姚 陽(yáng)，張 磊，徐冰輝，姚興田

（南通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南通 226019）

1 引言

攝像機(jī)標(biāo)定是指根據(jù)所給的攝像機(jī)模型，在圖像像素坐標(biāo)點(diǎn)與空間場(chǎng)景點(diǎn)位置之間建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系，對(duì)其內(nèi)部參數(shù)及外部參數(shù)進(jìn)行求解的過(guò)程[1]。攝像機(jī)對(duì)標(biāo)定板上特征點(diǎn)的圖像進(jìn)行采集，再利用特征點(diǎn)的世界坐標(biāo)及其相應(yīng)的圖像坐標(biāo)即可得出攝像機(jī)參數(shù)。

目前攝像機(jī)標(biāo)定技術(shù)大概可分為兩類[2]：（1）傳統(tǒng)攝像機(jī)標(biāo)定法，利用標(biāo)定板確定攝像機(jī)參數(shù)；（2）自標(biāo)定，即根據(jù)攝像機(jī)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所產(chǎn)生的兩圖像間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行標(biāo)定。傳統(tǒng)標(biāo)定法標(biāo)定精度較高，操作較為簡(jiǎn)便，但是對(duì)標(biāo)定模塊要求較高。自標(biāo)定法不倚靠于標(biāo)定參照物，靈活性較高，但約束條件較強(qiáng)，標(biāo)定繁瑣，且標(biāo)定精度較低，魯棒性不足。

常用攝像機(jī)標(biāo)定方法有 Faugeras 標(biāo)定法[3]，Tsai 兩步法[4]，張正友平面標(biāo)定法[5]。Faugeras 的線性模型攝像機(jī)標(biāo)定方法是基于線性方程組的最小二乘問題。Tsai 標(biāo)定法需要預(yù)先得到一部分參數(shù)值，先通過(guò)線性方法求解出部分參數(shù)，再通過(guò)非線性優(yōu)化解出剩余攝像機(jī)參數(shù)的精確解。張正友標(biāo)定利用平面標(biāo)定板在不同視角下的多幅圖像，依據(jù)設(shè)計(jì)的單應(yīng)矩陣，標(biāo)定得到攝像機(jī)參數(shù)。這兩種方法一般可獲得其免費(fèi)的程序包，使得用戶使用方便。但由于程序包封裝，只適合于靜態(tài)標(biāo)定。一旦參數(shù)發(fā)生改變，需重新標(biāo)定。如對(duì)于焦距等參數(shù)隨時(shí)改變且需要實(shí)時(shí)標(biāo)定參數(shù)的交通保安視頻監(jiān)控、機(jī)器人視覺等場(chǎng)合，這兩種方法的程序包并不適用。若用戶自行開發(fā)，實(shí)現(xiàn)并不容易。再者，Tsai 標(biāo)定法所要求的參數(shù)，有時(shí)廠家并不提供，像素間距也不易把握。因此類似Faugeras 的線性標(biāo)定法在實(shí)時(shí)場(chǎng)合仍然有較高應(yīng)用價(jià)值，用戶便于針對(duì)性的開發(fā)自己的軟件。

