吳燕生，王宗強(qiáng)，宋劍爽

(1. 中國航天科技集團(tuán)有限公司，北京 100048； 2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引 言

遠(yuǎn)程火箭是國家戰(zhàn)略力量的主要組成部分，而精確命中能力和快速發(fā)射能力是其最為核心的指標(biāo)。對(duì)于采用純慣性制導(dǎo)的遠(yuǎn)程火箭而言，影響其精度的因素主要有制導(dǎo)工具誤差和制導(dǎo)方法誤差。慣性平臺(tái)、加速度表、陀螺儀等工具性能不完善引起的落點(diǎn)偏差，屬于制導(dǎo)工具誤差。在發(fā)展初期，遠(yuǎn)程火箭精度的70%～90%取決于制導(dǎo)工具誤差。近年來，隨著慣性測(cè)量系統(tǒng)硬件水平和標(biāo)定技術(shù)的提高，制導(dǎo)工具誤差大幅度降低，使得其對(duì)精度的影響逐漸減少。相對(duì)而言制導(dǎo)方法誤差的影響逐漸凸顯。地球擾動(dòng)引力場(chǎng)是引起遠(yuǎn)程火箭制導(dǎo)方法誤差的最主要誤差源，其對(duì)遠(yuǎn)程火箭精度的影響體現(xiàn)在兩方面[1]：

1)影響火箭的受力。由于箭上慣導(dǎo)系統(tǒng)無法敏感地球引力，因此火箭在箭上進(jìn)行導(dǎo)航與制導(dǎo)解算時(shí)地球引力只能基于簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而導(dǎo)致箭上真速度、真位置的求解誤差和制導(dǎo)指令的生成誤差。仿真分析表明，對(duì)于一萬千米左右航程的遠(yuǎn)程火箭，全彈道上作用的擾動(dòng)引力造成的落點(diǎn)偏差最大可達(dá)千米量級(jí)。

2)影響火箭發(fā)射時(shí)的定向。擾動(dòng)引力場(chǎng)引起的垂線偏差是影響陸基或?；鶛C(jī)動(dòng)發(fā)射遠(yuǎn)程火箭定向精度的重要因素。機(jī)動(dòng)發(fā)射情況下垂線偏差需要基于擾動(dòng)引力場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，其計(jì)算誤差直接導(dǎo)致火箭發(fā)射時(shí)的定向誤差。仿真表明，機(jī)動(dòng)發(fā)射情況下發(fā)射點(diǎn)垂線偏差對(duì)遠(yuǎn)程火箭落點(diǎn)偏差的影響也可達(dá)千米量級(jí)。

為保證遠(yuǎn)程火箭的精度，需要基于地球擾動(dòng)引力場(chǎng)的精確計(jì)算研究其相應(yīng)的補(bǔ)償方法。為此，需要首先建立擾動(dòng)引力場(chǎng)影響的分析框架，揭示擾動(dòng)引力場(chǎng)影響的機(jī)理；其次，針對(duì)目前擾動(dòng)引力場(chǎng)精確模型計(jì)算量大的問題，提出擾動(dòng)引力場(chǎng)的快速重構(gòu)和賦值方法；最后，針對(duì)目前的制導(dǎo)方法，建立擾動(dòng)引力場(chǎng)影響的補(bǔ)償方法。

1 擾動(dòng)引力場(chǎng)的影響分析方法研究進(jìn)展

擾動(dòng)引力場(chǎng)對(duì)遠(yuǎn)程火箭精度的影響包括垂線偏差和飛行過程擾動(dòng)引力兩個(gè)因素。前者影響火箭的初始對(duì)準(zhǔn)，進(jìn)而導(dǎo)致發(fā)射慣性系的構(gòu)建誤差，后者影響火箭真實(shí)受力的計(jì)算。這二者影響機(jī)理不同，因此分析方法也不盡相同。

