吳響響，王澤武，趙 健

(大連理工大學(xué) 化工機械與安全系，遼寧大連 116024)

符號說明：

w——徑向位移，mm；

r——容器半徑方向(容器任意半徑)；

μ——材料的泊松比；

E——材料的彈性模量，MPa；

Ri，Ro，R——容器內(nèi)半徑、外半徑、中徑，mm；

pi，po——容器所承受的內(nèi)、外壓，MPa；

u——軸向位移，mm；

εr，εθ，εz——容器的徑向應(yīng)變、周向應(yīng)變、軸向應(yīng)變；

z——容器軸向方向；

L——容器直圓筒段長度，mm；

σr，σθ，σz——容器的徑向應(yīng)力、周向應(yīng)力、軸向應(yīng)力，MPa；

S——容器壁厚，mm；

D1，D2，D3，D4——積分常數(shù)；

Mx，Mθ——作用于微元體上的彎矩，N·mm/mm；

D——殼體的抗彎剛度，MPa·mm3；

Qx，Nθ——作用于微元體上的橫向剪刀、周向力，N/mm；

P0——作用于容器邊緣單位平行圓周長度上的徑向剪力(邊緣力)，N/mm；

θ0——容器在邊緣連接處的轉(zhuǎn)角；

M0——作用于容器邊緣單位平行圓周長度上的彎矩(邊緣彎矩)，N·mm/mm；

Δ0——容器在邊緣連接處平行圓方向的位移增量，mm；

r20——球殼邊界上的第二主曲率半徑，mm；

0 引言

高溫、高壓容器越來越廣泛應(yīng)用于核電、化工、煉油、光熱新能源等行業(yè)，比如蒸汽發(fā)生器、聚合釜、高溫熔鹽儲罐等關(guān)鍵設(shè)備。根據(jù)工藝過程、承載能力及制造技術(shù)等方面的要求，高壓容器亦多采用球形封頭[1-3]。除了要求壓力容器滿足強度指標(biāo)之外，有時對其變形量也需要進行精確控制。比如：塔器需要核算塔頂變形量是否超過規(guī)定值，以確保其正常操作和安全[4]。變形量的計算為電站壓力容器位移實時監(jiān)測預(yù)警系統(tǒng)和位移測量設(shè)備的開發(fā)提供了基礎(chǔ)[5]。同時，對臥式容器變形量的計算能準確推導(dǎo)出支承面的水平誤差，有助于鞍座和其他支座臥式容器的設(shè)計、安裝方式的評價和安裝基礎(chǔ)的檢驗[6]。變形量的計算也可以使容器進出口法蘭與接管法蘭盡可能匹配，從而使配管設(shè)計既滿足工藝過程要求，又能改善容器與管道及其組成件的受力情況，保證設(shè)備長期安全運行[7-9]。

馬秉騫[10]通過在厚壁球形封頭上取一微元體，分析其受力、位移、變形協(xié)調(diào)及應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并根據(jù)邊界條件得出了厚壁球形封頭在內(nèi)壓下的三向應(yīng)力計算公式。王震宇等[11-12]運用彈性理論，分別推導(dǎo)了圓柱殼連接等厚度球冠形封頭的應(yīng)力分析公式和雙層套箍式高壓容器的精確彈性理論解。丁伯民等[13]對薄厚壁圓筒和球形容器分別進行了應(yīng)力應(yīng)變分析，并得到其對應(yīng)的徑向位移計算理論解，但并沒有涉及壓力容器軸向位移的理論解。余國琮等[14]雖然給出了薄、厚壁圓筒的軸向位移解，但是并沒有考慮端部封頭約束對圓筒形容器整體軸向位移的影響。

綜上所述，目前大多數(shù)文獻都集中在研究壓力容器的應(yīng)力和直圓筒、球形容器單獨承壓下的軸向位移、徑向位移，然而對于端部封頭約束的圓筒形厚壁容器在承受內(nèi)外壓作用下的軸向位移和徑向位移理論解卻鮮有報道。具有端部封頭約束的圓筒形容器位移理論求解的難點在于邊界條件不完備，邊緣效應(yīng)復(fù)雜。為此，本文通過對圓筒形和球形容器進行單獨的彈性應(yīng)力分析，得到其軸向位移的理論解；然后考慮邊緣效應(yīng)及邊界條件，研究含球形封頭端部約束的圓筒形厚壁容器在承受內(nèi)外壓作用下的整體軸向位移理論解，并與有限元數(shù)值解進行對比，驗證理論解的可靠性，不僅豐富了壓力容器理論知識，還可以用于工程實際，指導(dǎo)承壓設(shè)備支座設(shè)計、管線安裝等合理設(shè)計。

