唐朝榮，葛新廣

(1.廣西路橋集團勘察設(shè)計有限公司，廣西 南寧 530200；2.廣西科技大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣西 柳州 545006)

0 前 言

高架橋具有施工簡單、節(jié)省土地及造價低的特點，而受到工程界的歡迎，全國隨處可見此類橋梁，但該類橋梁結(jié)構(gòu)屬于典型的“頭重腳輕結(jié)構(gòu)”，地震動對其安全影響較大[1-2]。通過對近30年的大地震橋梁破壞情況的統(tǒng)計研究表明，作為搶險救災(zāi)生命線的橋梁工程在每次大地震中都受到嚴重破壞，導(dǎo)致救災(zāi)工作不力，其中高架柱式橋墩更容易發(fā)生根部的剪切破壞[3]，如2008年我國汶川地震中數(shù)座高橋發(fā)生了側(cè)向倒塌。橋梁結(jié)構(gòu)抗震安全性設(shè)計及分析一直是世界各國橋梁工程亟需解決的問題之一[4]。

我國橋梁眾多，且是個地震多發(fā)的國家，橋梁抗震一直是工程界的研究重點[2-3]。宋黎明等[5]利用Sap2000軟件研究了高烈度地震區(qū)薄壁墩剛構(gòu)橋梁在時程地震動曲線下的響應(yīng)分析，研究表明地震作用下，墩頂側(cè)向位移大、墩底地震動剪力大。何雄君等[6]對蘭州西固黃河大橋的橫向抗震體系進行了研究，基于Sap2000軟件及人造地震波激勵下的分析表明，在不同約束條件下，斜拉橋的地震動響應(yīng)會不同，且擋塊可顯著降低墩底內(nèi)力。以上研究，地震輸入均為地震動時程，即為確定性激勵，而實際地震動具有時間、地點和強度的隨機性。研究橋墩基于隨機激勵下的地震動響應(yīng)分析至關(guān)重要。

自從20世紀40年代開始，隨機激勵模型已成為研究結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的重要手段[7-8]。Kanai[9]和Tajimi[10]通過對大量地震時程記錄的研究提出了過濾白噪聲激勵模型，即為K-T譜隨機模型，該模型將基巖看做白噪聲隨機激勵，而場地土看做過濾器，可比較準確地模擬地震動對地面運動的影響，該模型也是其他復(fù)雜地震動模型的基礎(chǔ)，有個廣泛的工程的應(yīng)用[11-12]。

大跨度橋梁的主橋與引橋過渡的交界墩，受力復(fù)雜，是地震中震害比較嚴重的部位。本文以廣西一城市高架橋的交界墩為研究背景，研究其基于隨機地震動激勵下的地震動響應(yīng)，以指導(dǎo)橋梁抗震設(shè)計。

1 工程概況

廣西柳州某高架橋，依據(jù)《公路橋梁抗震設(shè)計規(guī)范》(JTGB02-2013)[13]，按7度設(shè)防，場地土為中硬土。主橋采用3跨預(yù)應(yīng)力連續(xù)剛構(gòu)箱梁橋(55 m+90 m+55 m)，橋?qū)挒?9.75 m，單箱雙室截面；引橋采用橫向7片20 m跨度的簡支小箱梁組成。主橋中墩采用雙薄壁墩，主、引橋交界墩采用邊長為2.0 m的正方形的雙柱墩，墩高27.5 m。主橋采用球形橡膠支座，引橋采用板式橡膠支座。交界墩參數(shù)如圖1所示。

圖1 交界墩構(gòu)造圖及計算簡圖(單位：cm)

2 橋墩地震動運動方程

2.1 基本計算參數(shù)

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)的離散原則，交界墩以系梁和蓋梁為橫向系，立柱為豎向系，其等效成雙柱三橫梁的框架結(jié)構(gòu)，利用結(jié)構(gòu)力學(xué)求出其橫向抗側(cè)剛度k1-k3。根據(jù)橫向系的拉結(jié)作用，交界墩最后等效成如圖2中所示的m1-m3的3個質(zhì)點，質(zhì)點質(zhì)量取橫向系和對應(yīng)立柱的質(zhì)量。橋墩采用鋼筋混凝土材料，其阻尼按瑞雷阻尼計，阻尼比取0.05。上部結(jié)構(gòu)通過支座與交界墩蓋梁相連，故主橋及引橋分別等效成2個集中質(zhì)點；引橋側(cè)質(zhì)點的質(zhì)量取20 m跨度簡支梁的總質(zhì)量的50%?？箓?cè)剛度k4、k5分別按照所采用支座的力學(xué)參數(shù)計算獲得;支座的采用橡膠材質(zhì)，通過阻尼比來計算c4及c5；本文研究阻尼比變化對橋墩響應(yīng)的影響，c4及c5參數(shù)待定。

