fā)數(shù)E表示鋪展時(shí)間尺度與蒸發(fā)時(shí)間尺度的比值，而蒸發(fā)時(shí)間尺度為液滴自初始靜止時(shí)刻開始蒸發(fā)至完全干涸所需時(shí)間。E 越大，液滴蒸發(fā)得越快，質(zhì)量損失也就越快，相同時(shí)刻液滴體積越小，液滴壽命也就越短。驅(qū)動(dòng)液滴鋪展的主要因素包括溫度梯度導(dǎo)致的Marangoni 效應(yīng)以及蒸發(fā)誘導(dǎo)的外向流動(dòng)。由于蒸發(fā)對(duì)液滴變形的影響，從液-氣界面蒸發(fā)去除的液滴分子必須得到補(bǔ)充以滿足界面力平衡，液滴內(nèi)部產(chǎn)生從下向上的質(zhì)量遷移，導(dǎo)致液-液界面不斷升高。

圖6 t = 100時(shí)E對(duì)液滴形狀的影響Fig.6 The effect of E on the drop shape at t = 100

2.3 表面張力比的影響

圖7為t = 100時(shí)不同張力比σ對(duì)液滴形狀的影響。如圖所示，隨著張力比的減小，液滴上表面比下表面變形更大[29]，接觸角θ1逐漸減小，θ2逐漸增加。因此，在較小的σ值下，液滴大部分伸出液體基底，而對(duì)于較大的σ，液滴則“下沉”到液體基底某一深度。液滴在一定程度上穿透了液體基底，深度取決于表面張力比。

圖7 t = 100時(shí)表面張力比對(duì)液滴形狀的影響Fig.7 The effect of the surface tension ratio σ on the drop shape at t = 100

2.4 密度比的影響

密度比ρ 的影響如圖8 所示。當(dāng)液滴密度小于基底液體密度時(shí)，液體基底整體向上拱起呈凸形，三相接觸點(diǎn)位于液體基底最高點(diǎn)。而對(duì)于ρ ＞1，液體基底整體向下凹陷，三相接觸點(diǎn)位于液體基底的局部最低點(diǎn)，液滴在重力作用下會(huì)下沉到液體基底中，密度比越大，下沉深度越大。上層液滴對(duì)液體基底的擠壓，導(dǎo)致液體基底厚度從液滴邊緣開始向外逐漸增加。對(duì)于負(fù)鋪展系數(shù)的液滴，考慮到液滴的尺寸足夠小，無(wú)論其密度如何，液滴都能夠漂浮[30]。當(dāng)ρ = 1 情況下，接觸線兩邊基底高度保持不變。顯然，重力是導(dǎo)致液滴呈現(xiàn)圖中所示現(xiàn)象的主要原因。

圖8 t = 100時(shí)密度比對(duì)液滴形狀的影響Fig.8 The effect of the density ratio ρ on the drop shape at t = 100

