夏國清，劉彩云，陳興華

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，哈爾濱 150001)

在鉆井、潛水、打撈和采油等海洋工程作業(yè)中，主要有錨泊定位、動(dòng)力定位(DP)和動(dòng)力定位輔助錨泊定位(DPM)3種定位方式來保證船舶的位置和艏向.DPM系統(tǒng)的工作原理是在海況不高時(shí)采用錨泊定位方式以節(jié)省能耗，而在海況較高時(shí)啟動(dòng)DP以提高船舶抵抗海洋環(huán)境的能力.在海洋工程作業(yè)中，為降低成本，船舶只安裝有位置和艏向傳感器，因此需要設(shè)計(jì)觀測器來估計(jì)船舶速度和外部干擾.

文獻(xiàn)[1]將非線性無源觀測器應(yīng)用于船舶推進(jìn)器輔助錨泊定位系統(tǒng)的設(shè)計(jì).此無源觀測器只能考慮緩慢變化的環(huán)境干擾，而實(shí)際環(huán)境干擾是未知且時(shí)變的.文獻(xiàn)[2]針對船舶錨泊輔助動(dòng)力定位系統(tǒng)中的不確定性和計(jì)算延時(shí)問題設(shè)計(jì)了一種高階線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，使此觀測器具有自抗擾的特點(diǎn).文獻(xiàn)[3]針對船舶動(dòng)力定位系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于無跡卡爾曼濾波器(UKF)的非線性觀測器，來估計(jì)船舶狀態(tài)和系統(tǒng)的未知輸入.為了解決UKF無法跟蹤狀態(tài)突變的問題，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)無跡卡爾曼濾波器(AUKF).文獻(xiàn)[5]中采用無跡卡爾曼西濾波器(UKBF)來估計(jì)船舶的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，從而無需對船舶模型進(jìn)行線性化和離散化.為了估計(jì)時(shí)變的外部干擾，文獻(xiàn)[6]針對一種炮塔系泊的浮式生產(chǎn)儲(chǔ)油和裝卸船(FPSO)設(shè)計(jì)了一種干擾觀測器，而此觀測器卻無法估計(jì)船舶的未測量狀態(tài).近年來，隨著有限時(shí)間技術(shù)的發(fā)展，有限時(shí)間控制引起了研究者的關(guān)注.一些學(xué)者對有限時(shí)間控制問題進(jìn)行了詳細(xì)的綜述，并分析了控制方法起源、常用判據(jù)及研究現(xiàn)狀.文獻(xiàn)[7-8]表明有限時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)比無限時(shí)間穩(wěn)定系統(tǒng)具有更好的魯棒性和抗干擾性.從近年來的相關(guān)文獻(xiàn)來看，應(yīng)用于船舶定位系統(tǒng)的考慮有限時(shí)間穩(wěn)定的觀測器還比較少.而船舶在定點(diǎn)作業(yè)時(shí)對定位系統(tǒng)有一定的實(shí)時(shí)性要求，希望能在有限的時(shí)間內(nèi)到達(dá)期望的位置和艏向，因此研究船舶定位系統(tǒng)的有限時(shí)間控制很有必要.

本文針對動(dòng)力定位輔助錨泊定位系統(tǒng)提出了一種有限時(shí)間狀態(tài)觀測器(FTSO)，并證明了其能在有限時(shí)間內(nèi)估計(jì)船舶的速度和未知干擾.仿真驗(yàn)證了定位船舶的位姿實(shí)際測量值與觀測值的誤差能在有限時(shí)間內(nèi)收斂于真值，從而證明此觀測器具有更快的收斂性和更好的抗干擾性.

