◇ 北京 付永艾

2020年是實(shí)行新高考的第一年,無(wú)論是全國(guó)卷,還是自主命題省份的高考卷都將有巨大的變化.高考會(huì)更注重知識(shí)的應(yīng)用性,強(qiáng)調(diào)知識(shí)的融會(huì)貫通,注重考查創(chuàng)新思維與創(chuàng)新意識(shí).因此,本文主要從新題型和新考法兩個(gè)方面闡述高考的新變化.

1 新題型

1.1 多選題

相較于單選題而言,多選題對(duì)能力的考查更加深入,解題思路廣,涉及知識(shí)點(diǎn)較多,要求考生進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的思考與分析.

例1銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)應(yīng)的三邊為a,b,c,則下列不等式恒成立的是( ).

A.|a2－c2|＜b2＜a2＋c2

B.sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC

C.tanAtanBtanC＞1

D.tanAtanB＋tanBtanC＋tanCtanA＞3

解析

根據(jù)余弦定理不難推出以一個(gè)銳角三角形三邊平方為長(zhǎng)度的三條線段也可以構(gòu)造三角形,故選項(xiàng)A 正確.

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及銳角三角形的性質(zhì)不難得出,一個(gè)銳角三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角之和均為鈍角,即,進(jìn)而得出,再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性及誘導(dǎo)公式得,sinA＞cosB＞0,同理可得sinB＞cosC＞0,sinC＞cosA＞0;根據(jù)不等式性質(zhì)不難得出sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC及tanAtanBtanC＞1,故選項(xiàng)B和C正確.

點(diǎn)評(píng)

要想能比較順利地求解此題,就要對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行分析,要求考生對(duì)知識(shí)內(nèi)涵進(jìn)行挖掘,養(yǎng)成運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣.

1.2 材料自選題

材料自選題是指題目給出多個(gè)條件,考生選擇其中一種或多種將其納入題目已知條件之中進(jìn)行解題.此類(lèi)試題難度增大,思維量加大.

例2在這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,然后解答補(bǔ)充完整的題.

在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知________,.

(1)求sinA;

(2)如圖1所示,M為邊AC上一點(diǎn),MC＝MB,求△ABC的面積.(注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分)

解析

若選擇條件①,則答案如下.

(1)在△ABC中,由正弦定理得

3sinAsinC＝4sinCcosA.

因?yàn)閟inC≠0,所以

3sinA＝4cosA,9sin2A＝16cos2A,

所以25sin2A＝16.又因?yàn)閟inA＞0,所以.

(2)設(shè)MB＝MC＝m,易知

在△ABC中,由余弦定理得18＝2m2－2m2·,解得m＝5,所以

在 Rt △ABM中,,所以,所以所以.

若選擇條件②,則答案如下.

(2)同選擇條件①的解析.

點(diǎn)評(píng)

求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)一定要看清題目“如果選擇兩個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分”,以免誤答、多答,浪費(fèi)時(shí)間.

2 新考法

2.1 素材創(chuàng)新

高考數(shù)學(xué)將不再單純考查數(shù)學(xué)知識(shí),會(huì)逐漸創(chuàng)新考查素材,將考點(diǎn)和其他學(xué)科知識(shí)相結(jié)合,滲透德育、智育、體育、美育與勞育等知識(shí).

例3(2019年全國(guó)Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類(lèi)歷史上首次月球背面軟著陸,我國(guó)航天事業(yè)取得又一重大成就.實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系.為解決這個(gè)問(wèn)題,發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”,鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)L2的軌道運(yùn)行.點(diǎn)L2是平衡點(diǎn),位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為M1,月球質(zhì)量為M2,地月距離為R,點(diǎn)L2到月球的距離為r,根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律,r滿(mǎn)足由于α的值很小,因此在近似計(jì)算中3α3,則r的近似值為( ).

解析

點(diǎn)評(píng)

此題以嫦娥四號(hào)探測(cè)器“鵲橋”有關(guān)的背景命題,結(jié)合了物理知識(shí)與天文知識(shí),體現(xiàn)出不同學(xué)科之間的聯(lián)系,反映了我國(guó)航天事業(yè)取得的成就.

2.2 選考題調(diào)整

從2019年開(kāi)始,全國(guó)卷Ⅰ和全國(guó)卷Ⅲ就打破常規(guī),在不等式選考題中不再考查絕對(duì)值不等式的求解,相信這樣的調(diào)整會(huì)延續(xù)下去.

例4(2019年全國(guó)卷Ⅰ)已知a,b,c為正數(shù),且滿(mǎn)足abc＝1,證明：

(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

證明(1)因?yàn)閍2＋b2≥2ab,b2＋c2≥2bc,a2＋c2≥2ac,所以由不等式的性質(zhì)得

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào).

因?yàn)閍bc＝1,所以.

(2)由三元均值不等式,可得

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào).

又abc＝1,所以

點(diǎn)評(píng)

本題考查了運(yùn)用均值不等式或綜合法求證不等式,充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的要求.

2.3 壓軸題變化

壓軸題一般是指解答題的最后一道題,壓軸題通常較為復(fù)雜、難度較大,以導(dǎo)數(shù)題居多.2019年全國(guó)卷Ⅰ首次出現(xiàn)以概率統(tǒng)計(jì)和數(shù)列交會(huì)的試題壓軸,體現(xiàn)出知識(shí)融合的重要性.

例5(2019年全國(guó)卷Ⅰ)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問(wèn)題,約定：對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分,乙藥得－1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分,甲藥得－1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予4 分,pi(i＝0,1,…,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則p0＝0,p8＝1,pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2,…,7),其中

假設(shè)α＝0.5,β＝0.8.

(ⅰ)證明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2,…,7)為等比數(shù)列;

(ⅱ)求p4,并根據(jù)p4 的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

解析

(1)一輪試驗(yàn)中甲藥的得分有3 種情況：1,－1,0.

得1分是施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則P(X＝1)＝α(1－β);

得－1分是施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則P(X＝－1)＝(1－α)β;

得0分是都治愈或都未治愈,則P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β).

X的分布列如表1.

表1

(2)(ⅰ)因?yàn)棣粒?.5,β＝0.8,則

因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1,則0.5pi＝0.4pi－1＋0.1pi＋1,即pi＋1＝5pi－4pi－1.所以.

所以 {pi＋1－pi}(i＝0,1,2,…,7)為等比數(shù)列.

(ⅱ){pi＋1－pi}(i＝0,1,2,…,7)的首項(xiàng)為p1－p0＝p1,則可得

以上7個(gè)式子相加,可得

則

p8＝1,則.

再把后面3個(gè)式子相加,得

則

p4表示“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只,且甲藥的累計(jì)得分為4”,因?yàn)棣粒?.5,β＝0.8,α＜β,則試驗(yàn)結(jié)果中“甲藥治愈的白鼠比乙藥治愈的白鼠多4只,且甲藥的累計(jì)得分為4”這種情況的概率是非常小的,而的確非常小,說(shuō)明這種試驗(yàn)方案是合理的.

點(diǎn)評(píng)

此題以試驗(yàn)新藥療效為背景,綜合考查了分布列與數(shù)列的知識(shí),要求考生具有問(wèn)題分析的能力,同時(shí)需要掌握遞推公式的應(yīng)用.