李 沛 劉建遠(yuǎn) 于 濤 曹 釗

（1.內(nèi)蒙古科技大學(xué)礦業(yè)研究院，內(nèi)蒙古包頭014010；2.北京礦冶科技集團(tuán)有限公司，北京102628；3.中國(guó)華冶杜達(dá)礦業(yè)有限公司，俾路支卡拉奇999010）

邦德可磨度被用于計(jì)算磨礦作業(yè)中指定粉碎程度下的比能耗，進(jìn)而計(jì)算出磨礦功率。輔以適當(dāng)?shù)墓β誓Ｐ?，可完成磨機(jī)的選型工作。

20世紀(jì)30年代，Maxson與Bond等人提出了一種衡量礦石可磨度的指標(biāo)G，其定義為在特定實(shí)驗(yàn)室小磨機(jī)中進(jìn)行的批次干式閉路磨礦達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)磨機(jī)每轉(zhuǎn)動(dòng)一周新生成的合格粒級(jí)克數(shù)［1］。此試驗(yàn)的技術(shù)參數(shù)與20世紀(jì)40年代提出的標(biāo)準(zhǔn)邦德可磨度測(cè)定方法基本一致［2］，以下簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)方法。值得一提的是，Bond等人之所以選擇閉路磨礦到穩(wěn)態(tài)是基于如下考慮：盡可能接近工業(yè)上的連續(xù)閉路磨礦，該條件下的粒度分布與開路不同，對(duì)磨礦結(jié)果有影響，而所選擇的循環(huán)負(fù)荷量250%正是當(dāng)時(shí)常見的球磨作業(yè)參數(shù)。

20世紀(jì)50年代，在斷裂力學(xué)發(fā)展的背景下，Bond提出了磨礦能耗的“第三理論”，其方程為［3］

式中，W為比能耗，kWh/t；F80和P80分別為給礦和磨礦產(chǎn)品的80%過(guò)篩粒度，μm；Wi為功指數(shù)，kWh/t。在筆者看來(lái)，“第三理論”中的物理依據(jù)（裂隙發(fā)育現(xiàn)象）與方程（1）在理論推導(dǎo)上的聯(lián)系并不強(qiáng)，不宜看作定理。然而，該方程在多數(shù)情況下能較好地反映常規(guī)磨礦作業(yè)中粉碎程度與能量輸入間的關(guān)系。

同一時(shí)期，在積累了大量數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，Bond將球磨可磨度G與內(nèi)徑為2.44 m的溢流型工業(yè)球磨機(jī)濕式閉路磨礦的功指數(shù)Wi相關(guān)聯(lián)，通過(guò)回歸分析得到如下關(guān)系［4］：

式中，P為邦德可磨度試驗(yàn)中閉路篩分采用的篩孔尺寸，μm，一般選?。?.4～1.5）×P80。當(dāng)時(shí)視上述工業(yè)磨礦條件為標(biāo)準(zhǔn)磨礦條件。將其與非標(biāo)準(zhǔn)條件做比較，得到一系列修正系數(shù)。如此便可以用可磨度計(jì)算任意條件下的球磨比能耗，見圖1。棒磨比能耗計(jì)算思路與此相同，計(jì)算參數(shù)不同。因此，準(zhǔn)確測(cè)定邦德可磨度就成為了磨礦回路設(shè)計(jì)與設(shè)備選型的關(guān)鍵。

Bond等人在設(shè)計(jì)測(cè)定方法時(shí)優(yōu)先考慮的是盡可能模擬工業(yè)磨礦作業(yè)，其次也考慮到操作的簡(jiǎn)便性。比如試驗(yàn)?zāi)C(jī)選用無(wú)提升條設(shè)計(jì)，減少了清理物料的難度，卻因此不得不提高轉(zhuǎn)速率至91%，以模擬工業(yè)磨機(jī)中介質(zhì)的“拋落”形態(tài)［5］。其試驗(yàn)終點(diǎn)的判定標(biāo)準(zhǔn)為：連續(xù)3個(gè)循環(huán)的循環(huán)負(fù)荷平均值為250%±5%，且可磨度G最大值與最小值之差不大于平均值的3%。在實(shí)踐中，往往在第5個(gè)循環(huán)才能實(shí)現(xiàn)250%左右的循環(huán)負(fù)荷，之后還需要2～3個(gè)循環(huán)才能平衡。每一個(gè)循環(huán)都包含了清理、篩分等耗時(shí)耗力的操作，尤其當(dāng)篩分尺寸低于150 μm時(shí)，篩分作業(yè)效率很低，處理700 cm3的物料耗時(shí)很長(zhǎng)。同時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)方法所得信息非常有限，突出表現(xiàn)在對(duì)不同的篩分尺寸P都需要做新的試驗(yàn)。

