李想，趙小山

一類金融系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階混沌同步

李想，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 理學(xué)院，天津 300222）

針對(duì)一類分?jǐn)?shù)階金融混沌系統(tǒng)和整數(shù)階金融混沌系統(tǒng)之間的同步問題，利用追蹤控制思想和非線性動(dòng)力學(xué)理論，設(shè)計(jì)了補(bǔ)償器和反饋控制器，并通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)和Matlab數(shù)值模擬驗(yàn)證了其可行性．

分?jǐn)?shù)階；整數(shù)階；金融系統(tǒng)；混沌同步

1 引言及預(yù)備知識(shí)

混沌是自然界中存在的一種復(fù)雜且具有一定非線性動(dòng)力學(xué)特性的運(yùn)動(dòng)形式，近年來，人們發(fā)現(xiàn)混沌同步在氣象學(xué)[1]、通信[2]和金融[3]等方面有著巨大的應(yīng)用價(jià)值，完全同步、延遲同步、相同步、反同步和投影同步等多種同步方法[4-7]也被相繼提出與應(yīng)用．從寬泛的數(shù)學(xué)視角而言，分?jǐn)?shù)階微積分在描述系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象時(shí)，與整數(shù)階微積分存在著極其相仿的地方．目前對(duì)系統(tǒng)間混沌同步的研究成果有很多，但形式比較單一，對(duì)于不同階次系統(tǒng)間的混沌同步研究數(shù)量是非常少的．本文針對(duì)一類金融系統(tǒng)的整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階之間的混沌同步問題，設(shè)計(jì)了能夠使其同步的補(bǔ)償器和控制器，通過數(shù)值計(jì)算與Matlab數(shù)值模擬驗(yàn)證其可行性與有效性．

考慮驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)

和響應(yīng)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

定義 驅(qū)動(dòng)和響應(yīng)混沌系統(tǒng)同步時(shí)的誤差向量為

如果能夠通過設(shè)計(jì)合適的控制器，使得整數(shù)階系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)混沌同步誤差趨近于零，即

則稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)已經(jīng)達(dá)到混沌同步．

2 一類金融系統(tǒng)的整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階混沌同步方案

整數(shù)階金融混沌系統(tǒng)模型為

文獻(xiàn)[9]在整數(shù)階金融混沌系統(tǒng)中注入分?jǐn)?shù)階概念，得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)階金融混沌系統(tǒng)

將整數(shù)階金融混沌系統(tǒng)（5）當(dāng)作驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階金融混沌系統(tǒng)（6）當(dāng)作響應(yīng)系統(tǒng)，構(gòu)造新的受控分?jǐn)?shù)階金融混沌系統(tǒng)

根據(jù)分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論與自適應(yīng)控制理論，設(shè)計(jì)控制器為

3 數(shù)值仿真

整數(shù)階金融系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的混沌相圖見圖１．

圖1　整數(shù)階金融系統(tǒng)和階次為的分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的混沌相圖

圖2　同步誤差

4 結(jié)語

通過大量研究分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階微積分相關(guān)理論和非線性動(dòng)力學(xué)思想，針對(duì)一類金融混沌系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階形式，設(shè)計(jì)補(bǔ)償器和控制器，實(shí)現(xiàn)了2個(gè)系統(tǒng)之間的混沌同步，并通過數(shù)值理論計(jì)算和Matlab數(shù)值模擬驗(yàn)證了其有效性．

[1] 王東曉．分?jǐn)?shù)階大氣混沌系統(tǒng)的比例積分滑膜同步[J]．天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2019（5）：35-38

[2] 薛薇，徐進(jìn)康，賈紅艷．一個(gè)分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)同步及其保密通信研究[J]．系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2016（8）：212-218

[3] 毛北行，張玉霞．一類分?jǐn)?shù)階金融系統(tǒng)的混沌同步[J]．經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2015（2）：107-110

[4] 王德金，鄭永愛．分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的延遲同步[J]．動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2010（4）：338-341

[5] 盧靜，張榮．振幅耦合系統(tǒng)的相同步[J]．江南大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011（1）：93-97

[6] Kim C M，Rim S H，Key W．Anti-synchronization of chaotic oscillators[J]．Phys Lett，2003（1）：39-46

[7] 李德奎．超混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步在圖像加密中的應(yīng)用[J]．北京工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2019（1）：24-32

[8] 張園，徐琦，孫明瑋，等．基于快速全線性預(yù)測控制的混沌系統(tǒng)控制與同步[J]．物理學(xué)報(bào)，2015（1）：55-61

[9] Chen W C．Nonlinear dynamics and chaos in a fractional-order financial system[J]．Chaos Solitons & Fractals，2008，36（5）：1305-1314

[10] 王興元，石其江．R?ssler混沌系統(tǒng)的追蹤控制[J]．物理學(xué)報(bào)，2005（12）：81-86

LI Xiang，ZHAO Xiaoshan

（School of Science，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Aiming at the synchronization problem between a class of fractional-order financial chaotic system and integer-order financial chaotic system，a compensator and a feedback controller are designed by using the tracking control idea and nonlinear dynamics theory，and its feasibility is verified by constructing Lyapunov function and numerical simulation by Matlab.

fractional-order；integer-order；financial system；synchronization

1007-9831（2020）07-0001-04

O415.5

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.07.001

2020-04-24

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61703307）；天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金計(jì)劃項(xiàng)目（KJ1814）

李想（1994-），女，河北邯鄲人，在讀碩士研究生，從事非線性動(dòng)力系統(tǒng)研究．E-mail：1178224356@qq.com