較多文獻(xiàn)針對(duì)標(biāo)定精度不高的問題開展了研究工作：文獻(xiàn)[6]將主點(diǎn)定在圖像中心，同時(shí)設(shè)縱橫比為1，通過(guò)改進(jìn)的線性方法得出攝像機(jī)坐標(biāo)，然后根據(jù)攝像機(jī)坐標(biāo)系下的三維點(diǎn)對(duì)內(nèi)外參進(jìn)行優(yōu)化。文獻(xiàn)[7]在根據(jù)兩步法得到初始標(biāo)定值的基礎(chǔ)上，再對(duì)全部參數(shù)進(jìn)行非線性優(yōu)化，求解出最終的標(biāo)定結(jié)果。文獻(xiàn)[8]提出一種新的畸變模型，將多種鏡頭畸變考慮在其中，并用迭代法解出精確解。上述文獻(xiàn)中，可以看出近些年的標(biāo)定更多是從考慮畸變，優(yōu)化算法等方面改進(jìn)，而在線性標(biāo)定階段較少進(jìn)行改善，導(dǎo)致標(biāo)定一開始就偏差較大，需要依賴后期的優(yōu)化。此外利用非線性優(yōu)化法進(jìn)行參數(shù)標(biāo)定用時(shí)較多，且算法復(fù)雜。有的是基于Tsai 標(biāo)定法進(jìn)行的后續(xù)改進(jìn)，若參數(shù)一旦發(fā)生變化，需重新標(biāo)定，過(guò)程顯得繁瑣，更不能應(yīng)用在實(shí)時(shí)場(chǎng)合。

在參數(shù)隨時(shí)發(fā)生變化的場(chǎng)合，在相對(duì)簡(jiǎn)單的線性標(biāo)定方法的基礎(chǔ)上再考慮畸變因素，往往可以獲得易實(shí)現(xiàn)與精確度的雙贏。Faugeras 是線性標(biāo)定方法的代表，其實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單。但該方法未考慮攝像機(jī)特性，對(duì)于攝像機(jī)標(biāo)定模型只當(dāng)成一般數(shù)學(xué)問題求解，并且將不同量級(jí)的參數(shù)混合，導(dǎo)致誤差放大，尤其是求解的圖像中心點(diǎn)與實(shí)際的圖像中心有一定偏差，有時(shí)偏差很大。根據(jù)上述分析，對(duì)Faugeras 標(biāo)定法進(jìn)行了改進(jìn)，利用攝像機(jī)參數(shù)的特點(diǎn)，提出了一種新的線性標(biāo)定方法，可以分步求解攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)，并在標(biāo)定過(guò)程中對(duì)部分參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

2 Faugeras 標(biāo)定中存在的問題

2.1 傳統(tǒng)的Faugeras 標(biāo)定法

Faugeras 等在1986 年提出基于線性成像模型的攝像機(jī)標(biāo)定方法對(duì)攝像機(jī)內(nèi)外參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。該方法將一個(gè)三維目標(biāo)物放置于攝像機(jī)前，該目標(biāo)物上的每一個(gè)頂點(diǎn)均可作為特征點(diǎn)，攝像機(jī)獲取目標(biāo)物上特征點(diǎn)的世界坐標(biāo)和相應(yīng)的圖像坐標(biāo)即可計(jì)算出攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。

該攝像機(jī)標(biāo)定方法，采用內(nèi)參數(shù)為四參數(shù)的攝像機(jī)模型，世界坐標(biāo)系OWXWYWZW建立在標(biāo)定參照物上，假設(shè)選取的特征點(diǎn)世界坐標(biāo)已知，可得：

式中：（u，v）—特征點(diǎn)在攝像機(jī)圖像坐標(biāo)系中的坐標(biāo)；（xw，yw，zw）—特征點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

將上式展開并消去zc得：

在世界坐標(biāo)系中，對(duì)于n 個(gè)已知坐標(biāo)的特征點(diǎn)，則可由式（2）得到2n 個(gè)方程構(gòu)成的方程組，如下：

根據(jù)Faugeras 傳統(tǒng)的方法，由于m34≠0，兩邊同除以m34，該方程可簡(jiǎn)化表達(dá)為：Am′=B，式中：m′=m/m34。運(yùn)用最小二乘法解得：m′=（ATA）-1ATB。