1 遠離不連續(xù)位置的容器位移推導(dǎo)

1.1 圓筒形容器徑向位移理論解

圖1示出承受內(nèi)、外壓的含球形封頭圓筒形高壓容器結(jié)構(gòu)。

pi，po-容器所承受的內(nèi)、外壓；σφ-容器軸向應(yīng)力；Ri，Ro-容器內(nèi)、外半徑；S-容器壁厚；r，z-徑向和軸向方向；L-容器直圓筒段長度，取直圓筒一半長度L/2進行理論推導(dǎo)

根據(jù)幾何、物理和平衡方程，得到關(guān)于圓筒形容器徑向位移w微分方程為:

(1)

引入邊界條件(σr)r=Ri=-pi,(σr)r=Ro=-po。

解式(1)，得到端部封閉的厚壁圓筒徑向位移表達式為：

(2)

1.2 圓筒形容器軸向位移理論解

對于遠離結(jié)構(gòu)不連續(xù)位置，如筒體與封頭連接位置，則軸向應(yīng)變近似于常數(shù)，即εz=?u/?z=常數(shù)[15]。

根據(jù)廣義胡克定律，εz=[σz-μ(σr+σθ)]/E，得到軸向位移通解為:

(3)

式中，積分系數(shù)C3取決于容器的邊界條件。對圖1所示容器結(jié)構(gòu)，當(dāng)z=0時，u=0，因此，C3=0。

端部封閉的厚壁圓筒軸向位移表達式為:

(4)

如果筒體兩端自由，比如長輸管道，則在自由端σz=0。根據(jù)邊界條件和廣義胡克定律，可得端部自由的筒體軸向應(yīng)變?yōu)?

(5)

其軸向位移通解為:

(6)

同理，積分系數(shù)C4取決于筒體邊界條件。當(dāng)z=0時，u=0,因此，C4=0。所以，端部自由的圓筒軸向位移表達式為:

(7)

1.3 球形容器軸向位移理論解

根據(jù)幾何、物理和平衡方程，得到球形容器徑向應(yīng)力微分方程為:

(8)

引入邊界條件(σr)r=Ri=-pi,(σr)r=Ro=-po。得到球形容器應(yīng)力計算公式:

(9)

(10)

進而得到端部封閉的厚壁球形封頭遠離不連續(xù)位置的徑向(軸向)位移表達式為:

(11)

2 結(jié)構(gòu)不連續(xù)處邊緣效應(yīng)

2.1 筒體邊緣連接處的轉(zhuǎn)角和徑向位移增量

對于壓力容器筒體與封頭連接處，則上述推導(dǎo)的圓筒徑向位移和球形封頭徑向位移理論解應(yīng)不同。顯然，在同一點出現(xiàn)不同的增量是不可能的，實際上在連接邊緣必然出現(xiàn)如圖2(a)虛線所示的變形現(xiàn)象，它可以看作是筒體和封頭受內(nèi)、外壓之后出現(xiàn)了邊界分離，然后加上邊緣力P0和邊緣彎矩M0產(chǎn)生的邊緣彎曲(如圖2(b)所示)，從而使邊緣連接處保持連續(xù)性的結(jié)果。同時，將坐標(biāo)原點取在連接邊緣上，x坐標(biāo)沿經(jīng)線方向，z坐標(biāo)沿法線方向，如圖2(c)所示。用垂直于對稱軸且相距為dx的兩個截面和夾角為dθ的兩個法平面在邊緣區(qū)域截取出微元體。在微元體上作用有彎矩Mx、Mθ、橫向剪刀Qx及周向力Nθ。圖2中，R為容器中徑；P0為作用于容器邊緣單位平行圓周長度上的徑向剪力，N/mm；M0為作用于容器邊緣單位平行圓周長度上的彎矩，N·mm/mm。

