張繼平

//生活中的對稱之美//

我研究群論，群這個概念是數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的概念之一，群論是在研究數(shù)學(xué)上認為所謂的對稱學(xué)，所以說今天我給大家先講對稱之美。我們知道這個世界是充滿美的，美有很多的準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn)，對稱就是其中最重要的一個標(biāo)準(zhǔn)。對稱這個詞本身，現(xiàn)在我們簡單地說是從英文的symmetry翻譯過來的，它是指物體的各部分恰當(dāng)對應(yīng)產(chǎn)生的美感。

雪花，蝴蝶，星系，都是具有對稱之美。這些是大自然提供給我們的，但是我們?nèi)祟愒跉v史發(fā)展的長河當(dāng)中，創(chuàng)造了更多的美。有一個說法是，對稱法則是設(shè)計的黃金標(biāo)準(zhǔn)，無論是建筑設(shè)計，還是其他各方面設(shè)計。我們的故宮、鳥巢，印度的泰姬陵，這些當(dāng)中都有太多的美、對稱。另外一個是《蒙娜麗莎》，這幅畫是美的經(jīng)典，美的化身。那么它也是有它非常令人驚奇的對稱之美。就是在她的頭上，有所謂的黃金分割的螺線。這個螺線無論是左和右，都能夠很好地體現(xiàn)這種美的要求。這些都是在設(shè)計等等各方面，同時對稱還是一種思維方式。

我舉一個例子，我們都知道有一個物理學(xué)家，叫德布羅意。在1923年，他就完全地按照對稱思維的這種法則去思考：光有波動性，但它也是一種粒子，它有粒子性。德布羅意就想，所有其他的物質(zhì)粒子，它們是不是也有波動性呢？德布羅意在他的博士論文當(dāng)中就提出來這個問題，這就是所謂的著名的物質(zhì)粒子的波粒二象性。最后經(jīng)過實驗證明這個是完全對的。德布羅意在1929年獲得諾貝爾獎，他這一個是一種思維方式來指導(dǎo)他有這樣的科學(xué)研究上的成果。很多學(xué)化學(xué)的對元素周期表一定是愛不釋手，覺得它妙不可言，我也是這樣認為。但是我要告訴大家的，那個周期表做出來，今天我們知道也和對稱有關(guān)系。門捷列夫做這個周期表的時候，他那個時候做了很多實驗，做了很多的分析，把元素周期表根據(jù)原子量、原子序數(shù)等等進行排列。挺好的，很妙的，但是在它背后，實際上我們今天知道用不著那么多的實驗。我們知道利用庫侖力的旋轉(zhuǎn)對稱就可以來決定。這個元素周期表當(dāng)中的這個周期2、8、18、32，是可以用這些東西來決定的，那就要省事多了。所以說對稱無論是在生活中，還是在科學(xué)上都是相當(dāng)美的。

//什么是群論？什么是對稱多項式？//

既然是這么一個美的事情，這么重要的一個現(xiàn)象，我們在數(shù)學(xué)上就必須有描述它的工具。數(shù)學(xué)上認為所謂的對稱是在運動變換下不變的一種特性，研究這種不變性的學(xué)科就叫群論。我們可以有一點這個感性認識，我們今天演播廳，比方說我們有300個同學(xué)，正好今天有300個位置，那么我們這300個同學(xué)隨意地隨機地坐300個位置，每一種坐法就是一種變換，那么在我們300個人坐這300個位置當(dāng)中，一共有多少種這種坐法呢？一共有300的階乘個坐法，就是從1×2×3×4，一直到乘到300，就是這300的階乘個這種位置的變化就是一個群。那么這個現(xiàn)在我們稱它是全對稱群。對于這個對稱群，我們現(xiàn)在至少有一點感性的認識。知道了之后我們就可以做點事，所謂的對稱多項式。你們學(xué)高等代數(shù)的時候一定會學(xué)對稱多項式，知道對稱多項式的請舉手，大多數(shù)人還是都知道的。我們這幾個多項式是對稱多項式，而且它還是有特殊性，我們叫它初等對稱多項式。對稱多項式千千萬，初等對稱就這N個。我記得畫家有一個說法：畫人先畫骨。那么在我們這個地方，那么這個骨就是我們的初等對稱多項式。所以說這個從數(shù)學(xué)上來看，我們來分析對稱這個現(xiàn)象，在多項式這個地方有這么深刻的道理和這么美妙的結(jié)果，當(dāng)我一開始學(xué)到這個定理的時候我覺得它是妙不可言。