結(jié)構(gòu)地震動計算參數(shù)見表1。

表1 結(jié)構(gòu)振動基本參數(shù)

2.2 橋墩地震動方程

由結(jié)構(gòu)動力學(xué)，建立橋墩結(jié)構(gòu)基于地震動的矩陣方程：

(1)

地震動采用Kanai-Tajimi隨機激勵模型，其濾波方程為[9-10]：

(2)

(3)

(4)

式中，Sδ為地震動強度常數(shù)，δ(τ)為Dirac函數(shù)。

令：

(5)

聯(lián)立式(1)～(3)：

(6)

式中：

式中，o1為元素為零的行向量。

3 橋墩結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)統(tǒng)一表達式

引入狀態(tài)變量：

(7)

方程(6)改寫為：

(8)

式中:

基于復(fù)模態(tài)法[7]，方程(8)存在左、右特性向量U、V和特征值矩陣P使之復(fù)模態(tài)解耦，即特征向量P為對角陣，其與特征值矩陣存在如下關(guān)系：

(9)

式中，P的實部為正值。

引入復(fù)模態(tài)廣義變換[7]：

y=Uz

(10)

式中，z為復(fù)模態(tài)廣義變量。

將式(10)帶入式(8)：

(11)

左特征向量VT左乘式(11):

(12)

式(12)經(jīng)整理為：

(13)

把式(9)帶入式(13)，并整理為：

(14)

由于P為對角陣，則式(14)有分量形式：

(15)

式中，zi,ηi,pi分別為z,η,P的分量。

由式(5)、(7)、(10)及(15)，則橋墩第k個質(zhì)點處的位移xk和速度：

(16)

(17)

式中，uk為右特征向量矩陣的第k行向量，橋墩各個質(zhì)點處響應(yīng)的強度系數(shù)：

λk,i=uk,iηi

(18)

式中，uk,i為U的第k行第i列元素。

為便于后文推導(dǎo)，由式(16)、(17)可統(tǒng)一表示為：

(19)

式中，l代表響應(yīng)量，其第i個響應(yīng)分量為：

(20)

式中，各響應(yīng)的強度系數(shù)sl,i見式(18)。

4 橋墩質(zhì)點響應(yīng)的方差計算

由式(19)及隨機振動的協(xié)方差定義[7]，響應(yīng)Sl的協(xié)方差為：

(21)

由式(20)，則式(21)中的分量：

(22)

把式(4)帶入式(22)：

(23)

利用Dirac 的函數(shù)性質(zhì)，式(23)改寫為：

(24)

對式(24)積分：

(25)

由式(39)及(43)，基于Kanai-Tajimi譜的橋墩質(zhì)點處動力響應(yīng)協(xié)方差：

(26)

由隨機振動理論[9]可知，當τ=0時，橋墩第j個質(zhì)點的位移、速度的響應(yīng)方差：

(27)

(28)

公式(27)～(28)給出了橋墩各質(zhì)點處位移及速度的解析解且為完全平方法解(CQC)，且表達式較為簡明。

5 算 例

本項目按7度設(shè)防，場地土為中硬土，則K-T譜的參數(shù)為ξg=0.8,ωg=16.5rad/s，S0=0.0069m2/s3。 阻尼是耗能的，因此，分析橋墩支座的阻尼比對橋墩各質(zhì)點側(cè)向位移及橋墩內(nèi)力的影響。橋墩支座阻尼分別取0.05、0.1、0.15、0.2、0.25工況下的位移和速度對比圖如2～3。

由圖2～3可見，隨著橋梁支座阻尼比的增加，橋墩各質(zhì)點的位移、速度協(xié)方差均較大減小，因此，支座阻尼對于橋墩抗震效果影響明顯。

圖2 橋墩質(zhì)點位移方差與支座阻尼比關(guān)系

圖3 橋墩質(zhì)點速度方差與支座阻尼比關(guān)系

6 結(jié) 論

通過對高架橋交界墩在地震動下的動力方程的精確建模，給出了其在K-T譜隨機激勵下位移和速度的簡明解析解，結(jié)果如下。

1)利用隨機振動理論對橋墩基于隨機地震動激勵下的振動響應(yīng)進行分析，可較準確地描述橋墩實際經(jīng)受地震的響應(yīng)，為其安全性設(shè)計提供依據(jù)。

2)本文將K-T譜的濾波方程與橋墩的動力方程聯(lián)立，可將復(fù)雜的地震動激勵精確轉(zhuǎn)化為白噪聲激勵，簡化分析，提高計算效率。

3)橋墩支座阻尼比對橋墩變形及內(nèi)力影響較大，抗震設(shè)計應(yīng)采用阻尼比較大的支座。

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