2.5 黏度比的影響

黏度比μ 對(duì)液滴動(dòng)力學(xué)的影響如圖9 所示。假設(shè)液滴上方的氣體具有足夠小的黏度和密度，不會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。圖9(a)表明，液滴中心處的厚度變化過(guò)程均要經(jīng)歷先下降后上升然后再下降三個(gè)階段，這是因?yàn)橹亓兔?xì)力、熱毛細(xì)力和蒸發(fā)分別在不同階段起主要作用。液滴在蒸發(fā)過(guò)程中逐漸變薄并產(chǎn)生不規(guī)則振蕩運(yùn)動(dòng)[6]。早期階段液滴在低黏度比下的流動(dòng)性更強(qiáng)，導(dǎo)致液滴鋪展更加迅速，對(duì)于較大的μ值，黏度比的增加會(huì)導(dǎo)致鋪展和收縮速率的降低，同一時(shí)刻液滴最大厚度也相對(duì)較大。從圖9(b)可以看出，鋪展半徑隨著時(shí)間先增加后減小，系統(tǒng)從“鋪展主導(dǎo)”階段逐漸向“蒸發(fā)主導(dǎo)”階段過(guò)渡。接觸線以恒定速度運(yùn)動(dòng)的區(qū)域有兩個(gè)：一個(gè)處于前進(jìn)階段，另一個(gè)處于后退階段[9]。當(dāng)液滴的黏度增加時(shí)，由于黏性耗散和摩擦而產(chǎn)生的阻尼效應(yīng)會(huì)變大[31]，導(dǎo)致鋪展和收縮速率的降低。同時(shí)由于蒸發(fā)的存在，阻礙了液滴的鋪展，從而縮短了鋪展過(guò)程。接觸角的時(shí)間演化取決于液滴的鋪展和蒸發(fā)以及液滴內(nèi)部的質(zhì)量傳輸。對(duì)于低黏度液體，初始運(yùn)動(dòng)主要由表面張力和初始液滴形狀影響，由于黏度會(huì)導(dǎo)致表面張力的變化，因此液滴的初始接觸角是不同的。圖9(c)表明在鋪展的早期階段，隨著液滴鋪展，接觸角減小，當(dāng)減小至某一極限時(shí)，液滴前緣變得不穩(wěn)定。結(jié)果表明，兩種液體間的黏度比對(duì)最大液滴厚度、鋪展半徑和接觸角均有一定影響。模擬所得接觸角隨時(shí)間的變化趨勢(shì)與Sun 等[9]將體積10 μl 甲苯透鏡放置在21℃去離子水表面后的觀察結(jié)果相同，均為鋪展階段接觸角減小較快，在蒸發(fā)過(guò)程中大部分時(shí)間保持不變，蒸發(fā)過(guò)程遵循恒定的接觸角模式。

圖9 黏度比對(duì)最大液滴厚度(h2 - h1)max、鋪展半徑xmax和接觸角θ1和θ2的影響Fig.9 The effect of the viscosity ratio on the maximal drop thickness(h2 - h1)max，spreading radius xmax and contact angles θ1 and θ2

2.6 界面溫度分布

通過(guò)潤(rùn)滑理論忽略量級(jí)較小的項(xiàng)，消去能量方程中的非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，并計(jì)算液滴溫度隨高度的相對(duì)變化率。由式(18)和式(19)可知液-液界面(z=h1)和液-氣界面(z=h2)溫度分布和蒸發(fā)量為：

式(29)表明，蒸發(fā)通過(guò)影響液滴界面的溫度分布進(jìn)而影響表面張力以及液滴鋪展。無(wú)論液滴是浸沒(méi)還是漂浮在液體基底上，在垂直于基底的溫度梯度下溫度場(chǎng)需關(guān)于z 軸對(duì)稱。空氣中的熱通量和動(dòng)量通量較小，對(duì)液滴和液體基底的溫度場(chǎng)和速度場(chǎng)無(wú)顯著影響，液滴內(nèi)部溫度波動(dòng)較小。Buffone[12]進(jìn)行了乙醇表面FC-72 液滴的蒸發(fā)鋪展實(shí)驗(yàn)，并用紅外熱像儀測(cè)得了FC-72 液滴表面溫度的分布圖。為了與Buffone[12]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)其文獻(xiàn)中提供的物性參數(shù)計(jì)算了密度比ρ=2.1，熱導(dǎo)率比λ=0.34，黏度比μ=0.43，表面張力比σ=0.46 時(shí)，液滴蒸發(fā)演化過(guò)程中的液-氣界面溫度分布和液-液界面溫度分布以及溫度梯度分布，如圖10所示。圖10(a)為不同時(shí)刻液滴界面溫度分布，由于溫度與高度呈反比，故液-液界面溫度高于液-氣界面，且在液滴中心處達(dá)到峰值，液-氣界面則與之相反。圖10(b)、(c)表明液-液界面的溫度梯度大于液-氣界面。由于邊緣處蒸發(fā)更快，蒸發(fā)冷卻效應(yīng)使得液滴邊緣較中心區(qū)域溫度更低。計(jì)算所得液-氣界面溫度的數(shù)量級(jí)與Buffone[12]實(shí)驗(yàn)結(jié)果無(wú)量綱化之后液滴表面溫度數(shù)量級(jí)一致，且液滴表面溫度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)也與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，即表面溫度均隨時(shí)間而升高。