1.1 垂線偏差的影響分析方法研究進(jìn)展

垂線偏差的影響分析旨在剖析該攝動(dòng)因素對(duì)遠(yuǎn)程火箭落點(diǎn)偏差的影響量級(jí)、影響特性、誤差傳播機(jī)理等問題。國外對(duì)這一問題的研究起步較早，公開資料主要集中在分析垂線偏差對(duì)地面載體純慣性導(dǎo)航精度的影響分析[2-3]，而對(duì)于遠(yuǎn)程火箭的影響分析，公開文獻(xiàn)不多。目前，可查閱的最早一篇分析火箭發(fā)射點(diǎn)區(qū)域重力場(chǎng)異常對(duì)落點(diǎn)精度影響的文獻(xiàn)出自美國國防部公開的一份軍事技術(shù)報(bào)告。在該報(bào)告中，學(xué)者Gore[4]在僅考慮幾何項(xiàng)偏差的情況下求解了垂線偏差引起的關(guān)機(jī)點(diǎn)速度、位置矢量偏差，進(jìn)而通過關(guān)機(jī)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算了落點(diǎn)偏差，該方法可實(shí)現(xiàn)垂線偏差影響的定性分析，但也存在模型假設(shè)較多、分析精度較差的問題。20世紀(jì)80年代初，賈沛然[5]對(duì)文獻(xiàn)[4]提出的方法進(jìn)行了改進(jìn)，在主動(dòng)段關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)偏差以及關(guān)機(jī)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)的求解中均對(duì)地球自轉(zhuǎn)的影響進(jìn)行了修正，較大提升了垂線偏差影響的分析精度。

上述方法側(cè)重于定量分析垂線偏差的影響特性，但對(duì)其影響機(jī)理仍缺乏細(xì)致的分析。王明海等[6]推導(dǎo)了法線坐標(biāo)系與垂線坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，分析了火箭在這兩類坐標(biāo)系中積分的受力差異，得出垂線偏差不僅引起幾何項(xiàng)誤差還影響火箭受力的結(jié)論。段曉君等[7]分析了發(fā)射點(diǎn)垂線偏差與發(fā)射方位角之間的耦合影響。

在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[1，8]對(duì)垂線偏差的影響機(jī)理進(jìn)行了系統(tǒng)性的建模和分析，結(jié)果顯示垂線偏差對(duì)火箭的影響可劃分為幾何項(xiàng)、初值項(xiàng)和受力項(xiàng)三部分，并基于小偏差理論分別推導(dǎo)了每一部分的解析表達(dá)式，這也成為當(dāng)前相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者普遍接受的一種分析模型。王磊[9]基于該模型對(duì)垂線偏差及其它定位定向誤差的影響進(jìn)行了分析，改善了幾何項(xiàng)與初值項(xiàng)之間的耦合關(guān)系，進(jìn)一步提高了分析模型的精度。

1.2 擾動(dòng)引力的影響分析方法

地球擾動(dòng)引力反映了火箭實(shí)際受到的引力與采用標(biāo)準(zhǔn)引力場(chǎng)模型計(jì)算出的引力之間的差異。對(duì)采用閉路制導(dǎo)的遠(yuǎn)程火箭而言，擾動(dòng)引力對(duì)彈道的影響需要分主動(dòng)段和自由段來分析，主動(dòng)段擾動(dòng)引力主要影響火箭箭上慣導(dǎo)系統(tǒng)真速度、真位置的解算精度，而被動(dòng)段擾動(dòng)引力則主要影響制導(dǎo)中需要速度的計(jì)算精度。

1.2.1主動(dòng)段擾動(dòng)引力的影響分析方法

擾動(dòng)引力對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的影響特性，在20世紀(jì)70年代就有大量學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了探討。起初學(xué)者們主要將擾動(dòng)引力視為隨機(jī)過程，而后基于協(xié)方差分析方法對(duì)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差傳播問題進(jìn)行分析[10-12]，但其分析結(jié)果并不能反映地球擾動(dòng)引力對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的真實(shí)影響。隨著大地測(cè)量和地球物理學(xué)的不斷發(fā)展，地球擾動(dòng)引力的計(jì)算模型越來越多，計(jì)算精度也越來越高?；诖?，Chatfield等[13]采用數(shù)值方法分析了不同精度擾動(dòng)引力模型對(duì)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的影響特性。Heller[14]提出將高精度引力模型嵌入到慣性導(dǎo)航積分回路中來提升慣性導(dǎo)航系統(tǒng)精度的方法，但由于計(jì)算效率的限制，該方法只能應(yīng)用于慣性導(dǎo)航更新頻率較低的情況，對(duì)于高速運(yùn)動(dòng)的飛行器并不適用。