業(yè)界一直在尋找簡(jiǎn)便的替代方法，本文對(duì)若干較為成熟可靠的方法進(jìn)行回顧與評(píng)述。

1 馬格達(dá)里諾維奇法

Magdalinovic分析了邦德球磨可磨度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，認(rèn)為在該試驗(yàn)條件下，大部分礦石表現(xiàn)出顯著的一階動(dòng)力學(xué)粉碎特征，表達(dá)式為［6］：

式中，R與R0分別為磨礦產(chǎn)品中在磨礦t時(shí)和開始時(shí)的篩上物質(zhì)量，g；k為粉碎速度常數(shù)，1/min。

當(dāng)達(dá)到試驗(yàn)終點(diǎn)時(shí)，有如下條件：

式中，U為篩下物質(zhì)量，在此時(shí)也是新給礦質(zhì)量，g；M是磨機(jī)中700 cm3物料的質(zhì)量，g；r0為新給礦中粗粒級(jí)的含量，%。

將式（6）代入式（3），可得式（7），整理后得式（8）：

式中，tc為循環(huán)量達(dá)250%的磨礦時(shí)間，min。

令磨機(jī)轉(zhuǎn)速為rsr/min，則到t時(shí)和tc時(shí)轉(zhuǎn)數(shù)分別為N和Nc，則有如下方程:

式（9）給出求得粉碎速率常數(shù)k值的方法，式（10）給出達(dá)到循環(huán)量為250%所需的轉(zhuǎn)數(shù)。原理上只需做2次試驗(yàn)即可。試驗(yàn)步驟歸納如下：

（1）準(zhǔn)備工作。按邦德可磨度測(cè)定要求備好-3.35 mm的破碎原礦，做篩析，得到F80和r0的值；縮分破碎原礦，得出2份新給礦，質(zhì)量為（M/3.5）g；篩分破碎原礦，篩孔尺寸為標(biāo)準(zhǔn)方法中閉路篩孔尺寸P，之后縮分，得到2份粗物料，質(zhì)量為（2.5M/3.5）g。

（2）第1次磨礦。取1份新給礦和1份粗物料裝入磨機(jī)，質(zhì)量合計(jì)為M；用式（6）計(jì)算篩上物質(zhì)量R0；磨N轉(zhuǎn)，一般為100轉(zhuǎn)；取出產(chǎn)品，篩分，得到磨礦產(chǎn)品的篩上物質(zhì)量R；用式（9）計(jì)算得到粉碎速度常數(shù)k值。

（3）第2次磨礦。取另外1份新給礦和1份粗物料裝入磨機(jī)；用式（10）計(jì)算出循環(huán)負(fù)荷為250%時(shí)所需的轉(zhuǎn)數(shù)Nc；磨Nc轉(zhuǎn)，取出產(chǎn)品，篩分，若篩下物質(zhì)量U與M/3.5相差較小，說(shuō)明試驗(yàn)成功，則可磨度G由定義計(jì)算為

該方法將原來(lái)的7～8個(gè)循環(huán)的磨礦—篩分作業(yè)減少至2個(gè)；且在實(shí)踐中，可以縮分粉碎產(chǎn)品，取部分（一般為1/4）做篩析，反推篩上物與篩下物質(zhì)量，極大地減少了工作量。

如上文所述，閉路磨礦的可磨度要低于開路磨礦的可磨度，因此，該方法所得可磨度往往略偏高，計(jì)算出的邦德功指數(shù)偏低。對(duì)質(zhì)地均勻礦石，該方法與標(biāo)準(zhǔn)方法所得可磨度的偏差在7%以內(nèi)；對(duì)軟硬混合礦石或難磨粒級(jí)含量高的礦石，效果不佳。

上述原理與方法對(duì)棒磨可磨度測(cè)定也適用，精度較高，具體見文獻(xiàn)［7］。

2 列文法

Levin提出了一個(gè)方法，即不測(cè)可磨度，而是通過(guò)相對(duì)可磨度試驗(yàn)求出指定粉碎程度下的球磨比能耗，直接滿足了設(shè)計(jì)與計(jì)算的要求［8］。

標(biāo)準(zhǔn)方法中每轉(zhuǎn)得到總的合格粒級(jí)質(zhì)量T與新生成合格粒級(jí)質(zhì)量G（可磨度）的關(guān)系為