圖10 液-液和液-氣界面溫度與溫度梯度的演化過(guò)程Fig.10 Evolutions of liquid-liquid and liquid-gas interfaces temperatures and temperature gradients

2.7 與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較

Dussaud 等[11]在23℃時(shí)觀測(cè)了表面張力比分別為1和0.4，密度比分別為1和0.9的辛烷和甲苯液滴在去離子水表面的蒸發(fā)行為，發(fā)現(xiàn)液滴前緣以t1/2的冪律向前推進(jìn)，即xmax- t1/2。為了與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，采用相同的表面張力比和密度比計(jì)算所得的不混溶液體表面上蒸發(fā)液滴鋪展早期階段鋪展半徑xmax隨時(shí)間變化關(guān)系如圖11 所示(箭頭指向σ 增大的方向，圖中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果采用本文的無(wú)量綱定義式進(jìn)行了無(wú)量綱化)。圖11 表明，實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬結(jié)果具有相同的變化趨勢(shì)，但存在一定的誤差，原因可能在于模擬液滴是二維的，無(wú)法完全與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較。此外，由于實(shí)驗(yàn)未涉及加熱，而加熱會(huì)使液滴蒸發(fā)加快進(jìn)而導(dǎo)致鋪展速率減小，故在鋪展的早期階段，鋪展速率模擬值比實(shí)驗(yàn)值要小，隨著時(shí)間的進(jìn)行，蒸發(fā)對(duì)液滴鋪展的影響越來(lái)越大，在鋪展的后期階段鋪展半徑模擬值小于實(shí)驗(yàn)值。

圖11 不同表面張力比σ時(shí)鋪展半徑的時(shí)間演化對(duì)數(shù)圖Fig.11 Log-log plot of the temporal evolution of spreading radius for different surface tension ratio σ

3 結(jié) 論

采用潤(rùn)滑理論推導(dǎo)了液-氣和液-液界面的演化方程。 通過(guò)數(shù)值模擬研究了上層液滴外形以及鋪展半徑的時(shí)間演化規(guī)律，以及蒸發(fā)、重力、毛細(xì)力和Marangoni效應(yīng)之間的耦合作用對(duì)接觸角、鋪展半徑、溫度場(chǎng)和界面幾何形狀的影響。模擬結(jié)果表明演化過(guò)程存在兩種狀態(tài)，一種是“鋪展主導(dǎo)”的狀態(tài)，另一種是“蒸發(fā)主導(dǎo)”的狀態(tài)。隨著時(shí)間的推移，接觸角逐漸減小，接觸線運(yùn)動(dòng)阻力增大，“鋪展主導(dǎo)”狀態(tài)逐漸向“蒸發(fā)主導(dǎo)”狀態(tài)過(guò)渡。蒸發(fā)量與液滴高度呈反比，蒸發(fā)數(shù)越大，液滴蒸發(fā)得越快。液滴高度隨時(shí)間逐漸降低，表面溫度則越來(lái)越高。液滴在一定程度上會(huì)伸出和穿透液體基底，深度取決于表面張力比和密度比。低黏度比下的流動(dòng)性增強(qiáng)會(huì)導(dǎo)致更快的鋪展，黏度比的增加會(huì)導(dǎo)致鋪展和收縮速率的降低。液滴前緣首先沿液體基底表面前進(jìn)，在達(dá)到最大接觸直徑后由于蒸發(fā)而逐漸后退。在鋪展的早期階段，鋪展半徑xmax隨時(shí)間變化關(guān)系與實(shí)驗(yàn)中得到的xmax- t1/2規(guī)律具有相同趨勢(shì)。