中國學(xué)者對(duì)擾動(dòng)引力影響下的彈道誤差傳播特性也進(jìn)行了充分的研究。20世紀(jì)80年代初，陳國強(qiáng)分析了地球擾動(dòng)引力對(duì)火箭慣性制導(dǎo)系統(tǒng)的影響[15]，隨后又基于攝動(dòng)法建立了地球擾動(dòng)引力對(duì)遠(yuǎn)程火箭落點(diǎn)精度影響的解析分析模型[16]，相比于數(shù)值方法該方法極大提升了擾動(dòng)引力對(duì)遠(yuǎn)程火箭影響的分析效率。鄭偉等[1]深入研究了擾動(dòng)引力對(duì)標(biāo)準(zhǔn)彈道的影響問題，并指出在進(jìn)行影響特性分析時(shí)需要考慮擾動(dòng)引力與視加速度之間存在的耦合作用，否則會(huì)產(chǎn)生較大的分析誤差?；诖耍趵谕茖?dǎo)了擾動(dòng)引力與視加速度耦合模型的解析表達(dá)式，構(gòu)建了考慮該耦合項(xiàng)的彈道誤差傳播解析計(jì)算模型[17]和高精度數(shù)值積分模型[18]，顯著提升了擾動(dòng)引力對(duì)標(biāo)準(zhǔn)彈道影響的分析精度。此外，針對(duì)擾動(dòng)引力與視加速度的耦合作用機(jī)理、存在條件等問題，王磊[9]將彈道誤差傳播分析問題中的參考基準(zhǔn)劃分為動(dòng)力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)彈道和導(dǎo)航標(biāo)準(zhǔn)彈道兩類，并指出僅在分析以動(dòng)力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)彈道為基準(zhǔn)的彈道誤差傳播問題中才需要考慮擾動(dòng)引力與視加速度的耦合影響。

在工程應(yīng)用方面，學(xué)者們針對(duì)不同發(fā)射狀態(tài)條件下擾動(dòng)引力對(duì)彈道的影響特性問題進(jìn)行了定量的仿真分析。董茜等[19]采用數(shù)值法分析了不同航程下被動(dòng)段擾動(dòng)引力對(duì)彈道的影響情況，初步揭示了擾動(dòng)引力的影響量級(jí)和特性。李曉燕等[20]分析了不同頻段擾動(dòng)引力對(duì)落點(diǎn)精度的影響，同時(shí)對(duì)比了不同發(fā)射點(diǎn)情況下擾動(dòng)引力對(duì)彈道落點(diǎn)的影響。袁宇等[21]通過分析給出了滿足計(jì)算精度前提下選取最小球諧函數(shù)階次的規(guī)律。上述分析方法和結(jié)論對(duì)于認(rèn)識(shí)擾動(dòng)引力影響下的彈道誤差傳播特性具有一定的借鑒意義，也可為實(shí)際的工程任務(wù)提供指導(dǎo)。

1.2.2自由段擾動(dòng)引力的影響分析方法

遠(yuǎn)程火箭在自由飛行段中僅受地球引力的作用，可視作橢圓軌道中的一段，因此原則上軌道誤差傳播分析方法都可用于對(duì)遠(yuǎn)程火箭自由段的誤差傳播問題進(jìn)行分析。截至目前，在人造衛(wèi)星、深空探測(cè)飛行器、遠(yuǎn)程火箭高精度制導(dǎo)等技術(shù)需求牽引下，考慮攝動(dòng)因素的航天器大氣層外軌道/彈道預(yù)報(bào)方法已發(fā)展至數(shù)十種。如圖1所示，這些方法總體可劃分為數(shù)值法、解析法和半解析法三大類[22-23]。數(shù)值法也稱特殊攝動(dòng)法，主要是通過數(shù)值積分求解攝動(dòng)方程，主要有Cowell法、Encke法以及參數(shù)變分法等，這類方法具有計(jì)算精度高、對(duì)各種攝動(dòng)因素可統(tǒng)一處理、公式和程序簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，一般用于精密定軌與精密軌道預(yù)報(bào)等領(lǐng)域。但數(shù)值法也存在累計(jì)誤差大、物理概念不明確、計(jì)算耗時(shí)等缺點(diǎn)，不過隨著近年來計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展，比如并行計(jì)算方法和自適應(yīng)變步長(zhǎng)算法的提出，使得數(shù)值法計(jì)算效率低的問題得以有效改善[24]，這將極大擴(kuò)展數(shù)值法在軌道/彈道預(yù)報(bào)領(lǐng)域中的應(yīng)用范圍。