其中，ru是破碎原礦中合格粒級(jí)含量，與上文中粗粒級(jí)含量r0相對(duì)應(yīng)；T、G單位為g/r。

若獲得1 t合格粒級(jí)的產(chǎn)品，則需要N1t轉(zhuǎn)：

1 t礦石在標(biāo)準(zhǔn)磨礦條件下達(dá)到指定粉碎程度所需能量為：

則邦德可磨度試驗(yàn)中每轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)磨礦條件下的能耗為：

將式（2）代入并整理可得

若B值已知，根據(jù)定義，在標(biāo)準(zhǔn)磨礦條件下1 t礦石在指定粉碎程度下消耗的能量E就是比能耗W：

式中，M為700 cm3物料的質(zhì)量，g；Nd為在邦德可磨度試驗(yàn)中，物料被粉碎到指定細(xì)度所需轉(zhuǎn)數(shù)，也是該方法中唯一需要通過(guò)試驗(yàn)得到的數(shù)值。列文指出此式既適用于閉路試驗(yàn)，也適用于開路試驗(yàn)。對(duì)于開路試驗(yàn)，可通過(guò)若干轉(zhuǎn)數(shù)不等的開路磨礦試驗(yàn)，每次對(duì)產(chǎn)品縮分做篩析，匯總結(jié)果，用插值法找到該值?？梢姡摲椒☉?yīng)用的關(guān)鍵在于求得B值。

Levin統(tǒng)計(jì)了大量的邦德可磨度試驗(yàn)結(jié)果（樣品主要來(lái)源于南非的金屬礦山），通過(guò)繪制分布圖，發(fā)現(xiàn)B值高度集中于（1.8～2.2）×10-5kWh/r的區(qū)間內(nèi)，見圖2。取該區(qū)間的加權(quán)平均值1.98×10-5kWh/r參與計(jì)算。Levin對(duì)此做出解釋：

（1）根據(jù)定義，B值應(yīng)是定值，這是該方法成立的前提（筆者按：理論上任意一套數(shù)據(jù)都能計(jì)算出該定值）。注意到B值的計(jì)算中包含式（1）與式（2），而Bond給出的能耗計(jì)算方法本就是“平均狀態(tài)”下的經(jīng)驗(yàn)公式，當(dāng)偏離該狀態(tài)時(shí)所得能耗是不準(zhǔn)確的，加之有試驗(yàn)誤差的存在，導(dǎo)致B值呈一定規(guī)律分布，因此需取平均值。

（2）通過(guò)分類統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)落于低B值組（＜1.70×10-5kWh/r）的物料的功指數(shù)值較高，給礦中合格粒級(jí)含量較少且粒度分布曲線較陡；落于高B值組（（2.30～2.49）×10-5kWh/r）的物料的功指數(shù)值較低，給礦中合格粒級(jí)含量較多且粒度分布曲線較平緩；而落于中等B值組（（1.90～1.99）×10-5kWh/r）的物料的功指數(shù)、給礦中合格粒級(jí)含量與粒度分布在上述兩者之間，正是所謂的“平均狀態(tài)”，因此選擇中間4組做加權(quán)平均。

列文法的磨礦-篩分次數(shù)可能比馬格達(dá)里諾維奇法多，但省去了粗粒級(jí)物料制備，總體上工作量相當(dāng)。劉建遠(yuǎn)用列文法處理了50多組礦石可磨度試驗(yàn)數(shù)據(jù)，所得比能耗與標(biāo)準(zhǔn)方法的對(duì)比見圖3［9］?？梢钥闯?，兩者結(jié)果相當(dāng)接近。原則上，該方法對(duì)棒磨也適用，但未見報(bào)道。

3 計(jì)算機(jī)模擬方法

Lewis等人提出用Austin模型和理想篩分模型對(duì)邦德可磨度試驗(yàn)做動(dòng)力學(xué)仿真，逐次模擬批次磨礦產(chǎn)品和下一次給礦的粒度組成，直至收斂于試驗(yàn)終點(diǎn)，進(jìn)而用少量試驗(yàn)獲得大量信息［10］。

Austin模型是一種經(jīng)典的粉碎動(dòng)力學(xué)總量平衡模型，能準(zhǔn)確描述磨礦中粒度分布隨時(shí)間的演進(jìn)［11］。對(duì)于批次磨礦來(lái)說(shuō)，其原理如圖4所示，方程見式（18）。