1 預(yù)備知識(shí)和系統(tǒng)模型

1.1 定義及引理

考慮下面的非線性系統(tǒng)：

(1)

定義1[9]如果對于?λ>0，有f(λr1x1,λr2x2,…,λrnxn)=λkf(x)并且k>-minri，那么稱標(biāo)量函數(shù)f(x):Rn→R關(guān)于權(quán)系數(shù)(r1,r2,…,rn)是k階齊次.如果對于?λ>0，fi(λr1x1,λr2x2,…,λrnxn)=λk+rifi(x),i=1,2,…,n，那么稱向量函數(shù)f:Rn→Rn關(guān)于權(quán)系數(shù) (r1,r2,…,rn)是k階齊次.

引理1[10]如果存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)V(x)：D→R，實(shí)數(shù)c>0，α∈(0,1)和原點(diǎn)開鄰域Ω∈D使得：

(2)

那么式(1)的零解是有限時(shí)間穩(wěn)定的.設(shè)定時(shí)間T滿足：T(x0)≤V1-α(x0)/[c(1-α)],x0∈Ω.

引理2[10]如果存在一個(gè)Lyapunov函數(shù)V(x)：D→R，實(shí)數(shù)l1，l2>0，α∈(0,1)和原點(diǎn)開鄰域Ω∈D使得：

(3)

那么式(1)的零解是有限時(shí)間穩(wěn)定的.N={x|V(x)1-α

1.2 船舶動(dòng)力學(xué)模型

在整個(gè)的DPM數(shù)學(xué)模型中，通常用到兩種坐標(biāo)系，分別是大地坐標(biāo)系(XOY)和船體坐標(biāo)系(XbObYb).船舶運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系如圖1所示.對于定位船舶，一般我們只考慮水平面三自由度運(yùn)動(dòng)，即縱蕩、橫蕩和艏搖.

通常情況下，船舶的參數(shù)矩陣難以精確得到，考慮系統(tǒng)矩陣的不確定性，動(dòng)力定位輔助錨泊定位船舶的非線性數(shù)學(xué)模型可以表示為

(4)

假設(shè)1假設(shè)系統(tǒng)中的未建模動(dòng)態(tài)項(xiàng)和外界干擾滿足下面的關(guān)系式：

d(υ,t)=de+ω

(5)

假設(shè)2定義κ為未知干擾變化率，且是時(shí)變有界的，并存在正常數(shù)ρ，使得‖κ‖≤ρ.

為了方便有限時(shí)間觀測器的設(shè)計(jì)，需要對船舶數(shù)學(xué)模型，即式(4)進(jìn)行如下形式轉(zhuǎn)換.令

則式(4)可以寫為

(6)

2 主要結(jié)果

2.1 觀測器數(shù)學(xué)模型

(7)

(8)

考慮下面的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：

(9)

式中：σ∈(0,1)，且為正實(shí)數(shù)，于是式(8)變?yōu)?/p>

(10)

2.2 穩(wěn)定性分析

(11)

(12)

根據(jù)定義1很容易得到，對于2/3<α<1，式(12)關(guān)于權(quán)系數(shù)1，α，2α-1是α-1階齊次的.定義fε是式(12)的向量場，LfεV1是V1沿著向量場fε的李導(dǎo)數(shù).于是可以證明V1(ε)和LfεV1(ε)關(guān)于權(quán)系數(shù)1，α，2α-1分別是2和α+1階齊次的.

根據(jù)文獻(xiàn)[13-14],可以得到下列不等式：

-c1(α,θ)[V1(ε)]δ≤LfεV1(ε)≤

-c2(α,θ)(V1(ε))δ

(13)

(14)

式中：λmax(P)表示矩陣P的最大特征值；

對式(11)求導(dǎo)可得：

(15)

(16)

(17)

(18)

于是式(15)可以進(jìn)一步寫為

(19)

下面分兩種情況來進(jìn)行穩(wěn)定性分析.

情況1若V(ε)>1，則：

(20)

根據(jù)引理2可以得到V(ε)在有限時(shí)間內(nèi)收斂于區(qū)域V(ε)≤1.

情況2若V(ε)≤1，因?yàn)?<δ<1，于是式(19)可以重新寫為

(21)

(22)

因此可以說明觀測器誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂于區(qū)域‖e‖≤Ω1.從而證明所提出FTSO是有限時(shí)間穩(wěn)定的.定理1證明完成.為了分析FTSO的特性，進(jìn)行下面的討論.