圖1 軌道/彈道攝動(dòng)方法Fig.1 Orbital/ballistic perturbation method

解析法也稱為一般攝動(dòng)法，主要是通過將考慮攝動(dòng)因素的軌道在某種標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下進(jìn)行展開，并推導(dǎo)軌道預(yù)報(bào)或軌道偏差預(yù)報(bào)的解析解。表1給出了幾種典型解析法的特性及其應(yīng)用范圍對(duì)比。

表1 幾種典型解析法對(duì)比情況Table 1 Comparison of different analytical methods

半解析法綜合了數(shù)值法和解析法的優(yōu)點(diǎn)，其基本思路是：建立軌道要素的變分方程后，不再構(gòu)造慢變量的解析解，而是用數(shù)值法求解；同時(shí)，用解析法求解出短周期項(xiàng)的攝動(dòng)解，再與慢變量的數(shù)值積分解相加，即得到完整的攝動(dòng)解。該類方法具有較高的計(jì)算精度和效率，目前已成為長(zhǎng)期軌道預(yù)報(bào)中一種十分有用的方法。

盡管平根數(shù)法在衛(wèi)星軌道預(yù)報(bào)中應(yīng)用廣泛，但在遠(yuǎn)程火箭應(yīng)用方面則效果較差。潘剛[33]、Wang等[34]基于數(shù)值仿真詳細(xì)分析了平根數(shù)法在預(yù)報(bào)遠(yuǎn)程火箭偏差時(shí)的精度，并從機(jī)理上探討了該方法在處理這類問題時(shí)精度較差的原因。中間軌道法、非正交分解法和狀態(tài)空間攝動(dòng)法是遠(yuǎn)程火箭自由段彈道預(yù)報(bào)中比較常用的方法。中間軌道法和非正交分解法在用于求解考慮J2項(xiàng)引力影響的彈道偏差問題時(shí)效果較好，但在考慮較高階地球引力項(xiàng)的影響時(shí)，這兩種方法的解析解推導(dǎo)都很困難[35]。

狀態(tài)空間攝動(dòng)法是20世紀(jì)80年代，由任萱[29]提出的用于快速計(jì)算擾動(dòng)引力對(duì)彈道影響的分析方法，其基本原理如圖2所示。采用狀態(tài)空間攝動(dòng)法推導(dǎo)彈道偏差解析預(yù)報(bào)模型的關(guān)鍵有三點(diǎn)：1)在合適的坐標(biāo)系中構(gòu)建攝動(dòng)方程，這將影響狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解析解推導(dǎo)的復(fù)雜度；2)基于合理假設(shè)推導(dǎo)攝動(dòng)方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣解析解；3)將攝動(dòng)力矢量表示為攝動(dòng)方程自變量的函數(shù)。21世紀(jì)初，鄭偉[30]對(duì)狀態(tài)空間攝動(dòng)法進(jìn)行了更深入、系統(tǒng)的研究，完善了等角/等地心距/等時(shí)攝動(dòng)模型，并進(jìn)一步推導(dǎo)出了等高攝動(dòng)模型。Wang等[35]在此基礎(chǔ)上，結(jié)合沿飛行彈道的擾動(dòng)引力重構(gòu)模型，推導(dǎo)出了可考慮任意階擾動(dòng)引力影響的彈道偏差解析預(yù)報(bào)模型，并在擾動(dòng)引力影響補(bǔ)償方法中得到應(yīng)用。

總體而言，擾動(dòng)引力場(chǎng)對(duì)彈道影響分析的研究已比較全面和深入，對(duì)其影響機(jī)理也有了較清楚的認(rèn)識(shí)，目前研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)主要聚焦在進(jìn)一步提升擾動(dòng)引力場(chǎng)影響分析的效率和精度等方面。另外，隨著數(shù)值積分方法效率和計(jì)算機(jī)硬件性能的持續(xù)提升，數(shù)值法和半解析法將逐步成為分析擾動(dòng)引力場(chǎng)影響分析的主要發(fā)展趨勢(shì)之一。