圖2 筒體與封頭連接處變形示意

由文獻[14]可知，圓筒殼在邊緣力P0和邊緣彎矩M0作用下有力矩理論的微分方程為:

d4w/dx4+4k4w=0

(12)

對式(12)化簡，其通解為：

w=e-kx(D1coskx+D2sinkx)+ekx(D3coskx

+D4sinkx)

(13)

因為邊緣彎曲局限于邊緣區(qū)，當(dāng)遠離邊緣時撓度w不可能出現(xiàn)無限值，而在式(13)中，當(dāng)x→∞時，ekx→∞，則w→∞。因此，式中D3，D4必須為零。D1，D2可由不同連接邊緣的邊界條件確定。工程上為了方便，將式(13)寫成以邊界上的彎矩M0和邊緣力P0為常數(shù)的形式。當(dāng)x=0時：

Mx=M0=-D(d2w/dx2)x=0

(14)

Qx=Q0=-P0=-D(d3w/dx3)x=0

(15)

因此，得到以P0，M0為未知數(shù)的撓度方程：

w=e-kx[kM0(sinkx-coskx)+P0coskx]/(2k3D)

(16)

從而，求得圓筒殼在邊緣連接處的轉(zhuǎn)角和平行圓方向的位移增量分別為:

θ0=(dw/dx)x=0=(2kM0-P0)/(2k2D)

(17)

Δ0=-wx=0=-(-kM0+P0)/(2k3D)

(18)

2.2 球形封頭邊緣彎曲的轉(zhuǎn)角和平行圓方向位移

一般旋轉(zhuǎn)殼與圓筒連接時，在連接邊緣會產(chǎn)生邊緣力P0和邊緣彎矩M0，如圖3所示。

圖3 在邊緣力作用下的旋轉(zhuǎn)殼

由文獻[14]可知，在邊緣力P0和邊緣彎矩M0作用下,連接邊緣處的轉(zhuǎn)角和平行圓方向位移為：

(19)

(20)

由式(19)，(20)可知，對半球形殼體，φ0=90°，P*=0，r20=R。因此，在邊緣力P0和邊緣彎矩M0作用下,半球形封頭連接邊緣處的轉(zhuǎn)角和平行圓方向的位移分別為：

(21)

(22)

2.3 邊緣力P0和邊緣彎矩M0的理論計算

由邊緣變形的連續(xù)性可知，連接邊緣兩側(cè)的截面轉(zhuǎn)角θ0和平行圓方向增量Δ0分別相等，即：

∑θ01=∑θ02

(23)

∑Δ01=∑Δ02

(24)

半球形封頭在邊緣處總轉(zhuǎn)角和平行圓總增量分別為:

(25)

(26)

圓筒在邊緣處總轉(zhuǎn)角和平行圓總增量為:

(27)

(28)

式中，下標(biāo)0指殼體邊界，下標(biāo)1，2分別指封頭和圓筒，上標(biāo)*指由內(nèi)壓pi和外壓po引起的殼體薄膜變形。將式(25)～(28)代入邊緣連續(xù)性方程式(23),(24)，得邊緣力P0和邊緣彎矩M0的理論解分別為:

P0=(pi-po)β/(8k)

(29)

M0=0

(30)

其中：

(31)

因此，在已有文獻的基礎(chǔ)上，本節(jié)將厚壁容器徑向位移理論解代入邊緣變形協(xié)調(diào)方程中，推導(dǎo)出適用于承受內(nèi)、外壓的厚壁容器在考慮邊緣效應(yīng)時的邊緣力P0和邊緣彎矩M0理論解。

3 考慮端部效應(yīng)的容器軸向位移

3.1 圓筒側(cè)軸向位移

對于含球形封頭容器的直圓筒部分，在僅受邊緣力時，它的結(jié)構(gòu)和載荷都是軸對稱的，故屬于軸對稱問題。在考慮縱向(平行于z軸方向)彎曲時，可以將圓筒的任一縱向力學(xué)模型簡化為如圖4所示的懸臂梁進行受力變形分析[16]。

圖4 邊緣力作用下圓筒變形示意

懸臂梁的長度即為圖1中封閉圓筒形容器直圓筒在z軸正方向的長度L/2，懸臂梁的撓度即為本文得到的封閉圓筒形容器直圓筒在邊緣力作用下邊緣影響區(qū)的徑向位移w。利用勾股定理，可以求得梁的自由端在軸向的位移變化量是一個高階微量，可以忽略不計。

