沈 羽

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院，河南 平頂山 467000)

1 引 言

上世紀(jì)80年代研究人員開發(fā)了三維動(dòng)力建模技術(shù)之后，該技術(shù)很快就得到了普及。目前，世界上的工業(yè)大國均將三維動(dòng)力建模技術(shù)作為大型機(jī)械生產(chǎn)中的核心環(huán)節(jié)[1]?，F(xiàn)在，大型機(jī)械設(shè)計(jì)研究中最棘手的問題就是撓性機(jī)械臂設(shè)備的研究工作[2]。近些年，從我國機(jī)械專家對(duì)撓性機(jī)械臂設(shè)備的分析成果來看，笨重且結(jié)構(gòu)復(fù)雜的撓性機(jī)械臂可以簡化成針對(duì)其組成的5個(gè)基礎(chǔ)零件的設(shè)計(jì)工作[3]。撓性機(jī)械臂的5個(gè)基礎(chǔ)零件分別為底座、中部、大臂、小臂和手柄，其設(shè)計(jì)內(nèi)容主要為位姿和速度等基本物理信息，從而構(gòu)建出完整的撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力學(xué)模型，作為機(jī)械構(gòu)造圖應(yīng)用到實(shí)際施工環(huán)節(jié)中[4]。

撓性機(jī)械臂的用途十分廣泛，上到在宇宙空間站的建立、維護(hù)中發(fā)揮重要作用，下到在一個(gè)小型的機(jī)械生產(chǎn)中提高施工的工作效率。撓性機(jī)械臂有質(zhì)量輕、跨度大、剛性低以及撓性大等特點(diǎn)，其模型結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜，不利于繪制。撓性機(jī)械臂生產(chǎn)中需要考慮的問題分為兩大類：第一類是保證撓性機(jī)械臂內(nèi)部零件的自身硬度，保證其在實(shí)時(shí)控制系統(tǒng)的強(qiáng)大壓力作用下，可以穩(wěn)定工作；第二類為如何搭配撓性機(jī)械臂零件，保證其達(dá)到最佳工作效率[5]。本文對(duì)如何提高撓性機(jī)械臂內(nèi)部零件的自身硬度進(jìn)行了有針對(duì)性的研究。

2 新型撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力建模方法

2.1 建立撓性機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

新型撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力建模方法采用逆向工程的線性代數(shù)矩陣?yán)碚?，建立撓性機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[6，7]，其基本運(yùn)算流程如下：

第一，找出撓性機(jī)械臂中根據(jù)時(shí)間自變量而改變的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征方程，假定系統(tǒng)中存在n個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)特性方程，則其方程為：

f(t)=[f1(t)，f2(t)，……，fn(t)]

(1)

式中：f(t)為運(yùn)動(dòng)學(xué)特性方程；t為撓性機(jī)械臂的操作時(shí)間。

第二，利用矩陣代數(shù)的方法，描述機(jī)械臂各零件相對(duì)于基坐標(biāo)系的幾何關(guān)系。在該矩陣中，采用三角函數(shù)法來表示各零件之間的關(guān)系，通過矩陣來描述零件與整體之間的比例關(guān)系。

第三，應(yīng)用正確的比例關(guān)系得到機(jī)械臂零件在運(yùn)動(dòng)過程中的轉(zhuǎn)角變化情況，下面為撓性機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)問題簡化成的等價(jià)3×3逆向工程的線性代數(shù)特色矩陣。

(2)

式中：T為撓性機(jī)械臂零件的矩陣特征值；θ為撓性機(jī)械臂零件運(yùn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)角大??；i為撓性機(jī)械臂中5個(gè)零件的編號(hào)，順序?yàn)榈鬃⒅胁?、大臂、小臂、手柄，i=1,2,3,4,5。

2.2 建立撓性機(jī)械臂拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程

在完成撓性機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的基礎(chǔ)上，應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日函數(shù)，來建立其動(dòng)力學(xué)方程，依次計(jì)算出撓性機(jī)械臂所需動(dòng)能和勢能之間的數(shù)量關(guān)系，下面為主要應(yīng)用的數(shù)學(xué)公式：

L=Ek-Ep

(3)

mg·d=F·H

(4)

(5)

(6)