2 擾動(dòng)引力場(chǎng)快速計(jì)算方法研究進(jìn)展

擾動(dòng)引力場(chǎng)的影響分析或者補(bǔ)償首先需要確定發(fā)射點(diǎn)處垂線偏差和火箭飛行過程中擾動(dòng)引力的值。在這方面，傳統(tǒng)手段(比如垂線偏差的天文測(cè)量法以及擾動(dòng)引力的球諧函數(shù)法等)均存在耗時(shí)長(zhǎng)的問題。為此大量學(xué)者探討了擾動(dòng)引力場(chǎng)的快速計(jì)算方法，從而為實(shí)現(xiàn)火箭快速發(fā)射和擾動(dòng)引力場(chǎng)實(shí)時(shí)補(bǔ)償探索了可行的方案。

2.1 垂線偏差快速計(jì)算研究進(jìn)展

垂線偏差是地面或空間一點(diǎn)重力垂線方向與該點(diǎn)參考橢球面法線方向的夾角[36]。遠(yuǎn)程火箭發(fā)射前，需要利用發(fā)射點(diǎn)的垂線偏差進(jìn)行平臺(tái)定向瞄準(zhǔn)[37]，因此它是實(shí)現(xiàn)火箭高精度制導(dǎo)的重要大地測(cè)量保障之一。

目前垂線偏差的確定方法可分為兩類。一是傳統(tǒng)方法。主要采用天文大地測(cè)量的方法進(jìn)行觀測(cè)。即在同一點(diǎn)上進(jìn)行天文觀測(cè)，獲取該點(diǎn)的自然坐標(biāo)或者天文坐標(biāo)，然后通過大地測(cè)量手段獲得該點(diǎn)的大地坐標(biāo)，經(jīng)過簡(jiǎn)單的理論公式轉(zhuǎn)換獲得垂線偏差。直接觀測(cè)法能給出優(yōu)于1″ 精度的點(diǎn)值垂線偏差，但是需要結(jié)合天文和大地兩種測(cè)量手段，非常耗時(shí)，每個(gè)測(cè)站上的天文觀測(cè)需要3～5 h才能完成，遠(yuǎn)不能滿足有快速發(fā)射要求的遠(yuǎn)程火箭發(fā)射時(shí)效性要求。

另一類方法是在重力場(chǎng)邊值理論框架下，通過重力數(shù)據(jù)、地形數(shù)據(jù)以及衛(wèi)星重力等多元數(shù)據(jù)，采用邊值理論建立垂線偏差模型。高精度垂線偏差確定的關(guān)鍵是精密計(jì)算由地形產(chǎn)生的短波和甚短波分量。Jekeli[36]在1999年對(duì)高階重力場(chǎng)模型計(jì)算的垂線偏差和天文測(cè)量結(jié)果進(jìn)行比較后指出，EGM96重力場(chǎng)模型計(jì)算的垂線偏差存在200階以后信號(hào)微弱的情況，也可以理解為垂線偏差的高頻部分，必須由地形數(shù)據(jù)提供，類似結(jié)果還可以參見文獻(xiàn)[38]。經(jīng)典的地形影響計(jì)算公式是利用平面近似公式，這與過去地形分辨率不高、計(jì)算能力不足有關(guān)。國際上在20世紀(jì)90年代末期開展了球面積分的研究，給出了有不同近似條件、形式多樣的球面積分公式[39]。解放軍信息工程大學(xué)和衛(wèi)星定位總站也獨(dú)立開展了相關(guān)研究[40]。武漢大學(xué)推導(dǎo)了各類地形影響的嚴(yán)密球面積分公式序列[41]，嚴(yán)格顧及地球曲率影響項(xiàng)，保證了垂線偏差計(jì)算達(dá)到1″ 精度。通過模型法，在對(duì)某一區(qū)域密集網(wǎng)格垂線偏差進(jìn)行計(jì)算的基礎(chǔ)上，在火箭實(shí)際發(fā)射時(shí)即可通過插值得到發(fā)射點(diǎn)的垂線偏差。

綜上所述，為了滿足遠(yuǎn)程火箭發(fā)射的時(shí)效性和精度要求，以考慮精密地形影響的模型法為基礎(chǔ)實(shí)現(xiàn)區(qū)域數(shù)值重構(gòu)，是當(dāng)前最為可行的方法。