將邊緣彎矩M0=0代入式(16)可得:

w=e-kxP0coskx/(2k3D)

(32)

其中，x和z可以作如下轉(zhuǎn)化：當(dāng)x=0，z=L/2；當(dāng)x=HZ，z=L/2-HZ,所以x=L/2-z，代入式(32)中，得到邊緣力作用下直圓筒徑向位移表達式為:

w=ek(z-L/2)P0cosk(z-L/2)/(2k3D)

(L/2-HZ≤z≤L/2) (33)

3.2 封頭側(cè)軸向位移

由龍述堯等[17]對于中厚球殼的軸對稱變形分析可知，針對工程中常見的厚徑比S/R=1/6～1/10的殼體，采用中厚殼基本假定，得出了在球殼軸對稱變形的特定情形下，薄殼理論推導(dǎo)的邊緣效應(yīng)公式與結(jié)論均適用于中厚殼。文獻[18]由薄殼理論推導(dǎo)了球殼在邊緣效應(yīng)下位移微分方程：

du/dα+w=R(Nφ-μNθ)/(ES)

(34)

ucotα+w=R(Nθ-μNφ)/(ES)

(35)

化簡可得:

du/dα-ucotα=(1+μ)R(Nφ-Nθ)/(ES)

(36)

將邊緣內(nèi)力Nφ=Qφcotα和Nθ=dQφ/dα代入，兩邊同乘1/sinα，并對α積分，可得:

(37)

然后分部積分，得到:

(38)

由于邊緣效應(yīng)具有局部性，故積分常數(shù)C=0。

所以，球殼邊緣力作用下經(jīng)向位移為:

u=-(1+μ)RQφ/(ES)

(39)

由圖5可以看出，半球形封頭在邊緣力P0的作用下發(fā)生的軸向(z軸方向)位移，即為球殼在邊緣力作用下的經(jīng)向位移:

(40)

圖5 邊緣力作用下半球形封頭變形示意

3.3 圓筒形容器綜合位移

如圖1所示，筒體長度為L，但坐標(biāo)原點取在筒體中間，即僅計算L/2容器的軸向位移。

3.3.1 厚壁容器

對于端部封閉的厚壁容器，筒體軸向位移為:

(41)

端部自由的厚壁圓筒軸向位移為:

(42)

端部封閉的厚壁筒體側(cè)徑向位移為:

(0≤z

(L/2-HZ≤z≤L/2) (44)

端部封閉的球形封頭徑向位移(遠離端部)為:

(45)

則綜合得到圓筒形容器(筒體+封頭)整體軸向位移為：

(46)

3.3.2 薄壁容器

對于K=Do/Di≤1.2的薄壁容器，基于無力矩理論，只考慮作用在殼體中面內(nèi)的薄膜內(nèi)力而忽略殼體中的彎曲內(nèi)力(矩)，且忽略徑向應(yīng)力，將二向薄膜應(yīng)力視為沿壁厚均勻分布，從而推導(dǎo)出的薄壁容器位移計算公式如下。

對于端部封閉的內(nèi)部介質(zhì)壓力為P的薄壁筒體軸向位移為:

(0≤z≤L/2) (47)

端部封閉的薄壁球形封頭徑向位移(遠離端部)為:

(48)

薄壁球殼邊緣力作用下經(jīng)向位移為:

(49)

其中，薄壁的邊緣力[12]:

P01=(pi-po)/(8k)

(50)

則綜合得到薄壁圓筒形容器(筒體+封頭)整體軸向位移為:

(51)

4 結(jié)果驗證性分析

4.1 結(jié)構(gòu)參數(shù)與數(shù)值模型

為了驗證理論解的正確性，分別建立含球形封頭容器和端部自由筒體(管道)有限元模型進行驗證?？紤]到容器結(jié)構(gòu)載荷和邊界條件(如圖6所示)的對稱性，采用ANSYS軸對稱平面單元Plane 182建立容器的有限元模型，并在Y=0截面上施加軸向位移約束。