式中，mi（t）為t時(shí)刻第i個(gè)粒級(jí)物料含量，%；Si為選擇函數(shù)，表征第i個(gè)粒級(jí)的碎裂速度，即單位時(shí)間內(nèi)該粒級(jí)的粉碎分?jǐn)?shù)，單位為min-1；bij為分布函數(shù)，表征經(jīng)粉碎由j粒級(jí)落入第i粒級(jí)的含量，無(wú)量綱。該方程有解析解，稱作Reid解［12］。因此，使用的關(guān)鍵在于測(cè)定Si、bij這兩套函數(shù)。

逐個(gè)用單粒級(jí)磨礦動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)測(cè)定上述兩函數(shù)是不現(xiàn)實(shí)的，需要采用下式做擬合［13］：

Lewis等人分別對(duì)火山凝灰?guī)r（可磨度較高）和金礦石（可磨度較低）做邦德可磨度測(cè)定，即做8個(gè)磨礦—篩分循環(huán)，且對(duì)每次循環(huán)的磨礦產(chǎn)品都做了篩析。這樣既得到了兩個(gè)樣本的邦德可磨度，又得到了大量的粒級(jí)隨時(shí)間變化的信息。在這些信息的基礎(chǔ)上，編寫程序，以實(shí)測(cè)粒度分布與模擬結(jié)果的偏差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，給5個(gè)擬合參數(shù)設(shè)定合適的初值后，按一定的算法不斷逼近最優(yōu)值［14］，進(jìn)而得到了各粒級(jí)的選擇函數(shù)與分布函數(shù)。之后，將兩套函數(shù)代入總量平衡模型中反算，得到了可磨度的值，與測(cè)定值相當(dāng)接近。

實(shí)踐中，若確認(rèn)該方法可行，則不必做邦德可磨度試驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)，完全可以做若干時(shí)間點(diǎn)的開路磨礦，得到對(duì)應(yīng)的粒度分布數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合作業(yè)。另外，可用在Excel上開發(fā)的MolyCop tools輔助模擬。筆者建議：①因轉(zhuǎn)速恒定，可用轉(zhuǎn)數(shù)N替代時(shí)間t，方便計(jì)算可磨度；②因擬合參數(shù)較多，至少做5組磨礦—篩析試驗(yàn)，才能保證擬合結(jié)果不失真。

在研究工作中，使用計(jì)算機(jī)模擬的方法效果顯著。如Yan利用Austin模型模擬了某礦石在不同閉路篩分尺寸下和不同剝離尺寸下的功指數(shù)變化，見圖5，發(fā)現(xiàn)：邦德功指數(shù)隨閉路篩分尺寸減小而增加；當(dāng)給礦剝離尺寸大于閉路篩分尺寸時(shí)，邦德功指數(shù)增加，且在粗閉路篩分尺寸中更為明顯［15］。該研究中有25個(gè)數(shù)據(jù)，且其中23個(gè)給礦需要按一定粒度剝離，如果全部用試驗(yàn)測(cè)定，工作量極大。

注：剝離在本文中是指篩掉給礦中的細(xì)粒級(jí)，其篩分尺寸就是給礦剝離尺寸。當(dāng)其值為0時(shí)，表示不剝離。

Yan與Eation對(duì)軟、硬兩種礦石混合后的可磨度進(jìn)行了研究，同時(shí)使用了邦德可磨度測(cè)試、馬格達(dá)里諾維奇法和基于總量平衡模型的計(jì)算機(jī)模擬方法，所得功指數(shù)見表 1［16］。

可以看出，多數(shù)情況下，用開路磨礦得到的功指數(shù)偏低；對(duì)均質(zhì)的礦石，計(jì)算機(jī)模擬與馬格達(dá)里諾維奇法的精度相當(dāng)。而對(duì)軟硬混合礦石，前者的效果要好得多，這是由于后者開路磨礦的性質(zhì)決定的。同理，推測(cè)列文法對(duì)軟硬混合礦石的效果也不佳。

在上述研究之前，國(guó)內(nèi)的熊維平等人就展開了類似工作［17］。其核心部分與Lewis和Yan的方法一致，而求算兩套動(dòng)力學(xué)函數(shù)時(shí)使用了“預(yù)估-反算法”，給出了很高的擬合精度。同時(shí)，他們使用φ20×20 cm的小磨機(jī)試驗(yàn)，并根據(jù)該磨機(jī)與邦德可磨度試驗(yàn)?zāi)C(jī)中選擇函數(shù)的比值計(jì)算出放大系數(shù)，進(jìn)而用較少的物料完成了數(shù)據(jù)采集工作?？赡苁钱?dāng)時(shí)國(guó)內(nèi)外交流不暢，該方法沒有得到重視與推廣。