2.2 擾動(dòng)引力快速重構(gòu)研究進(jìn)展

目前，地球外部擾動(dòng)引力賦值的方法主要有球諧函數(shù)模型、點(diǎn)質(zhì)量模型和基于地面重力數(shù)據(jù)的直接積分模式(比如基于Stokes理論、Molodensky理論等的積分解)，雖然可以采取進(jìn)一步的快速算法進(jìn)行優(yōu)化，比如球諧函數(shù)換極法[42]、基于CUDA的球諧函數(shù)并行計(jì)算方法[43]等，但受制于球諧函數(shù)的階數(shù)、點(diǎn)質(zhì)量規(guī)模、分辨率和計(jì)算過程的復(fù)雜性，大幅度減少內(nèi)存、提高計(jì)算速度的余地不大。

在箭載計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備性能還不能大幅度提升的情況下，針對(duì)遠(yuǎn)程火箭實(shí)現(xiàn)快速、任意點(diǎn)隨機(jī)發(fā)射等特點(diǎn)，需要在犧牲一定計(jì)算精度的條件下構(gòu)建占用內(nèi)存少、賦值速度快的擾動(dòng)引力重構(gòu)模型。在這方面，美國學(xué)者Junkins[44]早在1976年就提出了重力位的有限元表達(dá)方法，其核心思想是將飛行器的飛行空域進(jìn)行網(wǎng)格剖分，并對(duì)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)進(jìn)行擾動(dòng)引力賦值，網(wǎng)格內(nèi)任意點(diǎn)的擾動(dòng)引力則采用空間插值算法進(jìn)行逼近求解。上述模型主要面向局部區(qū)域的擾動(dòng)引力快速賦值問題，Beylkin等[45]則探討了一種全球擾動(dòng)引力快速賦值模型，即“立方球”重構(gòu)模型。Jones等[46]將該方法應(yīng)用于近地衛(wèi)星軌道的長(zhǎng)期預(yù)報(bào)，分析了其計(jì)算效率和精度。

針對(duì)這一技術(shù)，我國學(xué)者也進(jìn)行了深入的研究。有限元、分頻余差法等方法先后被提出。在Junkins[44]工作的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[47-50]進(jìn)一步探討了有限元方法的應(yīng)用。謝愈等[51]、Zhou等[52]提出了沿飛行彈道的擾動(dòng)引力有限元重構(gòu)模型構(gòu)建方法，并將有限元法擴(kuò)展到被動(dòng)段擾動(dòng)引力快速賦值中，能夠兼顧擾動(dòng)引力賦值速度、賦值精度及箭上存儲(chǔ)量要求。圖3展示了沿火箭自由段彈道的有限元網(wǎng)格剖分示意圖。需要指出的是，沿自由飛行段彈道的有限元網(wǎng)格需要基于標(biāo)準(zhǔn)二體彈道進(jìn)行劃分，因此需要在滿足擾動(dòng)引力逼近精度的前提下使網(wǎng)格盡可能大，從而保證所劃分的網(wǎng)格能夠覆蓋火箭可能飛行的任意軌跡。王磊[9]將這一問題描述為一個(gè)優(yōu)化問題，并提出了關(guān)于火箭飛行高度和最大有限元網(wǎng)格尺寸參數(shù)的擬合關(guān)系式。此外，鄭偉等[1]綜合插值和擬合兩種數(shù)值逼近方法的優(yōu)點(diǎn)，提出了基于廣義延拓逼近算法的擾動(dòng)引力有限元模型，進(jìn)一步改善了擾動(dòng)引力重構(gòu)模型的逼近效果。

3 擾動(dòng)引力場(chǎng)影響補(bǔ)償方法研究進(jìn)展

對(duì)遠(yuǎn)程火箭而言，擾動(dòng)引力場(chǎng)影響補(bǔ)償就是要在制導(dǎo)回路中消除該攝動(dòng)因素對(duì)落點(diǎn)精度的影響。針對(duì)這一問題，國外鮮有相關(guān)公開文獻(xiàn)進(jìn)行報(bào)道。相對(duì)而言，我國學(xué)者研究的較為深入，相繼提出了一系列補(bǔ)償方法。

總體而言，補(bǔ)償方法可分為直接補(bǔ)償和等效補(bǔ)償兩大類。直接補(bǔ)償即是在箭載計(jì)算機(jī)上加裝精確的地球引力模型，用以計(jì)算火箭實(shí)際飛行過程中所受的地球引力。但當(dāng)前技術(shù)條件下，將精確的點(diǎn)質(zhì)量或球諧函數(shù)模型直接嵌入到箭上導(dǎo)航解算回路中依然在存儲(chǔ)量和計(jì)算效率方面存在困難，而將擾動(dòng)引力重構(gòu)模型嵌入到箭上導(dǎo)航解算回路中則理論上完全可行，Wang等[53]通過仿真校驗(yàn)了這種思路的可行性，不過目前尚無實(shí)際采用此類方法進(jìn)行箭上導(dǎo)航補(bǔ)償?shù)墓_報(bào)道。