2.2 存在的問題

通過(guò)上述求解過(guò)程，可發(fā)現(xiàn)Faugeras 先行求解間接向量m′，然后根據(jù)，求解m34。此時(shí)誤差已引入，且誤差較大，另外由它產(chǎn)生的其它參數(shù)誤差也相應(yīng)較大。Faugeras 方法缺點(diǎn)是對(duì)于攝像機(jī)標(biāo)定模型只當(dāng)成一般數(shù)學(xué)問題求解，將各個(gè)參數(shù)混在一起形成m 向量，并先解出該向量，容易使不同數(shù)量級(jí)的參數(shù)混合，造成誤差增大。而且規(guī)定采集的圖像像素點(diǎn)不能在同一平面上，否則造成參數(shù)求解殘缺。若采用平面的多個(gè)像素點(diǎn)求解，一般仍然需要兩個(gè)不同平面的像素點(diǎn)來(lái)補(bǔ)足參數(shù)，共同求解。

3 新的線性標(biāo)定法

Faugeras 的方法未利用在標(biāo)定時(shí)，已經(jīng)存在的現(xiàn)成條件或者近似條件，比如對(duì)于絕大部分相機(jī)，可以認(rèn)為，或者規(guī)定相機(jī)中軸就穿過(guò)圖像的中心點(diǎn)，即（u0，v0），因此可以近似認(rèn)為 u0，v0是已知，這樣內(nèi)參數(shù)只剩下kx與ky，而這兩個(gè)值一般很接近，甚至也可用一個(gè)值表達(dá)，如此，內(nèi)參幾乎只剩一個(gè)參數(shù)。加上外參數(shù)的旋轉(zhuǎn)向量之間有約束非獨(dú)立，這可以被利用來(lái)求解，可避免Faugeras 將其混合起來(lái)的做法，有利于參數(shù)求解精度的提高。

提出的新方法如下，根據(jù)式（2）列出基本方程組：將m14及m24單獨(dú)放在右邊，考慮m14，m24不帶其它參數(shù)，雖然其本身帶的內(nèi)外參數(shù)不少，但在下面的推導(dǎo)中可以將其進(jìn)行處理，利于問題的求解。

（4）式中的第一式兩邊同除以m14，若有n 個(gè)像素點(diǎn)，可形成方程組如下：

所以前述方程組可記為向量與矩陣形式：Aumu=Bu。式中：Au-n×7 矩陣，Bu-n 行的列向量。

通過(guò)最小二乘法解出mu 向量后，根據(jù)式（1）與式（6）可知：

對(duì)式（4）的第二式兩邊同除以m24，得：Avmv=Bv。其中，

由式（6）與式（8）可知，

第四步，求解向量p。

由于m34即pz可由mu的相關(guān)參數(shù)解出，也可由mv解出，即pz=mu34（kxpx+u0pz）且 pz=mv34（kypy+v0pz）。

則：

根據(jù)pz初始值可求出px，py的初始值，代入上述方程組，建立超定方程組求最小二乘解對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化即可得到px，py，pz的精確解。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較

為了進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，選用三維棋盤格立體靶標(biāo)。先后采用Matlab 標(biāo)定工具箱（基于張正友標(biāo)定法）、Faugeras 標(biāo)定法、新的線性標(biāo)定法進(jìn)行標(biāo)定。通過(guò)攝像機(jī)拍攝20 張圖片，如圖1所示。圖像大小為640*480 個(gè)像素點(diǎn)，經(jīng)過(guò)計(jì)算機(jī)測(cè)定得到角點(diǎn)坐標(biāo)，每幅圖像采集10 組角點(diǎn)（特征點(diǎn)）的圖像像素坐標(biāo)和世界坐標(biāo)。

圖1 標(biāo)定圖像Fig.1 Calibration Images

首先利用Matlab 標(biāo)定工具箱即張正友標(biāo)定法進(jìn)行標(biāo)定，得到內(nèi)參數(shù)矩陣為：

對(duì)于新的線性方法，實(shí)驗(yàn)中選取主點(diǎn)坐標(biāo)值為：u0=320/pixel，v0=240/pixel。對(duì)其使用VC 程序進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，具體界面，如圖2 所示。利用Faugeras 方法與新的標(biāo)定方法進(jìn)行標(biāo)定，選取其中5 組內(nèi)參數(shù)結(jié)果，如表1 所示。