式中：L為撓性機(jī)械臂所需動(dòng)能與勢能之間的插值；Ek為撓性機(jī)械臂所需動(dòng)能；Ep為撓性機(jī)械臂所需勢能；F為作用在撓性機(jī)械臂上的廣義力；H為操作過程中撓性機(jī)械臂所提升的高度；qk為廣義力所對(duì)應(yīng)的力矩；v為廣義力所對(duì)應(yīng)的運(yùn)行速度；q0為靜止?fàn)顟B(tài)下的廣義力矩；T為撓性機(jī)械臂運(yùn)行一周期所用的時(shí)間；d為撓性機(jī)械臂的動(dòng)力臂；m為撓性機(jī)械臂的質(zhì)量；r為撓性機(jī)械臂的底座半徑。

2.3 建立撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力模型

運(yùn)用拉格朗日方程進(jìn)行力學(xué)分析，對(duì)所設(shè)計(jì)的撓性機(jī)械臂中的力學(xué)特征有了精確的掌握之后，才能進(jìn)入最后一步，即建立撓性機(jī)械臂的三維動(dòng)力模型，其基本流程為：

第一，建立最基礎(chǔ)的空間直角坐標(biāo)系，即X軸、Y軸和Z軸。

第二，計(jì)算幾個(gè)零件在3個(gè)坐標(biāo)軸中的定值，其公式如下所示：

xi=aicosθi+dsinθi

(7)

yi=aisinθi+dtanθi

(8)

zi=vcosθi+atanθi+dsinθi

(9)

式中：xi為撓性機(jī)械臂中零件在X軸上的坐標(biāo)；ai為撓性機(jī)械臂中零件運(yùn)行時(shí)的加速度；θi為撓性機(jī)械臂零件運(yùn)行時(shí)的轉(zhuǎn)角大??；d表示機(jī)械臂的力臂；yi為撓性機(jī)械臂中零件在Y軸上的坐標(biāo)；zi為撓性機(jī)械臂中零件在Z軸上的坐標(biāo)。

第三，將Y軸沿自由度方向進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，找到手柄所在的執(zhí)行末端位置。

第四，在3個(gè)坐標(biāo)軸上找到撓性機(jī)械臂中大臂和小臂所在的質(zhì)心位點(diǎn)，并連接在一起。

第五，根據(jù)物理學(xué)知識(shí)精確找到底座和中部所在的坐標(biāo)點(diǎn)。

第六，連接各坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行繪圖工作。圖1為應(yīng)用新型撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力建模方法得到的撓性機(jī)械臂模型圖。

圖1 撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力模型

3 仿真試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)準(zhǔn)備

本試驗(yàn)利用新型撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力學(xué)建模方法與傳統(tǒng)方法同時(shí)繪制撓性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型，采用計(jì)算機(jī)軟件將兩種動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)出來，參考實(shí)物從兩個(gè)模型中挑選出5個(gè)相同的點(diǎn)，編號(hào)為1、2、3、4、5，判定新型方法的使用價(jià)值。

3.2 結(jié)果分析

表1為兩個(gè)方法得到的撓性機(jī)械臂模型精確度對(duì)比情況。

表1 兩種方法構(gòu)建出模型精確度對(duì)比結(jié)果

從表1可以清晰地看出，新型撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力建模方法設(shè)計(jì)出的撓性機(jī)械臂精確度平均值達(dá)到了81.0%，高于傳統(tǒng)撓性機(jī)械臂77.2%的精確度平均值。因此，驗(yàn)證了新型撓性機(jī)械臂三維動(dòng)力建模方法的使用價(jià)值。

4 結(jié)束語

如今，我國機(jī)械制造業(yè)的需求量日益增大，其中對(duì)撓性機(jī)械臂需求也越來越大。很多機(jī)械制造企業(yè)為了滿足當(dāng)前的市場需求，生產(chǎn)工作急于求成，造成大量撓性機(jī)械臂成品質(zhì)量不合格。本文將線性代數(shù)理論和高等數(shù)學(xué)中拉格朗日運(yùn)算理論引入到撓性機(jī)械臂的三維動(dòng)力學(xué)模型的制作中，提高了當(dāng)前撓性機(jī)械臂產(chǎn)品的質(zhì)量。