等效補(bǔ)償[54]是根據(jù)擾動(dòng)引力影響的特性，不直接對(duì)擾動(dòng)引力進(jìn)行補(bǔ)償，而是通過建立擾動(dòng)引力影響量與修正量之間的映射關(guān)系來改變發(fā)射諸元或?qū)б?、關(guān)機(jī)控制量，使得火箭根據(jù)慣性器件測(cè)量信息導(dǎo)引和關(guān)機(jī)控制，實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)引力影響補(bǔ)償?shù)囊环N方法。馬寶林等[54]深入分析了等效補(bǔ)償?shù)膶?shí)現(xiàn)方式，提出了嵌入式、分布式、分段式、映射式等四種補(bǔ)償模式(如表2所示)。

根據(jù)補(bǔ)償時(shí)機(jī)的不同，等效補(bǔ)償又可分為彈道諸元補(bǔ)償、制導(dǎo)諸元補(bǔ)償和箭上實(shí)時(shí)補(bǔ)償三種類型，下面分別進(jìn)行介紹。

3.1 彈道諸元補(bǔ)償方法

彈道諸元補(bǔ)償?shù)乃悸纷钤缬舌崅30]提出，其核心思路是通過修正火箭的發(fā)射諸元來實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)引力場(chǎng)影響的補(bǔ)償，具體步驟可描述為：1)在不考慮擾動(dòng)引力場(chǎng)影響的情況下計(jì)算彈道基本諸元；2)基于擾動(dòng)引力影響分析方法快速計(jì)算擾動(dòng)引力場(chǎng)引起的落點(diǎn)偏差；3)構(gòu)建彈道落點(diǎn)偏差同發(fā)射諸元修正量之間的映射關(guān)系。

從計(jì)算流程中可以看出，火箭發(fā)射諸元修正量的計(jì)算首先需要求得其落點(diǎn)偏差，這可以采用前面介紹的擾動(dòng)引力場(chǎng)快速分析方法實(shí)現(xiàn)。另一方面還需要建立落點(diǎn)偏差同諸元參數(shù)修正量之間的映射關(guān)系。為此，Ma等[55]推導(dǎo)了遠(yuǎn)程火箭落點(diǎn)偏差與火箭末級(jí)俯仰程序變化率、發(fā)射方位角等發(fā)射諸元修正量之間的解析函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步提升了彈道諸元補(bǔ)償?shù)男省?/p>

3.2 制導(dǎo)諸元補(bǔ)償方法

制導(dǎo)諸元補(bǔ)償?shù)年P(guān)鍵是求解落點(diǎn)偏差與制導(dǎo)諸元修正量之間的映射關(guān)系。

在攝動(dòng)制導(dǎo)框架下，制導(dǎo)諸元主要包括標(biāo)準(zhǔn)關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)、落點(diǎn)偏差對(duì)關(guān)機(jī)點(diǎn)狀態(tài)的偏導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)引系數(shù)等?？到ū蟮萚56]針對(duì)傳統(tǒng)的攝動(dòng)制導(dǎo)方案在實(shí)際飛行過程中抗擾能力差等缺點(diǎn)，提出了一種基于虛擬再入點(diǎn)狀態(tài)參數(shù)控制泛函的攝動(dòng)制導(dǎo)方案，該方案可有效補(bǔ)償主動(dòng)段干擾因素的影響。馬寶林等[54]分析了擾動(dòng)引力場(chǎng)對(duì)飛行特征量的影響機(jī)理，提出了分步式和映射式兩種攝動(dòng)制導(dǎo)諸元補(bǔ)償方案。在閉路制導(dǎo)框架下，制導(dǎo)諸元?jiǎng)t包括虛擬目標(biāo)和需要速度兩個(gè)，通常只需對(duì)這二者之一進(jìn)行補(bǔ)償?；谔摂M目標(biāo)的閉路制導(dǎo)補(bǔ)償由于仍采用橢圓彈道計(jì)算需要速度，方法簡(jiǎn)單，所以基于該方法的補(bǔ)償研究比較活躍。而基于需要速度的補(bǔ)償方案原則上需要求解考慮復(fù)雜攝動(dòng)因素的Lambert問題，計(jì)算過程較前者復(fù)雜。