在總量平衡模型的框架外，陳炳辰等人以n階磨礦動(dòng)力學(xué)方程和磨礦過(guò)程線性迭加特性為依據(jù)，通過(guò)原礦動(dòng)力學(xué)試驗(yàn)獲得數(shù)據(jù)，進(jìn)而模擬測(cè)試過(guò)程，所得球磨功指數(shù)、棒磨功指數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)方法所得結(jié)果的偏差分別控制在3%～4%［18-19］。n階磨礦動(dòng)力學(xué)方程目前應(yīng)用很少，該方法也未能推廣。

4 基于巖石力學(xué)的估計(jì)方法

考慮到磨礦能耗與礦石的巖石力學(xué)特性有內(nèi)在的聯(lián)系，近30年來(lái)學(xué)者們嘗試建立可磨度/功指數(shù)與巖石力學(xué)參數(shù)的回歸模型。

Briggs對(duì)4組可磨度不同的礦石做巴西劈裂試驗(yàn)與點(diǎn)載荷壓力試驗(yàn)，獲得拉伸強(qiáng)度與壓縮強(qiáng)度，分別對(duì)邦德功指數(shù)做線性回歸，4組中有3組效果較好，有1組不理想［20］。傳統(tǒng)的巖石力學(xué)試驗(yàn)多針對(duì)采礦與土木等行業(yè)需求而設(shè)計(jì)，試樣尺寸較大，如巴西劈裂試樣為φ50×50 mm，而邦德可磨度試驗(yàn)中物料均小于3.35 mm。實(shí)踐表明每種礦石的巖石力學(xué)尺寸效應(yīng)有差異，這就使回歸分析變得困難。如上述研究中，3組礦石結(jié)構(gòu)均勻，尺寸效應(yīng)不明顯，對(duì)該方法較適應(yīng)；而另外1組礦石有明顯的層狀結(jié)構(gòu)，大尺寸上易碎，小尺寸上難磨，導(dǎo)致該方法失效。

Ozkahraman將水泥工業(yè)中的脆性指數(shù)測(cè)試引入，對(duì)重晶石礦、大理石礦、石灰?guī)r和鋁土礦測(cè)試，得到脆性指數(shù)S20，與可磨度線性回歸分析，擬合效果較好，見圖6［21］。脆性指數(shù)測(cè)試是一個(gè)有側(cè)限的沖擊試驗(yàn)，即用14 kg的錘頭從25 cm高度落下，沖擊料槽中-16+11.2 mm物料500 g，沖擊若干次后用篩析，-11.2 mm的克數(shù)為脆性指數(shù)，S20為20次沖擊下的脆性指數(shù)［21］。

業(yè)界積極探索簡(jiǎn)便的方法，在礦場(chǎng)就可獲得可磨度。如Deniz等人用聲學(xué)特性推斷礦石的彈性模量等力學(xué)參數(shù)，進(jìn)而估計(jì)可磨度［22］；又如Chandar等人用回彈法測(cè)定礦石強(qiáng)度并結(jié)合人工智能的方法推測(cè)球磨功指數(shù)［23］。然而，這些方法所用試樣尺寸遠(yuǎn)比可磨度試驗(yàn)的大，正如上文所述，尺寸效應(yīng)在不同的礦石中有差別，所以這些研究所得的計(jì)算公式是否具有普遍意義值得商榷。

5 結(jié)論

Bond等人提出的可磨度試驗(yàn)和磨機(jī)功率計(jì)算方法得到了廣泛的應(yīng)用。由于可磨度試驗(yàn)工作量大，業(yè)界積極尋找精度較高、操作簡(jiǎn)便的替代方法。目前看，馬格達(dá)里諾維奇法和列文法認(rèn)可度較高。不過(guò)，由于其開路磨礦的特性，對(duì)軟、硬混合礦石或難磨粒子含量較高的礦石，效果不太理想，使用前必須檢查礦石的結(jié)構(gòu)。而基于總量平衡模型的計(jì)算機(jī)模擬方法，雖然在數(shù)據(jù)采集上的工作量要高于前兩者，但克服了上述問(wèn)題，對(duì)不同礦石的適應(yīng)性較好，且容易得到不同篩分尺寸下或剝離尺寸下的可磨度，這往往是研究工作中所需要的?；趲r石力學(xué)的估計(jì)方法發(fā)展較晚，也有很大的提升空間，值得業(yè)界進(jìn)一步研究。