圖2 新的線性標(biāo)定方法程序?qū)崿F(xiàn)界面Fig.2 Program Interface of the New Linear Calibration Method

表1 內(nèi)部參數(shù)結(jié)果比較Tab.1 Comparison of Internal Parameter Results

由所采集的標(biāo)定圖像中選取一幅圖像對(duì)外參數(shù)進(jìn)行對(duì)比，張正友標(biāo)定法得到的外部參數(shù)為：

Faugeras 標(biāo)定法得到的外部參數(shù)為：

新方法得到的外部參數(shù)為：

解得攝像機(jī)全部參數(shù)之后，利用所求參數(shù)根據(jù)式（1），反推像素點(diǎn)的坐標(biāo)值，并將平均像素誤差作為判別標(biāo)定結(jié)果精度高低的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

平均像素誤差[9]為：

式中：（ui，vi）—像素點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)際值—用實(shí)際三維世界坐標(biāo)點(diǎn)推算出的坐標(biāo)值；N—選取角點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

平均像素誤差Δrˉ的值越小[10]，則表明所得結(jié)果越好，誤差越小。經(jīng)計(jì)算，對(duì)于20 幅圖像，F(xiàn)augeras 標(biāo)定法的平均像素誤差為13.5586mm，改進(jìn)方法的平均像素誤差為4.8386mm，結(jié)果表明，新的線性方法的精度高于傳統(tǒng)的Faugeras 標(biāo)定法。根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可發(fā)現(xiàn)利用新的線性方法標(biāo)定出的參數(shù)與張正友標(biāo)定的結(jié)果更加接近。另外從表1 可發(fā)現(xiàn)Faugeras 方法標(biāo)定出的圖像中心點(diǎn)u0，v0有時(shí)偏差較大，顯然不符合實(shí)際在（320，240）附近的情況。而新方法這種假設(shè)與實(shí)際情況更符合，其也帶來(lái)其它標(biāo)定參數(shù)精度的提高。但是新的線性方法標(biāo)定所得的內(nèi)參數(shù)對(duì)于個(gè)別圖像具有偶然性，建議以多幅圖像進(jìn)行標(biāo)定，再對(duì)最終結(jié)果進(jìn)行迭代優(yōu)化。提出的新方法，未考慮畸變以及未采用優(yōu)化算法，便已得到了較高精度，為以后獲得更高精度奠定了良好的基礎(chǔ)。

5 結(jié)論

傳統(tǒng)的Faugeras 標(biāo)定對(duì)于攝像機(jī)標(biāo)定模型只當(dāng)成一般數(shù)學(xué)問題求解，并且將不同數(shù)量級(jí)的參數(shù)混合在一起形成關(guān)鍵參數(shù)m向量，同時(shí)采用從M 矩陣中分解出參數(shù)的方法，并未將變量間的約束關(guān)系考慮在其中，導(dǎo)致誤差一級(jí)級(jí)增大。而當(dāng)前諸多攝像機(jī)標(biāo)定方法沒有在線性標(biāo)定階段進(jìn)行改善。針對(duì)該問題，提出了一種改進(jìn)的線性標(biāo)定法。該方法將參數(shù)分開求解，操作簡(jiǎn)便，相較于Faugeras 方法標(biāo)定精度得到了提高。新方法即由研究人員自己編程實(shí)現(xiàn)，與Faugeras 的實(shí)現(xiàn)過(guò)程類似，實(shí)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單，且可在視頻中隨時(shí)得到標(biāo)定參數(shù)，便于今后用戶自行開發(fā)可用于實(shí)時(shí)場(chǎng)合的完整標(biāo)定軟件。集中研究線性標(biāo)定方法的改進(jìn)，今后將進(jìn)一步研究在新方法中考慮鏡頭畸變以及優(yōu)化，有望得到更精確的解。