圖6所示容器的筒體內(nèi)徑Di=2 000 mm，厚度S=300 mm，筒體部分總長度L=10 000 mm。封閉容器的上、下端是半球形封頭，假設(shè)圓筒和半球形封頭的壁厚相等，材料均為Q345R，同時承受內(nèi)、外壓。取彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3，內(nèi)壓pi=33 MPa，外壓po=3 MPa。

圖6 有限元模型和載荷條件

4.2 有限元驗證性分析

通過有限元數(shù)值計算,得到含球形封頭容器和端部自由管道最大等效應(yīng)力分別為127.10,132.58 MPa，且均發(fā)生在圓筒內(nèi)壁，小于材料Q345R的屈服應(yīng)力。因此，該容器受內(nèi)、外壓時發(fā)生的是彈性變形，滿足理論推導(dǎo)中的彈性變形假設(shè)。

圖7,8示出端部約束圓筒形容器各部分徑向位移、軸向位移理論解與數(shù)值解。

圖7 端部約束圓筒形容器位移隨壁厚變化曲線

從圖7可以看出，含球形封頭圓筒形容器沿著路徑1上圓筒徑向位移wtong(遠離邊緣)和路徑3上球形封頭徑向位移wqiu(遠離邊緣)的理論解與數(shù)值解完全吻合；路徑2上筒體徑向位移wtong(邊緣連接處)和路徑4上容器整體軸向位移u(容器頂端)的理論解與數(shù)值解也基本吻合，最大誤差分別為1.96%和1.3%。從圖8可以看出，含球形封頭圓筒形容器沿著路徑5上圓筒軸向位移u(端部約束圓筒部分)和端部自由直圓筒沿著路徑6上圓筒軸向位移u(端部自由圓筒部分)的理論解與數(shù)值解完全吻合。以上結(jié)果對比分析均驗證了本文推導(dǎo)的圓筒形容器軸向位移理論解的正確性。

圖8 筒體軸向位移隨筒體長度變化曲線

4.3 薄、厚壁容器軸向位移理論解誤差分析

根據(jù)式(46)和式(51)，定義薄、厚壁容器軸向位移相對誤差η表達式為：

η=(u1-u)/u

(52)

取筒體長度10 000 mm，內(nèi)徑2 000 mm，內(nèi)壓P(pi)=10 MPa，外壓po=0 MPa，則可繪制相對誤差η與容器徑比K值的曲線，如圖9所示。

圖9 薄、厚壁容器軸向位移相對誤差η與徑比K曲線

從圖9可以看出，薄、厚壁容器軸向位移理論解誤差隨著徑比K的增大而快速增大。當(dāng)徑比K=1.2時，薄、厚壁容器軸向位移誤差約為30%。一般情況下，采用無力矩理論建立的薄壁容器軸向位移理論解簡化過多，精度不高，而基于平衡方程、物理方程、變形協(xié)調(diào)方程和邊緣應(yīng)力有矩理論建立的厚壁容器位移理論解更能準確地反映容器變形，而且也可推廣應(yīng)用于薄壁容器變形量的計算。根據(jù)圖9誤差分析，不建議采用薄壁容器的軸向位移理論公式計算承壓設(shè)備的變形量。

5 結(jié)論

基于平衡方程、物理方程、變形協(xié)調(diào)方程和邊緣應(yīng)力有矩理論，推導(dǎo)了未見報道的考慮封頭端部邊緣效應(yīng)的壓力容器軸向位移理論解，并與有限元數(shù)值計算結(jié)果進行了驗證分析，表明所推導(dǎo)的理論解準確可靠。另外，通過對薄、厚壁容器的軸向位移理論解的誤差分析，建議統(tǒng)一采用本文提出的厚壁容器軸向位移理論表達式計算薄、厚壁容器的變形量。本文研究結(jié)果不僅拓展了厚壁圓筒形容器應(yīng)力計算理論，而且還可以用于指導(dǎo)化工裝置支座設(shè)計、管線安裝等工程實際。另一方面，利用封頭與筒體連接區(qū)域連續(xù)性變形條件，推導(dǎo)了承受內(nèi)、外壓的含球形封頭厚壁容器連接處邊緣力P0和邊緣彎矩M0精確理論解，從而為厚壁容器的邊緣應(yīng)力計算和邊緣強度理論研究提供參考。