//中國古代數(shù)學(xué)已經(jīng)開辟了或者奠定了數(shù)學(xué)機械化的道路，這還不偉大嗎？//

從數(shù)學(xué)家的角度來看，我們研究這些東西，當(dāng)然是現(xiàn)實世界的需要，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要。那么在數(shù)學(xué)發(fā)展的道路征程中，你萬萬不會想到中國古代的數(shù)學(xué)就是追求真和美的典范。我們國家的數(shù)學(xué)家吳文俊先生，他也是我非常崇敬的中國數(shù)學(xué)家之一。吳先生有很多偉大的貢獻，其中之一就是他對中國古代數(shù)學(xué)有非常深刻的研究，提出來中國古代數(shù)學(xué)是主流數(shù)學(xué)的觀點。不像西方的有些人認為中國的數(shù)學(xué)是邊邊角角，是不成體系的，不成體統(tǒng)。吳先生他發(fā)現(xiàn)中國古代數(shù)學(xué)就是一部算法大全，覺得它是妙不可言。其中吳先生特別舉了一個例子，大家都知道的非常著名的《九章算術(shù)》。我們今天學(xué)高等數(shù)學(xué)的都知道輾轉(zhuǎn)相除法，或者說是歐幾里得算法，就是給了兩個整數(shù)或者兩個多項式，求它的最大公因子。在《九章算術(shù)》里邊，在公元前的時候，我們的老祖宗就已經(jīng)給出了這個算法了，而且相當(dāng)?shù)木?。他那個時候把這個最大公因子叫等數(shù)，這個數(shù)就是以少減多，更相減損，求其等也。什么意思？我舉一個最簡單的例子：我們想求6和4的最大公因子，那我們的老祖宗就告訴我們，你把這兩個數(shù)放在這兒，前面是6，后邊是4對吧，這是兩個數(shù)，然后以少減多，那就是把高的那個6多嘛，把4減掉，6減4還剩2對不對？現(xiàn)在就剩了兩個了，就是2和4對吧，那么再按照那個方法再減，也就是說用4減去2，那就還剩2，那就剩了兩個數(shù)了，2和2。這就是我們老祖宗說的等也，就是等數(shù)。這個2這樣出來了，就是6和4的最大公因子。我這個是舉的最簡單的一個例子，你可以舉其他的任何兩個整數(shù)，都可以通過有限步以后，把它的最大公因子找到。這是一個相當(dāng)美妙的事情，而且像這種偉大的解法算法，《九章算術(shù)》和后面的各種的數(shù)學(xué)著作里多了去了。

所以說吳先生說中國古代的數(shù)學(xué)就是一部算法大全，是告訴了你各種的算法。算法正是我們今天計算機幫人做事情的基礎(chǔ)，我們現(xiàn)在處于一個信息化的時代，數(shù)字化的時代，我們需要機器來幫我們做越來越多的事?？墒怯嬎銠C說起來是最聰明的，但是說回來也是最笨的，說它聰明是因為它快，它算得快，說它笨是因為它現(xiàn)在還不能思考，它什么東西都需要人做好了，給它編好了程序，讓它去一步步地去計算。機器最大的弱點就在于它只能處理有限的東西，它只能處理離散的東西。那么所有的無限的連續(xù)的東西，我們首先要靠人，把它化成有限的離散的東西，然后讓機器去做，這就是算法。正是實際問題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問題代數(shù)化，代數(shù)問題機械化，中國古代數(shù)學(xué)已經(jīng)開辟了或者奠定了數(shù)學(xué)機械化的道路，這還不偉大嗎？今天計算機的發(fā)展，算法的發(fā)展，一定會發(fā)展出新的數(shù)學(xué)，中國數(shù)學(xué)要走向世界的前端、要領(lǐng)先世界的話，我覺著我們應(yīng)該更多地求教于吳先生，我們也需要更多的中國的學(xué)子來努力，來使得我們真正走向數(shù)學(xué)的強國。

（六月的雨摘自2020年2月22日《開講啦》）