鄭 福,李 艷

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院,遼寧錦州 121013)

1 引言

現(xiàn)有一根長(zhǎng)度為1的震動(dòng)的弦,令y(t,x)表示t時(shí)刻震動(dòng)弦在x ∈(0,1)處的位置,弦的一端是固定的,在弦的另一端施加動(dòng)態(tài)邊界反饋控制.令為滿(mǎn)足z(x)∈L2(0,1),∈L2(0,1),z(x)在閉區(qū)間[0,1]上絕對(duì)連續(xù)和z(0)0的z(x)全體形成的空間.設(shè)(y0(x),y1(x))∈(0,1)×L2(0,1)表示弦的初始狀態(tài),對(duì)?t0,w(t)∈Rn是控制器的狀態(tài).令A(yù) ∈Rn×n是常數(shù)矩陣,b,c ∈Rn是列向量,d是正常數(shù).則具有動(dòng)態(tài)邊界阻尼的震動(dòng)弦可用如下具有初邊值條件的一維波方程描述:

Morg¨ul對(duì)系統(tǒng)(1)及其變形進(jìn)行了詳細(xì)的研究,研究結(jié)果表明在合適的能量空間和條件下,系統(tǒng)(1)是指數(shù)穩(wěn)定的[1–4].但是對(duì)于其數(shù)值逼近方面的研究幾乎沒(méi)有,然而在過(guò)去二、三十年間,如下具有邊界阻尼的波方程的數(shù)值逼近問(wèn)題得到廣泛而深入的研究.

眾所周知,系統(tǒng)(2)在能量空間中的解是存在唯一的且是指數(shù)穩(wěn)定的[5–6],但是用經(jīng)典的有限差分或者有限元對(duì)系統(tǒng)(2)的空間變量進(jìn)行離散化,這些逼近格式都將產(chǎn)生高頻病態(tài)偽特征模,致使相應(yīng)的離散系統(tǒng)關(guān)于離散化參數(shù)不是一致指數(shù)穩(wěn)定的[7–8].

為了克服傳統(tǒng)有限差分和有限元逼近格式在恢復(fù)一致指數(shù)穩(wěn)定性方面的不足,學(xué)者們做了大量細(xì)致而深刻的工作.比如1991年Banks等人引入混合有限元法(指的是用不同的基函數(shù)去逼近未知變量y(t,x)和yt(t,x)),利用連續(xù)系統(tǒng)類(lèi)似的驗(yàn)證方法證明離散系統(tǒng)是一致指數(shù)穩(wěn)定的[9].2001年,Fabiano在能量空間中引入與能量?jī)?nèi)積等價(jià)的內(nèi)積,在新的空間中證明了Galerkin有限元空間半離散逼近格式可一致保持系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性[10].從2003到2007年,Zuazua,Tebou和M¨unch等人通過(guò)在有限差分格式中添加消失的數(shù)值粘性項(xiàng),恢復(fù)了一維波動(dòng)方程和二維矩形域中的波動(dòng)方程的有限差分半離散化逼近的一致指數(shù)穩(wěn)定性[11–13].近期,利用添加數(shù)值粘性項(xiàng)法來(lái)處理二階雙曲系統(tǒng)的一致穩(wěn)定性或一致多項(xiàng)式穩(wěn)定的結(jié)果可參看文[14–17].Li 和Sun[18]先將系統(tǒng)(2)看做Port-Hamiltonian系統(tǒng)[19],也就是通過(guò)引入合適的中間變量同時(shí)對(duì)系統(tǒng)(2)的空間變量和時(shí)間變量的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行降階處理,然后再用有限差分法對(duì)空間變量半離散化,通過(guò)引入合適的李雅普諾夫函數(shù)和能量乘子法驗(yàn)證離散系統(tǒng)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

受上述工作的啟發(fā),本文研究系統(tǒng)(1)的一致指數(shù)穩(wěn)定性問(wèn)題.通過(guò)對(duì)上述離散化方法比較后,本文采用的降階型差分格式,此種方法的優(yōu)點(diǎn)是不但得到的離散化格式簡(jiǎn)單,易于被工程技術(shù)人員理解和接受,而且完全可以逐步仿照連續(xù)系統(tǒng)的驗(yàn)證方法去驗(yàn)證離散系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性.研究一致指數(shù)穩(wěn)定性的動(dòng)機(jī)主要來(lái)源于兩個(gè)方面,一是在數(shù)值逼近最優(yōu)控制問(wèn)題中驗(yàn)證一致指數(shù)穩(wěn)定性是最困難且最重要的一步[9–14];另一個(gè)是在可觀性的反問(wèn)題的數(shù)值“back and forth”方法中,向前和向后方程的一致指數(shù)穩(wěn)定性起著關(guān)鍵性的作用[20].對(duì)于半群或者離散格式的收斂性問(wèn)題,即:離散系統(tǒng)的解依照某種拓?fù)涫諗康竭B續(xù)系統(tǒng)的解,本文沒(méi)有給出詳細(xì)驗(yàn)證,因?yàn)檫@已經(jīng)超出了控制理論的范疇,有興趣的讀者可從文[13]和文[21]查找相關(guān)的收斂性分析.