備注2若設(shè)α=1并忽略觀測器中的未知干擾項(xiàng)，所提觀測器，即式(7)可以寫為

(23)

參考文獻(xiàn)[15]中的方法，可以證明式(23)是半全局一致指數(shù)穩(wěn)定的.如果式(23)中加入時(shí)變干擾，我們可以證明觀測器誤差e在有限時(shí)間內(nèi)收斂于‖e‖≤12ρλmax(P)/θ-2kλmax(P)=Ω3.如果選擇θ使得c4/[θ2+σ(c2-c3)]<1，選擇α→2/3使得α2/α3?1，于是Ω1?Ω3.這意味著所提FTSO比式(23)具有更好的抗干擾性.

3 仿真結(jié)果

(24)

LSO中參數(shù)的取值與所提FTSO中參數(shù)的取值的一致.為了驗(yàn)證所提FTSO在參數(shù)不確定性情況下的性能，分以下兩種情況：

情況A假設(shè)矩陣M和D是已知的，不考慮矩陣的不確定性.

情況B考慮模型參數(shù)不確定性，令M=M0+ΔM，ΔM=0.1M，D=D0+ΔD，ΔD=0.1D.其中M0和D0為情況A中的標(biāo)稱模型參數(shù).

圖2為情況A和B下分別采用FTSO和LSO得到的‖e1‖和‖e2‖的響應(yīng)曲線.圖3為情況A 和B下采用FTSO和LSO得到的船舶北向位置、東向位置和艏向的誤差響應(yīng)曲線.圖4為情況A和B下采用FTSO和LSO得到的船舶縱蕩速度、橫蕩速度和回轉(zhuǎn)率的誤差響應(yīng)曲線.

綜合圖2(a)、3(a)和4(a)可以看出在情況A下采用FTSO船舶的位置、艏向和速度誤差在5 s以內(nèi)都能收斂于零附近，而采用LSO船舶的位置、艏向和速度誤差收斂到零附近則需要10 s，因此可以總結(jié)得出FTSO比LSO具有更快的收斂速度.另外，從圖2(a)、3(a)和4(a)可以看出采用FTSO得到的誤差收斂于零附近后曲線比較平穩(wěn)，而采用LSO得到的誤差收斂于零附近后曲線會(huì)有振蕩，因此可以總結(jié)出FTSO比LSO具有更高的穩(wěn)態(tài)精度.

綜合圖2(b)、3(b)和4(b)可以看出在情況B下采用FTSO船舶的位置、艏向和速度誤差在6 s以內(nèi)都能收斂于零附近，而采用LSO船舶的位置、艏向和速度誤差收斂到零附近則需要15 s.綜合圖2～4可以總結(jié)出在加入未建模動(dòng)態(tài)項(xiàng)后，F(xiàn)TSO的收斂速度沒有受到太大的影響，而LSO的收斂速度明顯下降了很多，F(xiàn)TSO比LSO仍具有更快的收斂速度.另外，可以看出加入未建模動(dòng)態(tài)項(xiàng)FTSO得到的誤差收斂于零附近后曲線依然很平穩(wěn)， 而LSO的超調(diào)明顯增大了.總結(jié)以上兩點(diǎn)描述可以得出FTSO比LSO具有更好的抗干擾性.

綜上可見，F(xiàn)TSO具有更快的收斂速度和更好的抗干擾性.

4 結(jié)論

針對DPM船舶運(yùn)動(dòng)模型中的未知干擾和速度無法測量問題，設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間狀態(tài)觀測器.通過對誤差系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，證明了誤差系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂，從而證明了所提觀測器能實(shí)現(xiàn)半全局有限時(shí)間穩(wěn)定.最后的仿真結(jié)果表明所提出FTSO與LSO相比具有更快的收斂速度和更好的抗干擾性.