3.3 箭上補(bǔ)償方法

一般來說，不管是彈道諸元補(bǔ)償還是制導(dǎo)諸元補(bǔ)償都可考慮較復(fù)雜的攝動(dòng)因素，但往往計(jì)算比較耗時(shí)，影響發(fā)射效率。另一方面，彈道諸元或制導(dǎo)諸元補(bǔ)償方法一般基于標(biāo)準(zhǔn)彈道進(jìn)行修正量的計(jì)算，對(duì)大范圍彈道偏差的適應(yīng)性較差，無法保證補(bǔ)償精度[9]。

針對(duì)上述問題，一些學(xué)者探索了在箭上實(shí)時(shí)計(jì)算擾動(dòng)引力影響修正量的方法。如陳磊等[57]、鮮勇等[58]、王宗強(qiáng)等[59]提出采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型或回歸模型離線構(gòu)建需要速度修正量與關(guān)機(jī)點(diǎn)位置之間的映射模型，并在箭上實(shí)時(shí)進(jìn)行修正計(jì)算。仿真結(jié)果顯示此類補(bǔ)償方法在特定條件下精度較高，也能保證足夠的效率，但針對(duì)不同的發(fā)射條件、航程條件，該類方法均需要重新進(jìn)行地面計(jì)算和訓(xùn)練。

王磊[9]基于擾動(dòng)引力影響的解析計(jì)算模型，提出了基于零輸出響應(yīng)的閉路制導(dǎo)實(shí)時(shí)補(bǔ)償方法。補(bǔ)償流程如圖4所示。該方法的核心思路是在原有Lambert制導(dǎo)回路中嵌入了一個(gè)反饋修正項(xiàng)，修正量通過一套可同時(shí)考慮J2項(xiàng)引力和擾動(dòng)引力影響的解析公式進(jìn)行計(jì)算，且計(jì)算一次耗時(shí)在20 ms以內(nèi)，因此可進(jìn)行實(shí)時(shí)修正。此外，采用該方法時(shí)僅需要在火箭發(fā)射前進(jìn)行一次沿彈道的擾動(dòng)引力重構(gòu)模型構(gòu)建，時(shí)間在2 s以內(nèi)。仿真結(jié)果表明，對(duì)航程超過一萬千米的遠(yuǎn)程火箭，該方法的補(bǔ)償誤差在50 m以內(nèi)，且對(duì)大范圍彈道偏差的適應(yīng)能力很強(qiáng)。綜合所有方法來看，基于零輸出響應(yīng)的閉路制導(dǎo)實(shí)時(shí)補(bǔ)償方法在計(jì)算精度、效率、對(duì)火箭機(jī)動(dòng)發(fā)射的適應(yīng)性等方面都表現(xiàn)出一定優(yōu)勢(shì)，是當(dāng)前針對(duì)該問題最佳的解決方案。但是該方法仍有改進(jìn)的余地，比如仍然需要基于標(biāo)準(zhǔn)彈道來構(gòu)建擾動(dòng)引力重構(gòu)模型，因此研究完全不依賴標(biāo)準(zhǔn)彈道數(shù)據(jù)的擾動(dòng)引力箭上補(bǔ)償方法將是該領(lǐng)域進(jìn)一步努力的方向。

圖4 考慮不規(guī)則引力箭上補(bǔ)償?shù)拈]路制導(dǎo)系統(tǒng)Fig.4 Closed-loop guidance system considering irregular gravitational perturbation compensation

4 結(jié)束語

擾動(dòng)引力場(chǎng)影響已成為制約遠(yuǎn)程火箭精度和快速反應(yīng)能力進(jìn)一步提升的瓶頸。本文從影響機(jī)理、快速重構(gòu)方法、補(bǔ)償方法等三個(gè)方面分析了國內(nèi)外的研究進(jìn)展，梳理出目前在工程上可用的主要方法，為進(jìn)一步提升遠(yuǎn)程火箭的精度和快速反應(yīng)能力提供了方法上的參考。但針對(duì)工程上面臨的具體約束，還有必要與遠(yuǎn)程火箭的具體使用流程、諸元方案、制導(dǎo)方案等深度融合，才能真正為提高遠(yuǎn)程火箭發(fā)射效能提供支持。