本文結(jié)構(gòu)如下:在第2節(jié),對(duì)系統(tǒng)(1)的指數(shù)穩(wěn)定性給出了一種新的證明方法;在第3節(jié),給出了系統(tǒng)(1)的半離散化逼近系統(tǒng),利用連續(xù)系統(tǒng)的驗(yàn)證方法驗(yàn)證離散系統(tǒng)具有一致指數(shù)穩(wěn)定性.

2 連續(xù)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性

令Re z表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部,假設(shè):

H1:矩陣A的所有特征值有負(fù)實(shí)部;

H2:(A,b)是可控的和(c,A)是可觀的;

H3:存在另一常數(shù)γ0使得dγ和

在這幾個(gè)假設(shè)下,由此可知系統(tǒng)(2)的傳遞函數(shù)

是正實(shí)的,因而由Meyer-Kalman-Yakubovich引理(見(jiàn)文[1]P.1786)可知,對(duì)給定任意對(duì)稱(chēng)正定矩陣Q ∈Rn×n,存在對(duì)稱(chēng)正定矩陣P ∈Rn×n、向量q∈Rn、常數(shù)?>0滿(mǎn)足

為了達(dá)到降階的目的,將系統(tǒng)(2)看做Port-Hamiltonian 系統(tǒng)的形式,由文[19]中定理9.1.3和例9.2.1可知系統(tǒng)(2)是指數(shù)穩(wěn)定的.對(duì)系統(tǒng)(1)可進(jìn)行同樣的處理,為此引入兩個(gè)中間變量:

進(jìn)而得到系統(tǒng)(1)的等價(jià)形式,即

相應(yīng)于上述內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù).

這樣,可將系統(tǒng)(6)寫(xiě)成抽象微分方程形式:

其中算子B的定義域?yàn)?/p>

定理1算子B在H上生成的半群是收縮的C0半群.

證很容易看出,算子B是稠定閉算子,由直接計(jì)算得

定義域?yàn)?/p>

所以,B?也是耗散算子,進(jìn)而得出由算子B生成的半群T(t)是收縮半群(文[19],定理6.1.8).證畢.

定理1表明系統(tǒng)(6)的唯一解可以由T(t)X0給出,但是,為了得到系統(tǒng)(6)的指數(shù)穩(wěn)定性,構(gòu)造Lyapunov函數(shù):G(t)F(t)+ε?(t),其中?(t)<ε<1是可以自由選取的參數(shù).直接利用Cauchy不等式和三角不等式得如下引理.

引理1Lyapunov 函數(shù)G(t)等價(jià)于能量F(t),即

其中:C11 ?ε,C21+ε.

引理2輔助函數(shù)?(t)滿(mǎn)足

3 離散化系統(tǒng)的一致指數(shù)穩(wěn)定性

在構(gòu)造系統(tǒng)(6)的有限差分空間半離散化之前,先引入一些符號(hào),對(duì)任意的N ∈N+,將區(qū)間[0,1]進(jìn)行等距劃分:

分別表示一階差分算子、二階差分算子和平均算子.

這樣就可用有限差分方法對(duì)系統(tǒng)(6)進(jìn)行離散化,由于系統(tǒng)(6)的第1個(gè)方程在是有意義的,即

忽略方程(14)和(15)中的無(wú)窮小項(xiàng),并分別用uj(t)和vj(t)代替Uj(t)和Vj(t),得到系統(tǒng)(6)的有限差分空間半離散化形式:

根據(jù)上述引入的記號(hào)和簡(jiǎn)單計(jì)算可得如下引理[18]:

引理3對(duì)任意的{Uj}j,{Vj}j,{Wj}j,有

有限差分系統(tǒng)(16)的離散能量記為

這里的Fh(t)是連續(xù)能量F(t)的有限差分半離散化形式.因而有如下定義:

定義1若存在與t和h無(wú)關(guān)的兩個(gè)正數(shù)M和η使得

則稱(chēng)系統(tǒng)(16)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

接下來(lái)用上節(jié)的方法驗(yàn)證離散化系統(tǒng)(16)的一致指數(shù)穩(wěn)定性.

由引理3中的式(17)得

引理4表明系統(tǒng)的離散能量隨著時(shí)間的增加而減少.與連續(xù)情形類(lèi)似,為了得到離散系統(tǒng)能量的一致指數(shù)衰減率,需要構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù): Gh(t)Fh(t)+ε?h(t), 0<ε<1,其中輔助函數(shù)?h(t)滿(mǎn)足

與引理1類(lèi)似,也有如下引理:

引理5Lyapunov函數(shù)Gh(t)等價(jià)于能量Fh(t),即C1Fh(t)

引理6輔助函數(shù)?h(t)滿(mǎn)足

由于uN+1(t)?cTw(t)?dvN+1(t),所以有2ccTw2(t)+將其代入上述不等式即可得到式(23).證畢.

定理3系統(tǒng)(16)是一致指數(shù)穩(wěn)定的.

證由引理4和引理6有

其中